2022-2023学年上海市宝山区行知中学高一（上）期中数学试卷 （含解析）

这是一份2022-2023学年上海市宝山区行知中学高一（上）期中数学试卷 （含解析），共13页。试卷主要包含了填空题.，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）若，则 ．
2．（4分）把化成有理数指数幂的形式为 ．
3．（4分）语句“或”的否定形式是 ．
4．（4分）化简 ．
5．（4分）若全集，2，3，4，5，6，7，8，9，，，5，，，9，，则 ．
6．（4分）若一元二次方程两实数根为，，则 ．
7．（5分）若“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围是为 ．
8．（5分）若关于的不等式解集为，则关于的不等式的解集为 ．
9．（5分）设，则可用表示为 ．
10．（5分）若集合或，，且，，则的值为 ．
11．（5分）行知中学高一某班学生参加物理和数学竞赛辅导班的选拔，已知该班学生参加物理竞赛辅导选拔的人数是该班全体人数的八分之三；参加数学竞赛辅导选拔的人数比参加物理竞赛辅导选拔的人数多3人；两个科目都参加选拔的人数比两个科目都不参加的学生人数少7人；则该班参加数学竞赛辅导选拔的人数是 ．
12．（5分）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 ．
二、选择题（每题有且只有一个正确选项，每小题5分共20分）
13．（5分）下列函数不是指数函数的是
A．B．C．D．
14．（5分）下列不等式中正确的是
A．若且，则B．若，则
C．若，则D．若，则
15．（5分）下列运用平均值不等式求最小值结果正确的是
A．若，则由得的最小值是0
B．若则由得的最小值为2
C．若且，则由得的最小值为2
D．设，则由得最小值是2
16．（5分）用（A）表非空集合中元素的个数，定义，若，，且，设实数的所有可能取值构成集合，则
A．4B．3C．2D．9
三、解答题（需要写出必要的解题步骤，仅有结果不得分，共76分，）
17．（14分）解下列不等式：
（1）；
（2）．
18．（14分）已知关于的一元二次方程，
（1）若，求证：；
（2）若，，时方程有两个不相等的正实数根，求实数的取值范围．
19．（14分）已知某市最低工资标准为每月2590元，为了解决该市房价过高的问题，政府计划对低收入的本市户籍居民购买第一套住房的，每月提供一定金额的贷款补贴：补贴规则：个人月收入不高于6000元的，对贷款进行补贴，补贴标准为：贷款月还款额，贷款月还款额不得高于8000元，贷款月还款额高于8000元的，只对8000元部分进行补贴，高于8000元部分不予补贴．
（1）若某人工资为4000元，贷款月还款额为5000元，则他每月获得的贷款补贴是多少元？
（2）对于月工资收入不高于6000元的贷款买房的居民中，若贷款月还款额均为5000元，且约定；实际月收入月工资月贷款补贴月还贷款，则贷款买房的居民中实际月收入最低为多少元？（结果均保留整数位，购房人均符合贷款条件，均不考虑扣税问题）
20．（16分）已知自变量为的函数，
（1）若且，则函数图像可由幂函数_____（写解析式）先沿轴方向_____平移_____个单位，再沿轴方向向上平移_____个单位得到；
（2）当且时不等式对恒成立，求实数的最大值；
（3）吉且关于的不等式解集是单元素集、试写出函数的严格单调区间，并说明单调性（不需要证明单调性）．
21．（18分）对于任意有限集，，定义集合，，表示的元素个数．已知集合，为实数集的非空有限子集，设集合，，．
（1）若，2，，，，求集合和；
（2）已知为有限集，若，证明：．
（3）若，求的值．
参考答案
一、填空题（共12题；1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）
1．（4分）若，则 2 ．
【答案】2．
解：若，
则．
故答案为：2．
2．（4分）把化成有理数指数幂的形式为 ．
【答案】．
解：．
故答案为：．
3．（4分）语句“或”的否定形式是 ．
【答案】．
解：“或”的否定形式为：．
故答案为：．
4．（4分）化简 1 ．
【答案】1．
解：
．
故答案为：1．
5．（4分）若全集，2，3，4，5，6，7，8，9，，，5，，，9，，则 ，2，4， ．
【答案】，2，4，．
解：，5，，，9，，
，5，7，8，9，，
，2，3，4，5，6，7，8，9，，
，2，4，．
故答案为：，2，4，．
6．（4分）若一元二次方程两实数根为，，则 ．
【答案】．
解：由题意得，，
所以．
故答案为：．
7．（5分）若“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围是为 ， ．
【答案】，．
解：是的必要非充分条件，
，，，
，
实数的取值范围是为，，
故答案为：，．
8．（5分）若关于的不等式解集为，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】．
解：因为关于的不等式解集为，
则1为方程的根，且，则，
所以不等式化简为：，解得，
所以不等式的解集为，
故答案为：．
9．（5分）设，则可用表示为 ．
【答案】．
解：因为，
则．
故答案为：．
10．（5分）若集合或，，且，，则的值为 2 ．
【答案】2．
解：集合或，，且，，
，，
．
故答案为：2．
11．（5分）行知中学高一某班学生参加物理和数学竞赛辅导班的选拔，已知该班学生参加物理竞赛辅导选拔的人数是该班全体人数的八分之三；参加数学竞赛辅导选拔的人数比参加物理竞赛辅导选拔的人数多3人；两个科目都参加选拔的人数比两个科目都不参加的学生人数少7人；则该班参加数学竞赛辅导选拔的人数是 18 ．
【答案】18．
解：记该班全体同学形成集合，该班学生人数为，
