第3单元 多边形的面积知识点-苏教版小学数学五上

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第3讲 多边形的面积（讲义）（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）? 知识梳理1. **平行四边形的面积**平行四边形的面积 = 底 × 高字母公式：S = a × h （或 S = ah）● 底和高必须是对应的一组（高必须是这条底边上的高）。● 推导方法：沿高剪开，通过平移转化成长方形。2. **三角形的面积**三角形的面积 = 底 × 高 ÷ 2字母公式：S = ah ÷ 2 （或 S =  EQ \f(1,2) 1/2 ah）● 推导方法：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，三角形面积是拼成的平行四边形面积的一半。● 等底等高的三角形，面积相等，但形状不一定相同。3. **梯形的面积**梯形的面积 = （上底 + 下底）× 高 ÷ 2字母公式：S = (a + b)h ÷ 2 （或 S =  EQ \f(1,2) 1/2 (a+b)h）● 推导方法：两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。● 梯形面积等于上底与下底的和乘以高再除以2，不要忘记"除以2"。4. **公顷和平方千米**测量或计量土地面积，通常用公顷和平方千米作单位。● 1公顷 = 10000平方米（边长100米的正方形土地，面积是1公顷）● 1平方千米 = 100公顷 = 1000000平方米（边长1000米的正方形土地，面积是1平方千米）● 单位换算：大单位→小单位，乘进率；小单位→大单位，除以进率。5. **组合图形的面积**由几个简单图形组合而成的图形，叫作组合图形。计算组合图形面积的方法：● 分割法：把组合图形分割成几个已学过的简单图形，分别算出面积，再相加。● 添补法：把组合图形补成一个大的简单图形，用大图形面积减去添补部分的面积。6. **不规则图形的面积估算**对于不规则图形，可以用数方格的方法估算面积。● 整格按1格算，不满整格的按半格算；● 也可以把不规则图形看成近似的已学图形来估算。7. **面积公式的变形应用**● 平行四边形：底 = 面积 ÷ 高，高 = 面积 ÷ 底● 三角形：底 = 面积 × 2 ÷ 高，高 = 面积 × 2 ÷ 底● 梯形：高 = 面积 × 2 ÷（上底 + 下底），上底 = 面积 × 2 ÷ 高 - 下底⚠️ 易错汇总1. 三角形和梯形的面积计算容易忘记"除以2"，导致结果是正确结果的2倍。2. 找底和对应的高时容易出错，必须是底和它所在边上的高对应才能相乘。3. 公顷与平方米的进率容易记错（应为10000），经常误记成100或1000。4. 计算组合图形面积时，分割或添补的方法不合理，导致计算复杂或算错。5. 单位不统一就直接计算，结果肯定错误，计算前一定要统一单位。6. 已知三角形面积和底（或高）求高（或底）时，容易忘记面积先乘2。7. 数方格估算面积时，不满一格的处理方式容易错（应按半格算）。? 易错精讲【易错一】一个平行四边形的底是8厘米，高是5厘米，它的面积是多少平方厘米？一个与它等底等高的三角形面积是多少平方厘米？【解题思路】第一问直接用平行四边形面积公式：底×高。第二问要注意：等底等高的三角形面积是平行四边形的一半，要除以2。【完整解答】平行四边形面积：S = ah= 8 × 5= 40（平方厘米）三角形面积（等底等高）：S = ah ÷ 2= 8 × 5 ÷ 2= 40 ÷ 2= 20（平方厘米）答：平行四边形的面积是40平方厘米，与它等底等高的三角形面积是20平方厘米。【易错点】三角形面积忘记除以2，错误地算成40平方厘米。---【易错二】一块梯形菜地，上底是12米，下底是18米，高是10米。这块菜地的面积是多少平方米？【解题思路】直接使用梯形面积公式：（上底+下底）×高÷2。关键是不要忘记除以2。