2025-2026学年上海市嘉定二中高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市嘉定二中高一（上）期中数学试卷（含解析）试卷主要包含了填空题．等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，若全集，则 ．
2．若要用反证法证明“若，则且”，应假设为 ．
3．的定义域为 ．
4．实数9的4次方根为 ．
5．若函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围是 ．
6．已知，，且，求的最小值是 ．
7．已知，则 ．
8．已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
9．已知集合，，，则实数的取值范围是 ．
10．若，且，则 ．
11．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 ．
12．已知正实数、满足，，则 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知，将表示成分数指数幂，其结果是（ ）
A．B．C．D．
14．“且”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
15．若，下列不等式：①；②；③；④，成立的有 个
A．1B．2C．3D．4
16．以下四个命题中，真命题的个数为（ ）
①函数最小值为3；
②若，则；
③不等式的解集为．
A．0B．1C．2D．3
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。
17．已知集合，，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
18．（1）求不等式的解集；
（2）求不等式的解集．
19．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程有两实根，，且满足，求实数的值．
20．（18分）数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等．现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，为每月生产人形机器人的个数．
（1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？
（2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润售价销量成本．
21．（18分）（1）已知指数函数且在区间，上的最大值与最小值之和等于，求实数的值．
（2）已知幂函数的图像关于轴对称，且在上严格递减．若，求实数的取值范围；
（3）若对于，恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
一、填空题（共有12题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）．
1．已知集合，若全集，则， ．
解：由题意可得，．
故答案为：，
2．若要用反证法证明“若，则且”，应假设为 或 ．
解：要证命题的结论为且，它的否定为或，
所以应假设或．
故答案为：或．
3．的定义域为 ．
解：根据题意，对于，
有，解可得；
即的定义域为；
故答案为：．
4．实数9的4次方根为 ．
解：实数9的4次方根为．
故答案为：．
5．若函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围是， ．
解：函数为减函数，
若函数的图象不经过第一象限，
则满足，即；
故答案为：，
6．已知，，且，求的最小值是 4 ．
解：，
，当且仅当时等号成立，
故答案为：4．
7．已知，则 ．
解：由题意可知，，即，
所以．
故答案为：．
8．已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为，， ．
解：，当且仅当时，取得等号，
即的最小值为，
，，或，解得，或．
故答案为：，，．
9．已知集合，，，则实数的取值范围是，， ．
解：解方程可得或，则，，
因为，
当时，此时，符合题意；
当时，集合，
只需，或，解得或，
综上所述实数的取值范围是．
故答案为：．
10．若，且，则 ．
解：由，可得，，
所以，
即，即，
所以．
故答案为：．
11．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是， ．
解：数，
当时，显然符合题意，
当时，，解得，
综上所述，实数的取值范围是，．
故答案为：，．
12．已知正实数、满足，，则 ．
解：因为正实数、满足，
解得，或，
所以或，
当时，，
所以，即，，，
当时，，即，，，
则．
故答案为：．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知，将表示成分数指数幂，其结果是（ ）
A．B．C．D．
解：．
故选：．
14．“且”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解：由且，则且，所以，即充分性成立；
由推不出且，如，，满足，但是不成立，故必要性不成立；
故“且”是“”的充分不必要条件；
故选：．
15．若，下列不等式：①；②；③；④，成立的有 个
A．1B．2C．3D．4
解：若，
对于①：因为，所以，故①正确；
对于②：因为，则，所以，故②错误；
对于③：因为，则，
所以，故③正确；
对于④：因为，则，可得，
即，所以，故④正确．
故选：．
16．以下四个命题中，真命题的个数为（ ）
①函数最小值为3；
②若，则；
③不等式的解集为．
A．0B．1C．2D．3
解：①由于，则，即函数最小值为4，①错误；
对于②，由于，由，
设，易得在上为增函数，必有，②正确；
对于③，当时，，即在不等式的解集内，③错误．
故选：．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。
17．已知集合，，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，，
此时．
（2）由可知，．
集合，，；
当，，解得；
当，结合可知，解得．
综上，的取值范围为或．
18．（1）求不等式的解集；
（2）求不等式的解集．
解：（1）移项有，即，即，且，
解得或，
解集为；
（2）由不等式，可得，
即，即，
解得或，
即原不等式的解集为．
19．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程有两实根，，且满足，求实数的值．
解：（1）已知关于的一元二次方程有实数根，
所以△，，
则实数的取值范围为，；
（2）因为方程有两实根，，
所以△，，
且，，
所以，
，，
所以，或，
则．
20．（18分）数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等．现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，为每月生产人形机器人的个数．
（1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？
（2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润售价销量成本．
解：（1）设平均每个人形机器人的成本为万元，
根据题意有，
当且仅当，即时取等号，
所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元；
（2）设月利润为万元，由题意可得，
解得．
所以该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元．
21．（18分）（1）已知指数函数且在区间，上的最大值与最小值之和等于，求实数的值．
（2）已知幂函数的图像关于轴对称，且在上严格递减．若，求实数的取值范围；
（3）若对于，恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）指数函数在区间，上单调，由指数函数在区间，上的最大值与最小值之和等于，
可得，解得或；
（2）由题意可知，解得，
又，所以或，
当时，，为偶函数，
当时，，为偶函数，
所以，的定义域为，
则，即，
解得，，，；
（3）令，易知其定义域内单调递增，所以，，，，
则，
即在，上恒成立，
又易知在，上单调递增，则，
所以．