人教A版 (2019)必修 第一册4.5.3 函数模型的应用精练

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.5.3 函数模型的应用精练，共3页。试卷主要包含了002 5v2-0，00等内容，欢迎下载使用。

基础巩固
1.已知某林场计划第一年造林10 000平方米,以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林( )
A.14 400平方米B.172 800平方米
C.20 736平方米D.17 280平方米
答案D
解析设第x年造林y平方米,则y=10 000×(1+20%)x-1,当x=4时,y=17 280平方米.故选D.
2.已知某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表:
则下面的函数关系式中,能表达这种关系的是( )
A.y=lg2(x+1)B.y=2x-1
C.y=2x-1D.y=(x-1)2+1
答案D
解析代入数值检验,把x=2代入可排除A,B,C,把x=1,2,3代入D选项,符合题意.
3.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2020年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)
A.2023年B.2024年C.2025年D.2026年
答案B
解析设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元,由题可知,130(1+12%)x=200,解得x=lg1.12200130=lg2-≈3.80,因资金需超过200万,则x取4,即2024年,选B.
4.为了保证信息安全传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下:
明文密文密文明文
已知加密函数为y=ax-2(x为明文,y为密文),如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”,再发送,那么接受方通过解密得到明文“3”.若接受方接到密文为“14”,则原发的明文是 .
答案4
解析依题意y=ax-2中,当x=3时,y=6,
故6=a3-2,解得a=2,
所以加密函数为y=2x-2,
因此当y=14时,由14=2x-2,解得x=4.
5.某汽车在同一时间内速度v(单位:km/h)与耗油量Q(单位:L)之间有近似的函数关系Q=0.002 5v2-0.175v+4.27,则车速为 km/h时,汽车的耗油量最少.
答案35
解析由Q=0.002 5v2-0.175v+4.27
=0.002 5(v2-70v)+4.27
=0.002 5[(v-35)2-352]+4.27
=0.002 5(v-35)2+1.207 5.
故当v=35时,耗油量最少.
6.某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为40元,出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100件时,每多订购一件,订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元.根据市场调查,销售商一次订购量不会超过500件.
(1)设一次订购量为x件,服装的实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)的解析式;
(2)当销售商一次订购450件服装时,该服装厂获得的利润是多少元?(服装厂售出一件服装的利润=实际出厂的单价-一件服装的成本)
解(1)当0≤x≤100,x∈N时,P=60;
当100所以P=f(x)=60(0≤x≤100,x∈N),62-x50(100(2)设销售商一次订购量为x件时,工厂获得的利润为L元,
则L=(P-40)x=20x(0≤x≤100,x∈N),22x-x250(100当x=450时,L=5 850,
因此,当销售商一次订购450件服装时,该服装厂获得的利润是5 850元.
能力提升
1.衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为V=ae-kt,新丸经过50天后,体积变为49a.若一个新丸体积变为827a,则经过的天数为( )
A.75B.100C.125D.150
答案A
解析由题意,得49a=ae-50k,解得e-25k=23.
令ae-kt=827a,即e-kt=(23)3=(e-25k)3=e-75k,则t=75,即经过的天数为75.
2.某商场出售一种商品,每天可卖1 000件,每件可获利4元.据经验,若这种商品每件每降价0.1元,则比降价前每天可多卖出100件,为获得最好的经济效益,每件售价应降低( )
A.2元B.2.5元C.1元D.1.5元
答案D
解析设每件降价0.1x元,则每件获利(4-0.1x)元,每天卖出商品件数为(1 000+100x),利润y=(4-0.1x)·(1 000+100x)=-10x2+300x+4 000=-10(x2-30x+225-225)+4 000=-10(x-15)2+6 250.
故当x=15时,ymax=6 250.故每件售价降低1.5元时,可获得最好的经济效益.
3.某农场种植一种农作物,为了解该农作物的产量情况,现将近四年的年产量f(x)(单位:万千克)与年份x(记2019年为第1年)之间的关系统计如下:
则f(x)近似符合以下三种函数模型之一:①f(x)=ax+b;②f(x)=2x+a;③f(x)=x2+b.你认为最适合的函数模型的序号是 .
答案①
解析若模型为②,则f(1)=2+a=4,解得a=2,于是f(x)=2x+2,此时f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,与题中表格内的数据相差太大,不符合;若模型为③,则f(1)=1+b=4,解得b=3,于是f(x)=x2+3,此时f(2)=7,f(3)=12,f(4)=19,与题中表格内的数据相差太大,不符合;若模型为①,则根据题中表格内数据得f(1)=4,f(3)=7,即a+b=4,3a+b=7,解得a=32,b=52,经检验是最适合的函数模型.
4.某工厂生产产品A,每件售价80元,每年产销80万件,工厂为了开发新产品,经过市场调查,决定提出产品A的销售金额的p%作为新产品开发费(即每销售100元提出p元),并将产品A的年产销量减少了10p万件.
(1)若工厂提出的新产品开发费不少于96万元,求p的取值范围;
(2)若工厂仅考虑每年提出最高的开发费,求此时p的值.
解由题意知,当开发费是产品A的销售金额的p%时,销售量为(80-10p)万件,此时销售金额为80×(80-10p)万元,
新产品开发费f(p)=80×(80-10p)×p%(万元).
(1)由题设知80×(80-10p)×p%≥96,0解得2≤p≤6.
故当新产品开发费不少于96万元时,p的取值范围为[2,6].
(2)当0则当p=4时,f(p)max=128.
故当p=4时,开发费最多,可达到128万元.
5.如图,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(b问:当x为何值时,四边形EFGH的面积最大?并求出最大面积.
解设四边形EFGH的面积为S,则
S=ab-212x2+12(a-x)(b-x)=-2x2+(a+b)x=-2x-a+b42+(a+b)28,x∈(0,b].
因为0若a+b4≤b,即a≤3b,则当x=a+b4时,S有最大值(a+b)28;
若a+b4>b,即a>3b,则当x=b时,S有最大值ab-b2.
综上可得:当a≤3b,x=a+b4时,S有最大值(a+b)28;当a>3b,x=b时,S有最大值ab-b2.
6.某科研团队对某一生物的生长规律进行研究,发现其生长蔓延的速度越来越快,开始在某水域投放一定面积的该生物,经过2个月其覆盖面积为18 m2,经过3个月其覆盖面积达到27 m2.该生物覆盖面积y(单位:m2)与经过时间x(x∈N)个月的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=px+q(p>0)可供选择.
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的函数解析式.
(2)问约经过几个月,该水域中此生物的面积是当初投放的1 000倍?(参考数据:2≈1.41,3≈1.73,lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
解(1)因为y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,而y=px+q(p>0)的增长速度越来越慢,所以依题意应选择y=kax(k>0,a>1),
则有ka2=18,ka3=27,解得a=32,k=8,所以y=8·32x.
(2)当x=0时,y=8,设经过x个月,该水域中此生物的面积是当初投放的1 000倍,则8·32x=8×1 000,解得x=lg321 000=lg1000lg32=3lg3-lg2≈16.67.
故约经过17个月后该水域中此生物的面积是当初投放的1 000倍.x
1
2
3
…
y
1
2
5
…
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.62
7.00
8.86