苏教版（2024）五年级上册（2024）七 用字母表示数量关系（一）精品学案

这是一份苏教版（2024）五年级上册（2024）七 用字母表示数量关系（一）精品学案，共15页。学案主要包含了解题思路，完整解答等内容，欢迎下载使用。
? 知识梳理
1. **用字母表示数的意义**：用字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数。用字母表示数能够简明地表达数量关系，具有概括性。
2. **含有字母的乘法式子的简写规则**：
● 数字和字母相乘：乘号可以记作"·"或省略不写，数字要写在字母前面，如 a×3 = 3a
● 字母和字母相乘：乘号可以记作"·"或省略不写，如 a×b = ab
● 1和字母相乘：1可以省略不写，如 1×a = a
● 相同字母相乘：写成平方的形式，如 a×a = a²，读作"a的平方"
3. **用字母表示数量关系**：
● 加法关系：如比a多5的数是 a+5
● 减法关系：如比a少5的数是 a-5
● 乘法关系：如a的3倍是 3a
● 除法关系：如把a平均分成5份，每份是 a÷5
4. **用字母表示运算定律**：
● 加法交换律：a+b = b+a
● 加法结合律：(a+b)+c = a+(b+c)
● 乘法交换律：a×b = b×a
● 乘法结合律：(a×b)×c = a×(b×c)
● 乘法分配律：(a+b)×c = a×c+b×c
5. **用字母表示计算公式**：
● 长方形周长：C = (a+b)×2 = 2(a+b)
● 长方形面积：S = ab
● 正方形周长：C = 4a
● 正方形面积：S = a²
6. **代入求值的规范格式**：先写出含有字母的式子，然后把字母所表示的数值代入式子中，按照运算顺序计算出结果。书写格式：当a=6时，3a = 3×6 = 18（注意：计算结果后面不写单位名称）
7. **字母取值范围的实际意义**：在实际问题中，字母的取值要符合生活实际。如表示人数时，字母的值必须是非负整数；表示长度、面积时，字母的值必须是正数。
⚠️ 易错汇总
1. **数字与字母相乘时数字位置写错**：如把3×a写成a3，正确写法是3a，数字必须写在字母前面。
2. **a²和2a混淆**：a²表示两个a相乘，即a×a；2a表示两个a相加，即a+a，二者意义不同，结果也不一定相等。
3. **1与字母相乘时省略1的写法错误**：如把1×a写成1a，正确写法是a，1要省略不写。
4. **加法、减法、除法运算中也省略运算符号**：只有乘法可以省略乘号，加法、减法、除法中的运算符号不能省略。
5. **代入求值格式不规范**：代入时忘记写"当……时"，或计算过程中等号对齐不规范，或结果后面带单位名称。
6. **不考虑字母的实际取值范围**：在解决实际问题时，忽略了字母取值要符合生活实际的要求，如人数出现小数或负数。
7. **平方的写法和读法错误**：把a²写成a2，或把a²读作"a乘以2"，正确读法是"a的平方"，表示两个a相乘。
? 易错精讲
【易错一】省略乘号写出下面各式：
a×5 = 1×b = x×x = m×n =
【解题思路】这道题考查含有字母的乘法式子的简写规则。数字和字母相乘时，数字写在字母前面，乘号省略；1和字母相乘时，1要省略；两个相同字母相乘写成平方形式；两个不同字母相乘直接省略乘号。
【完整解答】
a×5 = 5a
1×b = b
x×x = x²
m×n = mn
【易错点】容易把a×5写成a5（数字应写在字母前面），把1×b写成1b（1要省略），把x×x写成2x（相同字母相乘应写成平方形式）。
【易错二】判断题：a²一定大于2a。（ ）
【解题思路】这道题考查a²和2a的区别。a²表示两个a相乘，即a×a；2a表示两个a相加，即a+a。它们的大小关系取决于a的取值，需要分情况讨论。
【完整解答】
当a = 0时，a² = 0×0 = 0，2a = 2×0 = 0，a² = 2a；
当a = 1时，a² = 1×1 = 1，2a = 2×1 = 2，a² < 2a；