【完整解答】S = (a + b)h ÷ 2= (12 + 18) × 10 ÷ 2= 30 × 10 ÷ 2= 300 ÷ 2= 150（平方米）答：这块菜地的面积是150平方米。【易错点】梯形面积公式忘记除以2，错误地算成300平方米。---【易错三】一个三角形的面积是24平方分米，底是8分米，它的高是多少分米？【解题思路】已知三角形面积和底，求高。根据三角形面积公式S=ah÷2，可得h=2S÷a，要先用面积乘2，再除以底。这是最容易错的地方。【完整解答】方法一（算术法）：h = 2S ÷ a= 2 × 24 ÷ 8= 48 ÷ 8= 6（分米）方法二（方程法）：解：设三角形的高是x分米。8x ÷ 2 = 248x = 24 × 28x = 48x = 48 ÷ 8x = 6答：它的高是6分米。【易错点】容易忘记面积要先乘2，直接用24÷8=3分米，这是错误的。---【易错四】在括号里填上合适的数。3公顷 = （ ）平方米50000平方米 = （ ）公顷2平方千米 = （ ）公顷800公顷 = （ ）平方千米【解题思路】单位换算要先想进率：1公顷=10000平方米，1平方千米=100公顷。大单位换小单位乘进率，小单位换大单位除以进率。【完整解答】3公顷 = （3 × 10000）= 30000平方米50000平方米 = （50000 ÷ 10000）= 5公顷2平方千米 = （2 × 100）= 200公顷800公顷 = （800 ÷ 100）= 8平方千米答案：30000；5；200；8【易错点】公顷与平方米的进率记错（容易记成100或1000），正确进率是10000。---【易错五】计算下面组合图形的面积。（单位：厘米）（描述：图形由一个长方形和一个三角形组成，长方形长10厘米，宽6厘米；三角形底等于长方形的长10厘米，高4厘米，接在长方形上方）【解题思路】这是用分割法求组合图形面积。把组合图形分成一个长方形和一个三角形，分别算出面积，再相加。注意三角形的底就是长方形的长。【完整解答】长方形面积：S₁ = ab= 10 × 6= 60（平方厘米）三角形面积：S₂ = ah ÷ 2= 10 × 4 ÷ 2= 40 ÷ 2= 20（平方厘米）组合图形面积：S = S₁ + S₂= 60 + 20= 80（平方厘米）答：组合图形的面积是80平方厘米。【易错点】三角形面积忘记除以2，或者把三角形的底找错。---【易错六】一块平行四边形麦田，底是250米，高是80米，这块麦田的面积是多少公顷？如果每公顷收小麦7吨，这块麦田一共可以收小麦多少吨？【解题思路】这是一道面积计算与单位换算结合的应用题。先算平行四边形面积，再把平方米换算成公顷（除以10000），最后用公顷数乘每公顷产量。注意单位要统一。【完整解答】第一步：计算麦田面积S = ah= 250 × 80= 20000（平方米）第二步：换算成公顷20000平方米 = 20000 ÷ 10000 = 2公顷第三步：计算总产量总产量 = 每公顷产量 × 公顷数= 7 × 2= 14（吨）答：这块麦田的面积是2公顷，一共可以收小麦14吨。【易错点】单位换算时进率记错，把20000平方米错误地换算成20公顷或200公顷。✏️ 易错专练一、选择题（共9题）1. 两个完全一样的三角形可以拼成一个（ ）。A. 长方形 B. 正方形 C. 平行四边形 D. 梯形2. 三角形的底扩大到原来的2倍，高也扩大到原来的2倍，面积扩大到原来的（ ）倍。A. 2 B. 4 C. 6 D. 83. 1公顷等于（ ）平方米。A. 100 B. 1000 C. 10000 D. 1000004. 一个梯形的上底是4厘米，下底是6厘米，高是3厘米，面积是（ ）平方厘米。A. 30 B. 15 C. 12 D. 185. 下面说法正确的是（ ）。A. 三角形的面积等于平行四边形面积的一半B. 面积相等的两个三角形一定等底等高C. 等底等高的两个三角形，面积一定相等D. 两个三角形可以拼成一个平行四边形6. 边长是1000米的正方形土地，面积是（ ）。A. 1公顷 B. 10公顷 C. 1平方千米 D. 10平方千米7. 