上海市宝山区行知中学2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份上海市宝山区行知中学2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列有关线性回归分析的四个命题：①线性回归直线必过样本数据的中心点(x−,y−)；②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；③当相关性系数r>0时，两个变量正相关；③如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r就越接近于1.其中真命题的个数为( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，且OM=23OA，BN=NC，则MN=( )
A. 12a−23b+12cB. 12a+12b−12c
C. −23a+23b+12cD. −23a+12b+12c
3.下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是( )
A. 将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X
B. 从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为X
C. 某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X
D. 盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X
4.如图，已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点，则函数F(x)=f(x)−kx有( )
A. 1个极大值点，2个极小值点B. 2个极大值点，1个极小值点
C. 3个极大值点，无极小值点D. 3个极小值点，无极大值点
二、填空题：本题共12小题，共60分。
5.(x+1x)8的二项式展开式中，常数项为______．
6.已知等差数列{an}中，公差d>0，且a3a7=−16，a4+a6=0，则a10= ______．
7.某同学10次数学检测成绩统计如下：95，97，94，93，95，97，97，96，94，93，设这组数的平均数为a，中位数为b，众数为c，则a、b、c的大小为______.(用>符号连接)
8.已知f(x)=ex+2x2−ax，函数y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率是4，则实数a= ______．
9.一个盒子中装有2个红球，8个黑球，从中不放回地任取1个小球，则第二次才取出红球的概率是______．
10.若方程4x2+ky2=4k表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于______．
11.已知点A(2,3)，点B(−2, 3)，直线l过点P(−1,0)，若直线l与线段AB相交，则直线l的倾斜角的取值范围是______．
12.某学校组织学生参加劳动实践活动，其中4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名女生互不相邻，且农场主站在中间的方法数为______.(用数字作答)
13.如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P为线段D1E上一动点，则异面直线C1P与AD所成角的最小值为______.(结果用反余弦表示)
14.据统计，某种脐橙的果实横径(单位：mm)服从正态分布N(80,52)，现任取10个这种脐橙.设其果实横径在[75,90)的个数为X，则E(X)= ______．
附：X∼N(μ,σ2)，P(μ−σa>b
【解析】解：将数据从小到大的顺序排列，则为93，93，94，94，95，95，96，97，97，97，
所以平均数为a=93+93+94+94+95+95+96+97+97+9710=95110=95.1，
中位数为b=95+952=95，
众数为c=97，
所以c>a>b．
故答案为：c>a>b．
将数据从小到大的顺序排列，从而求出平均数、中位数、众数，即可比较出它们的大小．
本题主要考查了平均数、中位数和众数的定义，属于基础题．
8.【答案】e
【解析】解：函数f(x)=ex+2x2−ax，
所以f′(x)=ex+4x−a，
因为函数y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率是4，
所以f′(1)=4，
所以e+4−a=4，
解得a=e．
故答案为：e．
利用导数的几何意义求解．
本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题．
9.【答案】845
【解析】解：由题意知第一次取出的是黑球，设为事件A，
第二次取出红球设为事件B，
则P(A)=810=45，则P(B|A)=29，
所以第二次才取出红球的概率是P(AB)=P(A)P(B|A)=45×29=845．
故答案为：845．
由题知第一次取出的是黑球，设出事件，求出相应概率，代入条件概率公式即可求得第二次才取出红球的概率．
本题考查古典概率模型，属于基础题．
10.【答案】2 −k
【解析】解：方程4x2+ky2=4k表示双曲线，则4k≠0，
所以x2k+y24=1，即y24−x2−k=1；
所以b2=−k，此双曲线的虚轴长2b=2 −k．
故答案为：2 −k．
把方程4x2+ky2=4k化为标准形式，求出b2和2b即可．
本题考查了双曲线的标准方程应用问题，是基础题．
11.【答案】[45°,120°]
【解析】解：如图，A(2,3)，B(−2, 3)，P(−1,0)，
∵kPA=32−(−1)=1，kPB= 3−2−(−1)=− 3，
∴PA所在直线的倾斜角为45°，PB所在直线的倾斜角为120°．
∴若直线l与线段AB相交，则直线l的倾斜角的取值范围是[45°,120°]．
故答案为：[45°,120°]．
由已知画出图形，求出PA，PB的斜率，得到所在直线的倾斜角，则答案可求．
本题考查直线斜率与倾斜角的关系，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．
12.【答案】528
【解析】解：根据题意，农场主站在中间，有A66=720种不同的站法，农场主人站在中间，两名女生相邻共有4A22A44=192种站法，
则2名女生互不相邻，且农场主站在中间的站法有A66−4A22A44=528种站法．
故答案为：528．