当a = 2时，a² = 2×2 = 4，2a = 2×2 = 4，a² = 2a；
当a = 3时，a² = 3×3 = 9，2a = 2×3 = 6，a² > 2a。
所以a²不一定大于2a，原题说法错误。
答案：×
【易错点】误以为a²就是a乘以2，认为a²一定比2a大，实际上二者大小关系取决于a的取值，要分情况讨论。
【易错三】一辆汽车每小时行驶v千米，t小时行驶了s千米。
（1）用含有字母的式子表示路程s。
（2）如果每小时行驶60千米，3.5小时行驶多少千米？
【解题思路】第（1）题根据"路程=速度×时间"的数量关系，用字母表示出路程公式；第（2）题是代入求值，按照规范格式把数值代入式子计算。
【完整解答】
（1）s = vt
（2）当v = 60，t = 3.5时，
s = vt
= 60×3.5
= 210
答：3.5小时行驶210千米。
【易错点】代入求值时格式不规范，如不写"当……时"直接代入计算，或计算结果后面写单位名称（用字母表示的式子中结果不写单位）。
【易错四】一个长方形的长是a厘米，宽是b厘米。
（1）用含有字母的式子表示长方形的周长和面积。
（2）当a = 8，b = 5时，求长方形的周长和面积。
【解题思路】第（1）题考查用字母表示长方形的周长和面积公式，要注意简写规则的应用；第（2）题是代入求值，要注意周长和面积的单位不同，但计算结果后面不写单位。
【完整解答】
（1）长方形的周长：C = 2(a+b)
长方形的面积：S = ab
（2）当a = 8，b = 5时，
周长：C = 2(a+b)
= 2×(8+5)
= 2×13
= 26
面积：S = ab
= 8×5
= 40
答：长方形的周长是26厘米，面积是40平方厘米。
【易错点】周长公式容易写成(a+b)×2而不是2(a+b)（数字应写在括号前面），或者代入求值时忘记先算括号里的加法。
【易错五】四年级有学生120人，五年级比四年级多x人。五年级有学生多少人？当x = 25时，五年级有学生多少人？
【解题思路】这道题考查用含有字母的式子表示数量关系以及代入求值。"五年级比四年级多x人"，说明五年级人数多，要用加法。
【完整解答】
五年级学生人数：(120+x)人
当x = 25时，
120+x
= 120+25
= 145
答：五年级有学生(120+x)人；当x = 25时，五年级有学生145人。
【易错点】1. 数量关系搞反，容易写成120-x（应看清谁比谁多）；2. 式子后面带单位时要加括号，如(120+x)人，而不是120+x人。
【易错六】商店运来苹果a千克，运来的梨比苹果的3倍少b千克。
（1）用含有字母的式子表示运来梨多少千克。
（2）当a = 120，b = 18时，运来梨多少千克？
（3）这里的a可以表示哪些数？
【解题思路】第（1）题考查倍数关系的数量表达式，"比苹果的3倍少b"就是用苹果的质量乘3再减去b；第（2）题代入求值；第（3）题考查字母的取值范围，要结合实际意义分析。
【完整解答】
（1）运来梨的质量：(3a-b)千克
（2）当a = 120，b = 18时，
3a-b
= 3×120-18
= 360-18
= 342
答：运来梨342千克。
（3）因为运来的梨的质量必须是正数，所以3a-b > 0，即3a > b，a > b/3。
同时a表示苹果的质量，必须是正数。
答：a可以表示大于b/3的任意正数（实际问题中还应取合理的正数范围）。
【易错点】1. 倍数关系搞反或少算倍数；2. 忽略字母的实际取值范围，认为a可以是任意数，实际上a的取值要保证梨的质量为正数。
✏️ 易错专练
一、选择题（共9题）
1. 下面各式中，省略乘号写法正确的是（ ）。
A. a×8 = a8
B. 1×t = 1t
C. m×m = m²
D. x+y = xy
2. 当a = 4时，a²等于（ ）。
A. 8
B. 16
C. 6
D. 42
3. 下面各组中，两个式子结果相等的是（ ）。
A. 5²和5+5
B. 0.1×2和0.1²
C. a+a和2a
D. a+a和a²
4. 一个正方形的边长是a厘米，它的周长是（ ）厘米。
A. a²
