2025-2026学年上海市宝山区行知中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市宝山区行知中学高一（上）期中数学试卷（含解析）试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．不等式的解集为 ．
2．已知幂函数过点，则 ．
3．已知，，，则 ．
4．已知，化简 ．
5．已知，用的代数式表示 ．
6．已知，则方程的解集为 ．
7．已知实数，满足，则的最小值为 ．
8．定义，，，已知，，，，，则集合中所有元素乘积为 ．
9．若关于的不等式对任意恒成立，则的最大值为 ．
10．全集，已知集合，，．若“”是“”的必要非充分条件，则的取值范围是 ．
11．已知关于的不等式的解集为．若关于的不等式有且仅有8个整数解，则实数的取值范围是 ．
12．记表示集合的元素个数，对于集合，，定义，．若集合，满足，，且，则的最小值为 ．
二、选择题（本题满分18分，共有4题，13-14每题4分，15-16每题5分）
13．若，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．B．C．D．
14．幂函数的图象经过点，若，则下列各式正确的是（ ）
A．（a）（b）B．（b）（a）
C．（a）（b）D．
15．已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理，有以下结论：三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当，，均为正实数时，，当且仅当时等号成立；利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
16．置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，，，有序数组，，，定义“间距置换”： ，，．已知有序数组，，，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组，3，，且中所有数之和为2025，则的值为（ ）
A．B．C．D．
三、解答题（本题满分78分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤）
17．设全集为，，集合，．
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围．
18．（1）已知，，求和的值；
（2）正实数满足，求和的值．
19．国内某知名玩偶公司出售一款2025年特别款纪念玩偶产品．某连锁特大商场购买此产品，假设购进该款产品全部售出，每件产品的最高售价为80元．若按最高售价销售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件．若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费，若购进30万件以上，则直接与玩偶公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为．
（1）当购进产品数量为10万件、25万件、40万件时，利润分别是多少？
（2）该连锁特大商场购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？
20．（18分）已知幂函数，其中．
（1）若函数不经过原点，求函数的解析式；
（2）若函数在上严格增函数．
①求不等式的解集，其中；
②若函数，当，，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
21．（18分）已知二次函数，其中，，．
（1）若满足，，求；
（2）若，，存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围；
（3）当，，，若对任意实数，总存在，，，使得，求实数的取值范围．
参考答案
一、填空题
1．不等式的解集为 ．
解：，解得，
故所求解集为．
故答案为：．
2．已知幂函数过点，则 ．
解：由题可得：，可得．
故答案为：．
3．已知，，，则 4 ．
解：由，，，可得或，
当时，集合为，4，，满足元素互异性；
当时，解得，此时集合为，1，，不符合互异性，故舍去；
则．
故答案为：4．
4．已知，化简 ．
解：因为，
所以．
故答案为：．
5．已知，用的代数式表示 ．
解：因为，
则．
故答案为：．
6．已知，则方程的解集为 ．
解：当时，
，，，
原方程为，
解得，不满足；
当时，
，，，
原方程为，
解得；
当时，
，，，
原方程为，
即，恒成立，
所以；
当时，
，，，
原方程为，
解得，
不满足；
综上；
所以原方程的解集为：．
故答案为：．
7．已知实数，满足，则的最小值为 24 ．
解：因为，
所以，，，
则，
则，
当且仅当，即，时取等号．
故答案为：24．
8．定义，，，已知，，，，，则集合中所有元素乘积为 0 ．
解：由题意，，，，
则当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
故，4，，又，
则，，，
故集合中所有元素乘积为0．
故答案为：0．
9．若关于的不等式对任意恒成立，则的最大值为 ．
解：，
令，
当时，，
此区间内单调递减，最小值为；
当时，，
此区间内单调递增，最小值大于，
当时，，
此区间内单调递增，最小大于（2）；
当时，，
此区间内单调递增，最小值大于（3），
综上，函数的最小值为，因此，
则的最大值为．
故答案为：．
10．全集，已知集合，，．若“”是“”的必要非充分条件，则的取值范围是或 ．
解：根据题意，若“”是“”的必要非充分条件，则，
而，，
则，解可得，则有或，
即的取值范围为或．
故答案为：或．
11．已知关于的不等式的解集为．若关于的不等式有且仅有8个整数解，则实数的取值范围是， ．
解：由已知关于的不等式的解集为，
可得，且方程的两根分别为和3，则，得，
不等式等价于，
即，解得，
因为关于的不等式有且仅有8个整数解，
因此，
即，
解得
所以的取值范围为，．
故答案为：，．
12．记表示集合的元素个数，对于集合，，定义，．若集合，满足，，且，则的最小值为 2057406 ．
解：设，由题意可得，
得到一个集合中的元素有两类方法：
第一类：由中任意两个不同元素求和可得，有个：
第二类：由中一个元素自身相加求和可得，有个；
当且仅当任意两个和都不相等时，集合满足，
故集合中任意两个元素之和均不相同．
集合中的元素，，，，不妨设，
由于；
可知“集合中任意两个元素之和均不相同”等价于“集合中的任意两个元素之差也均不相同”，
同理集合中的任意两个元素之差也均不相同．
要得到集合，中的一个元素，其中．
需从集合，中各取一个元素求和，
若任意两个元素之和不等，则中有个元素，
要使最小，则必须两元素之和重复的最多；
设，，，，，，，，，，
不妨设，，
任取中两个元素，，
其中，，，，设，则，
由于，