参加物理竞赛辅导选拔的人形成集合，则（A），
参加数学竞赛辅导选拔的人形成集合，则（B），
两个科目都参加选拔的人数为，
（A）（B），
两个科目都不参加的学生人数为，
依题意，
，解得，则（B）．
故答案为：18．
12．（5分）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 ， ．
【答案】，．
解：当时，不等式对恒成立，则；
当时，不等式，
令，则有，依题意，不等式对恒成立，
令
，则，
又，因此，即，解得，
所以实数的取值范围是，
故答案为：，．
二、选择题（每题有且只有一个正确选项，每小题5分共20分）
13．（5分）下列函数不是指数函数的是
A．B．C．D．
【答案】
解：指数函数是形如且的函数，
对于，系数不是1，所以不是指数函数；
对于，符合指数函数的定义，所以是指数函数；
对于，符合指数函数的定义，所以是指数函数；
对于，符合指数函数的定义，所以是指数函数；
故选：．
14．（5分）下列不等式中正确的是
A．若且，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】
解：，，
，
即，
故选项正确；
当时，，
故选项错误；
，
，
故选项错误；
当时，，但不成立，
故选项错误；
故选：．
15．（5分）下列运用平均值不等式求最小值结果正确的是
A．若，则由得的最小值是0
B．若则由得的最小值为2
C．若且，则由得的最小值为2
D．设，则由得最小值是2
【答案】
解：．的最小值为1，错误；
，的最小值为，错误；
．时，，得不出的最小值为2；
．，，，当时等号成立，的最小值是2，正确．
故选：．
16．（5分）用（A）表非空集合中元素的个数，定义，若，，且，设实数的所有可能取值构成集合，则
A．4B．3C．2D．9
【答案】
解：由于，，且，则（B）或2，
显然，则，故（B），
由于0不是的根，则有两个相等的实数根，
故△，从而，故．
故选：．
三、解答题（需要写出必要的解题步骤，仅有结果不得分，共76分，）
17．（14分）解下列不等式：
（1）；
（2）．
【答案】（1），，．
（2）．
解：（1）原不等式可化为，即，
，
解得或，
即不等式的解集为，，．
（2）由得，，
解得，
即不等式的解集为．
18．（14分）已知关于的一元二次方程，
（1）若，求证：；
（2）若，，时方程有两个不相等的正实数根，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明过程如上解析；（2）．
解：（1）证明：，
因为时，，，，所以，
即；
（2）方程有两个不相等的正实数根，
则，解得，
即实数的范围为．
19．（14分）已知某市最低工资标准为每月2590元，为了解决该市房价过高的问题，政府计划对低收入的本市户籍居民购买第一套住房的，每月提供一定金额的贷款补贴：补贴规则：个人月收入不高于6000元的，对贷款进行补贴，补贴标准为：贷款月还款额，贷款月还款额不得高于8000元，贷款月还款额高于8000元的，只对8000元部分进行补贴，高于8000元部分不予补贴．
（1）若某人工资为4000元，贷款月还款额为5000元，则他每月获得的贷款补贴是多少元？
（2）对于月工资收入不高于6000元的贷款买房的居民中，若贷款月还款额均为5000元，且约定；实际月收入月工资月贷款补贴月还贷款，则贷款买房的居民中实际月收入最低为多少元？（结果均保留整数位，购房人均符合贷款条件，均不考虑扣税问题）
【答案】（1）2500元；（2）实际月收入最低为1324元．
解：（1）由于个人每月收入不高于 6000 元的，对贷款进行补贴，
补贴标准为：贷款月还款额，且贷款月还款额不得高于8000元．
若某人工资为4000元，贷款月还款额为5000元，
所以他每月获得的贷款补贴是：（元；
（2）设月工资收入为元，
则实际月收入：，
当且仅当元时等号成立，
所以当时，实际月收入最低为1324元．
20．（16分）已知自变量为的函数，
（1）若且，则函数图像可由幂函数_____（写解析式）先沿轴方向_____平移_____个单位，再沿轴方向向上平移_____个单位得到；
（2）当且时不等式对恒成立，求实数的最大值；
（3）吉且关于的不等式解集是单元素集、试写出函数的严格单调区间，并说明单调性（不需要证明单调性）．
【答案】（1），向左，一，一；
（2）4；
（3）单调递增区间为和．
【解答】（1）解：已知自变量为的函数，
当且时，，
是由幂函数，先沿轴方向向左平移一个单位，再沿轴方向向上平移一个单位得到；
（2）解：当且时不等式即对恒成立，
因为且，所以，
所以等价于对恒成立，
即对恒成立，
因为函数的对称轴，且，
则只需，解得，所以的最大值为4；
（3）解：因为关于的不等式解集是单元素集，
由，则或，
若，则，解得，此时不等式为，解得，不符合题意，
若，即，解得或，
则，
令，则，解得或，
当，解得，，解得（舍去），
所以，
则函数即为，
因为在和上单调递增，
所以的单调递增区间为和．
21．（18分）对于任意有限集，，定义集合，，表示的元素个数．已知集合，为实数集的非空有限子集，设集合，，．
（1）若，2，，，，求集合和；
（2）已知为有限集，若，证明：．
（3）若，求的值．
【答案】（1），1，2，3，，．
（2）证明过程见解答；
（3）3或4．
解：（1）集合，，，而，2，，，，
，1，2，3，，．
（2）证明：依题意，，，，
，
当且仅当时，取等号，
若中至少含有一个不在中的元素，则有，
当时，则有，
为有限集，且，
令的最小元素为，此时集合中最小的元素为，集合中最小的元素，
集合中最小的元素为，，
，有，
．
（3），集合，，，
若或，则，不合题意，
或，
当集合，中有存在3元素的集合时，令，令，，，，
若，，，
则有，
若，则，满足，此时．
若，则，此时，不合题意，
的值为3或4．