B. 4a
C. a+4
D. a÷4
5. 小明今年a岁，爸爸比小明大28岁，爸爸今年（ ）岁。
A. a+28
B. a-28
C. 28a
D. 28-a
6. 每本练习本x元，买5本一共花了（ ）元。
A. 5+x
B. 5x
C. x÷5
D. x-5
7. 甲数是a，比乙数的2倍多3，表示乙数的式子是（ ）。
A. 2a+3
B. 2a-3
C. (a+3)÷2
D. (a-3)÷2
8. 当a = 5，b = 4时，ab+3的值是（ ）。
A. 5+4+3 = 12
B. 54+3 = 57
C. 5×4+3 = 23
D. 5×4×3 = 60
9. 每千克苹果m元，买8千克苹果，付了100元，应找回（ ）元。
A. 8m
B. 100+8m
C. 100-8m
D. 8m-100
二、填空题（共7题）
1. 省略乘号写出下面各式。
a×12 =（ ） b×b =（ ）
1×x =（ ） m×n =（ ）
2. 用含有字母的式子表示下面的数量关系。
（1）30与a的和：____________
（2）a的5倍：____________
（3）比x少8的数：____________
（4）y除以4的商：____________
3. 五（1）班有男生a人，女生比男生少5人，女生有（ ）人，全班一共有（ ）人。
4. 一个长方形的长是m米，宽是n米，它的周长是（ ）米，面积是（ ）平方米。
5. 一本书有a页，小华每天看8页，看了x天，还剩（ ）页没看。如果a = 120，x = 10，还剩（ ）页没看。
6. 商店运进n箱苹果，每箱重15千克，卖出65千克，还剩（ ）千克。当n = 8时，还剩（ ）千克。
7. 用a表示商品的单价，x表示数量，c表示总价，那么：
c =（ ） a =（ ） x =（ ）
三、判断题（共4题）
1. 因为5×a = 5a，所以x×10 = 10x。（ ）
2. a²一定大于2a。（ ）
3. 7×8可以写成78。（ ）
4. 小明的身高是a米，a可以是任意正数。（ ）
四、计算题（共2大题，6小题）
1. 省略乘号改写下面各式。
（1）5×a = （2）1×b =
（3）x×y = （4）a×a =
（5）10×m+8 = （6）n×1-4 =
2. 计算下面各题（代入求值）。
（1）当a = 6，b = 4时，求2a+3b的值。
（2）当x = 12时，求x²-5x的值。
（3）当m = 3.5，n = 2时，求(m+n)×2的值。
五、解答题（共14题）
1. 一个三角形的底是a厘米，高是h厘米。
（1）用含有字母的式子表示三角形的面积。
（2）当a = 10，h = 6时，求三角形的面积。
2. 学校买来10个足球，每个m元；又买来b个篮球，每个65元。
（1）用含有字母的式子表示买足球和篮球一共用去多少元。
（2）当m = 45，b = 8时，一共用去多少元？
3. 水果店运来苹果20筐，每筐a千克；运来梨15筐，每筐b千克。
（1）用含有字母的式子表示运来的苹果和梨一共多少千克。
（2）当a = 25，b = 20时，苹果比梨多多少千克？
4. 一辆汽车上午行了3小时，下午以同样的速度行了5小时。如果平均每小时行v千米。
（1）用含有字母的式子表示这一天一共行的路程。
（2）当v = 75时，下午比上午多行多少千米？
5. 看图列式计算。
（用文字描述：一个长方形，长为a米，宽为8米，其中一边有一个边长为b米的正方形空缺）
（1）用含有字母的式子表示图中阴影部分的面积。
（2）当a = 20，b = 5时，阴影部分的面积是多少平方米？
6. 操作题：根据表格中的信息回答问题。
（1）每千克苹果（ ）元，x千克苹果（ ）元。
（2）当x = 12时，买这些苹果一共需要多少元？
（3）王阿姨买苹果花了27元，她买了多少千克苹果？（用式子表示并计算）
7. 生活应用：某停车场的收费标准如下：1小时以内收费5元；超过1小时的，每小时收费2.5元（不足1小时按1小时计算）。李叔叔在这个停车场停车x小时（x>1）。
（1）用含有字母的式子表示李叔叔应付的停车费。
（2）当x = 4时，李叔叔应付多少元？
