2025-2026学年上海市华东师大松江实验高级中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市华东师大松江实验高级中学高一（上）期中数学试卷（含解析）试卷主要包含了填空题.，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，和集合，，则 ．
2．指数式化成对数式为 ．
3．若要用反证法证明“若，则且”，应假设为 ．
4．若关于的方程：恒成立，则 ．
5．若，则的最小值是 ．
6．若关于的不等式的解集是，则 ．
7．若集合，至多有一个元素，则的取值范围是 ．
8．已知，，用和表示 ．
9．已知方程的两个根为、，则 ．
10．已知条件和条件，若是的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ．
11．设有两个命题：①方程没有实数根；②实数为非负数．如果这两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数的取值范围是 ．
12．已知由自然数组成的元集合，2，3，4，，，非空集合，且对任意，都有，当时，则所有满足条件的集合的元素的和为 ．
二、单选题（第13~14题每题4分，第15~16题每题5分，共18分）
13．已知、、且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
14．若，，，，下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．在上定义运算，则满足的实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．，，D．
16．设，为常数，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
三、解答题（共5题，共78分）
17．已知集合，，．
（1）求、；
（2）若全集，求．
18．函数
（1）若，求的解集；
（2）若关于的方程只有一个根，求的值；
（3）关于的不等式的解集为，求实数的取值范围．
19．某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．
（1）据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？
（2）为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价元，并投入万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．
（提示：月总利润月销售总收入月总成本）
20．（18分）已知命题：不等式对任意恒成立．命题：集合，，满足．
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题、中至少有一个为真命题，求实数的取值范围．
21．（18分）正数、满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．
学习上述解法并解决下列问题：
（1）若正实数、满足，求的最小值，并指出等号成立的条件；
（2）设的最小值为，且正数、满足，求的最小值；
（3）若实数、、、满足，试比较和的大小；利用该结论求代数式的最小值，并指出等号成立时的值．
参考答案
一、填空题（共12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共72分）.
1．已知集合，和集合，，则 ．
解：，，，
由并集定义得．
故答案为：．
2．指数式化成对数式为 ．
解：因为，所以．
故答案为：．
3．若要用反证法证明“若，则且”，应假设为 或 ．
解：要证命题的结论为且，它的否定为或，
所以应假设或．
故答案为：或．
4．若关于的方程：恒成立，则 2 ．
解：因为，
所以，
解得，
所以．
故答案为：2．
5．若，则的最小值是 ．
解：因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立．
故答案为：．
6．若关于的不等式的解集是，则 ．
解：由题设可知：关于的一元二次方程的两根为与，
由韦达定理可得：，解得：，，
故答案为：．
7．若集合，至多有一个元素，则的取值范围是或 ．
解：集合，至多有一个元素，
或，
解得或，
的取值范围是或．
故答案为：或．
8．已知，，用和表示 ．
解：由，得，，
所以．
故答案为：．
9．已知方程的两个根为、，则 ．
解：由题意利用一元二次方程根与系数的关系可得：，，
故，
故答案为：．
10．已知条件和条件，若是的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ．
解：，，由于是的一个充分不必要条件，
所以，
所以．
故答案为：．
11．设有两个命题：①方程没有实数根；②实数为非负数．如果这两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数的取值范围是 ， ．
解：①方程没有实数根；则△，解得；
②实数为非负数，即；数轴表示出两个命题中的范围如图：
如果这两个命题中有且只有一个是真命题，，．
故答案为：，．
12．已知由自然数组成的元集合，2，3，4，，，非空集合，且对任意，都有，当时，则所有满足条件的集合的元素的和为 288 ．
解：由题意可知，当时，，2，3，4，，，
当中有两个元素时，集合可以为，，，，，，，，元素总和为：；
当中有四个元素时，集合可以为集合，，，，，，，中任取两个的并集，
所以集合共有6种情况，元素总和为：；
当中有六个元素时，集合可以为集合，，，，，，，中任取三个的并集，集合共有4种情况，元素总和为：；
当中有八个元素时，，2，3，4，，，元素之和为：，
所以所有满足条件的集合的元素和为：．
故答案为：288．
二、单选题（第13~14题每题4分，第15~16题每题5分，共18分）
13．已知、、且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
解：当，时，，显然错误；
当时，显然错误；
因为，，
由不等式性质可知，，正确．
故选：．
14．若，，，，下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：由，，，，知：
对于，，故正确；
对于，，故错误；
对于，，故错误；
对于，，故错误．
故选：．
15．在上定义运算，则满足的实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．，，D．
解：，
化简得即，
得到且①或且②，解出①得；解出②得且无解．
．
故选：．
16．设，为常数，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
解：关于的不等式，
等价于，
转化为，
不等式的解集中的整数恰有3个，，
又，
不等式的解集为，
解集里的整数是，，0 三个，
，
，即；
又，
，
解得，
综上，的取值范围是．
故选：．
三、解答题（共5题，共78分）
17．已知集合，，．
（1）求、；
（2）若全集，求．
解：（1）集合或，
，
，
，或；
（2）全集，集合或，
，
，
．
18．函数
（1）若，求的解集；
（2）若关于的方程只有一个根，求的值；
（3）关于的不等式的解集为，求实数的取值范围．
解：（1）当时，时，解得，
解集为．
（2）只有1个根，
若，，解得，满足要求，
若，△，解得，
综上，或1．
（3），即的解集为，
当时，，解得，不符合要求，
当时，需满足，解得，
所以实数的取值范围是．
19．某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．
（1）据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？
（2）为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价元，并投入万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．
（提示：月总利润月销售总收入月总成本）
解：（1）设饮料每瓶售价为元，
由题意得，即，
解得，
故饮料每瓶售价最多为20元；
（2）每瓶售价元，设下月总利润为，则每瓶利润为元，月销售量为万瓶，
由题意得，
，则，
，当且仅当，即时，等号成立，
，
故当每瓶售价为19元时，下月的月总利润最大，且下月的最大总利润为45.45万元．
20．（18分）已知命题：不等式对任意恒成立．命题：集合，，满足．
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题、中至少有一个为真命题，求实数的取值范围．
解：（1）不等式对任意恒成立，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以．
故实数的取值范围为，；
（2）命题：集合，，满足．
若命题为真命题，对于方程，其判别式△，
①当△，即，，符合；
②当△，即或，
当时，，不符合；
当时，，符合；
③当△，即或，设方程的两根为，．
当时，，，所以，，，，此时，不符合；
当时，，，所以，，，，此时，符合．
综上可得，命题为真命题时，．
所以命题、中至少有一个为真命题，实数的取值范围为．
所以实数的取值范围为．
21．（18分）正数、满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．
学习上述解法并解决下列问题：
（1）若正实数、满足，求的最小值，并指出等号成立的条件；
（2）设的最小值为，且正数、满足，求的最小值；
（3）若实数、、、满足，试比较和的大小；利用该结论求代数式的最小值，并指出等号成立时的值．
解：（1）若正实数，满足，
，
当且仅当且，即，时取等号，
所以的最小值9；
（2）函数，作出图象，
函数的最小值为1，则，
，
当且仅当，即时，等号成立，所求最小值为；
（3）若，且，
由，
因为，且仅当时取等号，
所以
，所以；
令，则，
所以，
当且仅当时取等号，即，
即，所以．
所以的最小值为，此时．