2025-2026学年上海市宝山区行知中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年上海市宝山区行知中学高二（上）期中数学试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知等差数列的前项和为，则 ．
2．已知函数，，，则（1） ．
3．两条异面直线所成的角的取值范围是 ．
4．已知向量，若，则 ．
5．已知球的表面积为，则其体积为 ．
6．在等比数列中，，，则 ．
7．已知数列满足则所有项的和为 ．
8．已知棱长为2的正方体，棱的中点为，从点沿着正方体表面到点的最短路径的长度为 ．
9．已知数列满足，则 ．
10．已知高为1且底面半径为的圆锥，顶点为，底面上有两个不同的动点和，则△的面积的最大值为 ．
11．若函数在上存在极小值，则实数的取值范围为 ．
12．已知空间直角坐标系，，3，，，2，，，4，，若动点满足，若、、均取遍，，则点的轨迹形成的几何体的体积为 ．
二、选择题
13．已知的定义域为，且处处存在导数，则“函数是奇函数”是“函数是偶函数”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
14．已知两个不同的平面和，两条不同的直线和，下列结论正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，，，则D．若，，，则
15．对于下列两个命题真假的判断的正确选项是（ ）
命题甲：存在某个等差数列同时含有1，，三项．
命题乙：存在某个等比数列同时含有1，，三项．
A．甲真乙假B．甲假乙真C．甲乙都真D．甲乙都假
16．集合为空间直角坐标系内的一个点集，任取、、，存在不全为0的实数、、，使得．若，0，，，0，，则下列选项正确的是（ ）
A．，0，B．，，C．，0，D．，0，
三、解答题
17．如图，正四棱柱，底面边长，侧棱，点在线段上运动．
（1）证明：直线平面；
（2）若，求直线和平面的所成角．
18．若函数和图象有公共点，且各自过点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线．
（1）分别求和在交点处的切线方程；
（2）若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标．
19．（16分）（1）如图1，设圆台的上、下底面的面积分别为、，高为，根据圆锥的体积，证明：圆台的体积；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，多边形的顶点、、，若该多边形是正六边形，写出点、、的坐标并求该六边形绕轴旋转一周形成的几何体的体积；
（3）在（2）的条件下，求几何体的表面积．
20．（16分）已知数列，，，前项和为．
（1）若是等差数列，求；
（2）若，求；
（3）若是等比数列，项数不少于2，求所有任意不同两项的乘积的总和．
21．（18分）定义：多面体的周长是指该多面体的所有棱的长度和．
如图，已知正四面体的底面△的边长为1，、、分别为倒棱、、上的点，平面平面，
（1）求棱台的周长；
（2）若是侧棱的中点，△和△的顶点都在同一个球面上，求此球的半径；
（3）已知棱台的体积为，问是否存在一个与棱台的周长和体积都相等的平行六面体，其各棱长均相等且侧棱垂直于底面？若存在，求出此平行六面体的棱长和底面四边形的面积，若不存在，请说明理由．
参考答案
一、填空题
1．5．
2．1．
3．，
4．4．
5．．
6．4．
7．0．
8．．
9．．
10．2．
11．．
12．24．
二、选择题
13．．
14．．
15．．
16．．
三、解答题
17．解：（1）证明：连接，，如下图所示：
由题易知，，，
又因为，平面，，
所以平面平面，
又因为点在线段上运动，所以平面，
所以直线平面；
（2）如图建立空间直角坐标系：
因为，
所以，，2，，则，
易知平面一个法向量为，
设直线和平面的所成角为，
所以，
所以直线和平面的所成角为．
18．解：（1）因为和的导数分别为，，
联立，可得交点，
所以处的切线斜率分别为2，，
所以所求切线方程分别为，，
即所求切线方程分别为：，；
（2）因为和的导数分别为，，
设交点，，则，又和在点处存在公切线，
所以，结合，解得，，
所以，．
19．解：（2），
该旋转体体积等于两个圆台体积加一个圆柱体积减去两个圆锥体积，
，
，
，
所求几何体的体积；
（3）该旋转体的表面积等于两圆台侧面积加一个圆柱侧面积加两个圆锥侧面积，
，
，
，
所求几何体的表面积．
20．解：（1）由，，是等差数列，
可得公差为1，首项为1，则；
（2）若，
若为偶数时，；
当为奇数时，；
则；
（3）由题意可得，，
设，
则．
21．解：（1）棱台的周长为，
正四面体的周长为，
由正四面体的性质，且截面底面，
△，△，△均为全等的正三角形，
所以，
所以棱台周长为6；
（2）设球半径为，因为为中点，所以△所在小圆的半径为，
△所在圆的半径为，
棱台高为正四面体高的一半，所以，
因为球心和上述两圆的圆心共线，所以球心到上下底面的和或差为，
于是，
解得，此时棱台的两个底面在球心的同侧；
（3）设平行六面体的棱长为，
底面平行四边形的面积，底面平行四边形的一个内角为，，
下面证明存在符合条件的平行六面体，
由（1）的推导过程可知，棱台周长为定值6，故周长，于是棱长，
因为侧棱垂直于底面，所以高为，所以，于是，
因为底面是平行四边形，所以，所以，
由于正四面体的体积为，所以，于是，
所以方程有唯一锐角解，
综上，存在棱长均为，底面面积，底面锐角内角为，
侧棱垂直于底面的平行六面体，使得周长和体积都等于棱台．