故中任意两数作差所得正数差（大减小）互不相同，共有个；
同理中所得正数差（大减小）也互不相同，共有个；
故最多有相等的正数差个，即两元素之和相等最多有组，
故，
由题意，则，可得，
构造集合，，，，，
由二进制数表示的唯一性可知，
则．
故答案为：2057406．
二、选择题（本题满分18分，共有4题，13-14每题4分，15-16每题5分）
13．若，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．B．C．D．
解：，，，即，，因此，，正确．
对于，，即，因此不正确．
故选：．
14．幂函数的图象经过点，若，则下列各式正确的是（ ）
A．（a）（b）B．（b）（a）
C．（a）（b）D．
解：幂函数的图象经过点，
，解得，
，
，
，
（a）（b）．
故选：．
15．已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理，有以下结论：三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当，，均为正实数时，，当且仅当时等号成立；利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
解：当，，均为正实数时，，当且仅当时等号成立，
因为，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，故选项错误；
因为，
当且仅当时，即当时等号成立，故选项错误；
，
当且仅当时，即当时等号成立，故选项正确．
故选：．
16．置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，，，有序数组，，，定义“间距置换”： ，，．已知有序数组，，，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组，3，，且中所有数之和为2025，则的值为（ ）
A．B．C．D．
解：对于有序数组，，，
有序数组，，，
定义“间距置换”： ，，，
由题可知，，．
若介于，之间，则．
由题可知，，所以，矛盾，舍去．
，，结合，可得或．
若，由题可知，，，
上述三个式子相加可得，
，，
，则，，
若，同理可得．
故选：．
三、解答题（本题满分78分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤）
17．设全集为，，集合，．
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围．
解：（1）由题意，或，
当时，，
则或；
（2）因为，所以是的子集，
时，，解得；
时，，解得；
综上，的取值范围是，，．
18．（1）已知，，求和的值；
（2）正实数满足，求和的值．
解：（1）因为，，
所以，；
（2）因为，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以．
19．国内某知名玩偶公司出售一款2025年特别款纪念玩偶产品．某连锁特大商场购买此产品，假设购进该款产品全部售出，每件产品的最高售价为80元．若按最高售价销售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件．若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费，若购进30万件以上，则直接与玩偶公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为．
（1）当购进产品数量为10万件、25万件、40万件时，利润分别是多少？
（2）该连锁特大商场购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？
解：（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，利润是万元，
当购进产品数量为25万件时，利润是万元，
当购进产品数量为40万件时，利润是万元；
（2）当时，，
当时，不妨设降价元，则，得到，
所以，
当时，，
所以，
当时，，函数单调递增，
当时，利润最大，此时利润是750万元；
当时，，
当时，利润最大，此时利润是800万元；
当时，，
当且仅当，即时，利润最大，此时利润是810万元；
因为，
所以该连锁特大商场购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是810万元．
20．（18分）已知幂函数，其中．
（1）若函数不经过原点，求函数的解析式；
（2）若函数在上严格增函数．
①求不等式的解集，其中；
②若函数，当，，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
解：（1）因为是幂函数，
所以，解得：或，
当时，，
当时，，
又函数不经过原点，所以；
（2）因为在上单调递增，
则由（1）可得，，
①因为，
即，即，
当时，原不等式为，解得：；
当时，解得：或；
当时，解得；
当时，无解；
当时，解得，
综上，当时，解集为；
当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，无解；
当时，解集为；
②因为函数，，
所以，又，，
令，
则，，，
令，，，
当，即时，在，上单调递增，
则，
解得：，满足条件；
当，即时，
则，不满足题意；
当，即时，
，解得：（舍，
综上，存在实数，使得的最小值为0．
21．（18分）已知二次函数，其中，，．
（1）若满足，，求；
（2）若，，存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围；
（3）当，，，若对任意实数，总存在，，，使得，求实数的取值范围．
解：（1）因为，
所以，
所以，
所以，
所以，解得，
所以；
（2）因为，
所以，当且仅当时等号成立；
因为，，
所以，
，
易知此函数为偶函数，
令，
则有有四个不同实数根，
所以在，上有两个不同实数根，
即在，上有两个不同实数根，
当时，不满足题意；
当时，因为，且对称轴为，
当时，对称轴，
要满足题意，则必有，
整理得，
解得且；
当时，对称轴，
函数在，上单调递增，不满足题意；
当时，对称轴，
又因为，，
所以只有一个解，不满足题意；
综上，且，
所以实数的取值范围为，，；
（3）若对任意实数，总存在，，，使得，
则对，恒成立，
①当时，在，上单调递增，
所以，
当时，单调递增，
所以，
所以；
②当，即时，
在，上单调递减，
所以，
当时，单调递减，
所以，所以；
③当，即时，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当时，
又，，
令，则在上单调递增，
所以，
解得；
④当，
即时，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当时，在上单调递减，
所以，
解得，
综上，的范围为，．