8. 生活应用：学校食堂买了10袋大米，每袋大米重x千克，吃了y千克。
（1）用含有字母的式子表示还剩多少千克大米。
（2）当x = 25，y = 120时，还剩多少千克大米？
9. 生活应用：一根铁丝长40厘米，用它围成一个长方形，长是a厘米。
（1）用含有字母的式子表示长方形的宽。
（2）当a = 12时，宽是多少厘米？
（3）这里的a能是25吗？为什么？
10. 探索规律：
用小棒按下面的方式摆正方形。
（用文字描述：摆1个正方形用4根小棒，摆2个正方形用7根小棒，摆3个正方形用10根小棒……）
（1）摆1个正方形用（ ）根小棒，
摆2个正方形用（ ）根小棒，
摆3个正方形用（ ）根小棒，
摆4个正方形用（ ）根小棒。
（2）摆n个正方形用多少根小棒？（用含有字母的式子表示）
（3）当n = 20时，一共用了多少根小棒？
11. 探索规律：观察下面的等式：
1 = 1²
1+3 = 2²
1+3+5 = 3²
1+3+5+7 = 4²
……
（1）1+3+5+7+9 =（ ）²
（2）从1开始，n个连续奇数相加的和是多少？用含有字母的式子表示。
（3）利用规律计算：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19
12. 综合提升：甲、乙两地相距300千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行v千米，行了3小时。
（1）用含有字母的式子表示距离乙地还有多少千米。
（2）当v = 80时，距离乙地还有多少千米？
（3）这里的v能是120吗？为什么？
13. 综合提升：修一条长a米的公路，已经修了5天，平均每天修b米，余下的准备6天修完。
（1）用含有字母的式子表示余下的平均每天修多少米。
（2）当a = 600，b = 60时，余下的平均每天修多少米？
14. 综合提升：电影院第一排有a个座位，后面每一排都比前一排多2个座位。
（1）第二排有（ ）个座位，第三排有（ ）个座位。
（2）第n排有多少个座位？（用含有字母的式子表示）
（3）当a = 20时，第10排有多少个座位？
? 参考答案
一、选择题（共9题）
1. C
解析：A选项数字应写在字母前面，应为8a；B选项1要省略，应为t；D选项加法不能省略加号；C选项两个相同字母相乘写成平方形式，正确。
2. B
解析：a² = a×a = 4×4 = 16
3. C
解析：A选项5²=25，5+5=10，不相等；B选项0.1×2=0.2，0.1²=0.01，不相等；C选项a+a=2a，相等；D选项a+a=2a，a²=a×a，不一定相等。
4. B
解析：正方形周长=边长×4=4a
5. A
解析：爸爸比小明大28岁，所以爸爸年龄=小明年龄+28=a+28
6. B
解析：总价=单价×数量=5×x=5x
7. D
解析：甲数比乙数的2倍多3，即甲数=乙数×2+3，所以乙数=(甲数-3)÷2=(a-3)÷2
8. C
解析：ab表示a×b，所以ab+3=5×4+3=20+3=23
9. C
解析：应找回的钱=付出的钱-花掉的钱=100-8m
二、填空题（共7题）
1. 12a；b²；x；mn
2. （1）30+a （2）5a （3）x-8 （4）y÷4
3. a-5；2a-5
解析：女生人数=男生人数-5=a-5；全班人数=男生+女生=a+(a-5)=2a-5
4. 2(m+n)；mn
5. a-8x；40
解析：已看页数=8×x=8x，还剩页数=a-8x；当a=120，x=10时，120-8×10=120-80=40
6. 15n-65；55
解析：总质量=15×n=15n，还剩质量=总质量-卖出质量=15n-65；当n=8时，15×8-65=120-65=55
7. ax；c÷x；c÷a
解析：总价=单价×数量，即c=ax；单价=总价÷数量，即a=c÷x；数量=总价÷单价，即x=c÷a
三、判断题（共4题）
1. √
解析：数字与字母相乘，乘号省略，数字写在字母前面。
2. ×
解析：当a=0或a=2时，a²=2a；当a=1时，a²