由排列组合数公式，利用逆向思维求解“2名女生互不相邻，且农场主站在中间”的站法数目．
本题考查排列组合的实际应用，属于中档题．
13.【答案】arccs 55
【解析】解：以DA，DC，DD1为正交基底，建立平面直角坐标系，
则A(4,0,0)，D(0,0,0)，C1(0,4,4)，E(2,4,0)，D1(0,0,4)．
设D1P=λD1E=λ(2,4,−4)=(2λ,4λ,−4λ)，0≤λ≤1，
则点P(x,y,z)满足(x,y,z−4)=(2λ,4λ,−4λ)，解得P(2λ,4λ,4−4λ)．
所以C1P=(2λ,4λ−4,−4λ)，结合DA=(4,0,0)，可得C1P⋅DA=8λ+0+0=8λ．
所以cs=C1P⋅DA|C1P|⋅|DA|=8λ 4λ2+(4λ−4)2+16λ2⋅4=1 (2λ)2−4⋅2λ+9，
由二次函数的性质，可知当2λ=2时，即λ=1时，(2λ)2−4⋅2λ+9取得最小值5，
所以cs的最大值为1 5= 55，
结合余弦函数的单调性，可知此时取得最小值，即异面直线C1P与AD的所成角最小．
所以异面直线C1P与AD所成角的最小值为arccs 55．
故答案为：arccs 55．
建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，设D1P=λD1E(0≤λ≤1)，将cs表示为关于λ的函数表达式，运用二次函数的性质求出cs的最大值，进而可得异面直线C1P与AD所成角的最小值．
本题主要考查正方体的结构特征、运用空间坐标系求异面直线所成角、二次函数的性质等知识，属于中档题．
14.【答案】8.186
【解析】解：脐橙的果实横径(单位：mm)服从正态分布N(80,52)，对称轴为μ=80，
果实横径在[75,90)的概率为P=12P(75≤X≤85)+12P(70≤X≤90)=12×(0.6827+0.9545)=0.8186，
则果实横径在[75,90)的个数为X服从二项分布(10,0.8186)，
则E(X)=10×0.8186=8.186．
故答案为：8.186．
根据二项分布以及正态分布相关知识可解．
本题考查二项分布以及正态分布相关知识，属于中档题．
15.【答案】2x−y−4050=0
【解析】解：因为f(x+1)为奇函数，且f(x−1)的图像关于x=1对称，
所以f(−x+1)+f(x+1)=0，f(1−x−1)=f(1+x−1)，
所以f(−x)+f(x+2)=0，f(−x)=f(x)，
所以f(x)+f(x+2)=0，所以f(x+2)+f(x+4)=0，
所以f(x+4)=f(x)，所以f(x)的周期为4，
又根据f(−x+1)+f(x+1)=0，可得2f(1)=0，所以f(1)=0，
所以f(2025)=f(4×506+1)=f(1)=f(−1)=0，又y=f(x)在x=−1处的切线斜率为2，
所以曲线y=f(x)在x=2025处的切线方程为y=2(x−2025)，即为2x−y−4050=0．
故答案为：2x−y−4050=0．
根据题意可得f(x)关于(1,0)及y轴对称，从而可得周期为4，再利用导数的几何意义，即可求解．
本题考查抽象函数的性质，导数的几何意义的应用，属中档题．
16.【答案】48
【解析】解：∵MP=λPN(λ∈R)，
∴P，M，N共线，
又∵圆O：x2+y2=16过两点M(x1,y1)，N(x2,y2)，
∴M，N是过点P(0,2)的直线与圆x2+y2=16的两交点，
设M，N的中点为(x0,y0)，2x0=x1+x2，2y0=y1+y2，
则|3x1+4y1+25|5+|3x2+4y2+25|5 的几何含义为M，N两点到直线3x+4y+25=0的距离和，
则|3x1+4y1+25|5+|3x2+4y2+25|5=2⋅|3x0+4y0+25|5，
又∵M，N是过点P(0,2)的直线与圆x2+y2=16的两交点，
∴x12+y12=16,x22+y22=16，
两式作差可得，y1−y2x1−x2=−x0y0，
又由两点之间的斜率公式可得，y1−y2x1−x2=y0−2x0−0，
∴−x0y0=y0−2x0，化简可得x02+(y0−1)2=1，则MN的中点轨迹为以(0,1)为圆心，以1为半径的圆，
则(x0,y0) 到直线3x+4y+25=0的距离的最小值为|4+25|5−1=245，
∴|3x1+4y1+25|+|3x2+4y2+25|=5×(|3x1+4y1+25|5+|3x2+4y2+25|5)=5×2×245=48．
故答案为：48．
由题意可得，P，M，N共线，则|3x1+4y1+25|5+|3x2+4y2+25|5 的几何含义为M，N两点到直线3x+4y+25=0的距离和，再结合点差法和点到直线的距离公式，即可求解．
本题考查点到直线距离公式的应用，考查直线与圆位置关系的应用，尤其掌握“点差法”是解本题的关键，属于难题．
17.【答案】(1)证明：因E，F，G分别为PC，BC，CD的中点，故EF//PB，EG/​/PD，
从而EF/​/平面PBD，EG/​/平面PBD，
又EF，EG⊂平面EFG，且EF⋂EG=E，故平面EFG/​/平面PBD，
由FH⊂平面EFG，得FH/​/平面PBD；
(2)解：以A为原点，直线AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则由已知条件，得相关点的坐标为A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，
P(0,0,2),E(12,1,1),F(1,1,0)，G(12,2,0)，H(12,32,12)，
于是FH=(−12,12,12)，PB=(1,0,−2),BC=(0,2,0)，
设面PBC的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅PB−=x−2z=0n.⋅BC=2y=0，取z=1，得n=(2,0,1)，
设FH与平面PBC所成的角为θ，则sinθ=|FH⋅n||FH|⋅|n|=1212 3⋅ 5= 1515，
故FH与平面PBC所成角的正弦值为 1515．
【解析】(1)连接CH，延长交PD于点K，连接BK，根据E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，易得FH//BK，再利用线面平行的判定定理证明；
(2)建立空间直角坐标，求得FH的坐标，平面PBC一个法向量n=(x,y,z)，代入公式sinθ=|FH⋅n||FH|⋅|n|=|FH⋅n||FH|⋅|n|求解．
本题考查了线面平行的证明和线面角的计算，属于中档题．
18.【答案】f(x)在(0,−a)上单调递减，在(−a,+∞)上单调递增．
a=− e．
【解析】解：(1)由题意得f(x)的定义域是(0,+∞)，且f′(x)=x+ax2，
因为a