一个平行四边形和一个三角形的底相等，面积也相等。如果三角形的高是8厘米，那么平行四边形的高是（ ）厘米。A. 4 B. 8 C. 16 D. 28. 把一个长方形框架拉成平行四边形，它的面积（ ）。A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 无法确定9. 一个三角形和一个平行四边形等底等高，如果平行四边形的面积比三角形大18平方厘米，那么三角形的面积是（ ）平方厘米。A. 9 B. 18 C. 27 D. 36二、填空题（共7题）1. 平行四边形的面积 = （ ），字母公式是（ ）。三角形的面积 = （ ），字母公式是（ ）。梯形的面积 = （ ），字母公式是（ ）。2. 一个平行四边形的底是12分米，高是5分米，它的面积是（ ）平方分米。3. 一个三角形的底是8厘米，高是6厘米，面积是（ ）平方厘米。与它等底等高的平行四边形面积是（ ）平方厘米。4. 一个梯形的上底是3米，下底是7米，高是4米，面积是（ ）平方米。5. 在括号里填上合适的数。5公顷 = （ ）平方米30000平方米 = （ ）公顷4平方千米 = （ ）公顷600公顷 = （ ）平方千米6. 一个三角形的面积是20平方分米，底是5分米，它的高是（ ）分米。7. 一个梯形的面积是36平方厘米，上底与下底的和是12厘米，高是（ ）厘米。三、判断题（共4题）1. 三角形的面积是平行四边形面积的一半。（ ）2. 两个面积相等的三角形一定可以拼成一个平行四边形。（ ）3. 1平方千米比1公顷大。（ ）4. 把一个平行四边形分成两个三角形，这两个三角形的面积一定相等。（ ）四、计算题（共2大题）第1大题：计算下面图形的面积（共3题）1. 平行四边形：底15厘米，高8厘米。2. 三角形：底12分米，高7分米。3. 梯形：上底5米，下底9米，高6米。第2大题：计算下面组合图形的面积（共2题）1. 图形描述：一个长方形长8厘米，宽5厘米，在它的右上角剪去一个底3厘米、高2厘米的直角三角形。（添补法）2. 图形描述：一个正方形边长6厘米，在它的下方接一个底与正方形边长相等、高4厘米的三角形。（分割法）五、解答题（共15题）（一）基础应用（3题）1. 一块平行四边形的菜地，底是30米，高是18米。这块菜地的面积是多少平方米？如果每平方米种6棵白菜，一共可以种多少棵白菜？2. 一个三角形花坛，底是20米，高是15米。这个花坛的面积是多少平方米？如果每平方米种8株花，一共可以种多少株花？3. 一块梯形稻田，上底是100米，下底是150米，高是40米。这块稻田的面积是多少平方米？合多少公顷？（二）倍数/和差问题（3题）4. 一个平行四边形的面积是72平方厘米，与它等底等高的三角形面积是多少平方厘米？如果三角形的底是9厘米，那么三角形的高是多少厘米？5. 一块三角形的白菜地，底是25米，高是20米。如果每平方米收白菜15千克，这块地一共收白菜多少千克？如果每千克白菜卖2元，一共可以卖多少钱？6. 梯形的上底是6分米，下底是10分米，高是上底的一半。这个梯形的面积是多少平方分米？（三）实际操作/画图题（2题）7. 在方格纸上画一个底为4厘米、高为3厘米的平行四边形，再画一个与它面积相等的三角形。（每格边长1厘米）8. 画出一个面积是12平方厘米的梯形，标出上底、下底和高的长度，并写出面积计算过程。（每格边长1厘米）（四）生活应用（2题）9. 一块长方形的草坪，长是50米，宽是30米。现在要在草坪中间修一条宽2米的小路（小路沿长的方向，竖直贯穿），求草坪的实际面积是多少平方米。10. 一个指示牌的形状如下图（描述：由一个长方形和一个三角形组成，长方形长40厘米，宽20厘米；三角形底与长方形的长相等，高30厘米，在长方形上方）。给这个指示牌的正反两面刷油漆，如果每平方分米需要油漆0.5千克，一共需要多少千克油漆？（五）综合提升（2题）11. 一个直角三角形，两条直角边分别是6厘米和8厘米，斜边长10厘米。求斜边上的高是多少厘米？12. 一块平行四边形的地，底是40米，高是25米。如果在这块地里种果树，每棵果树占地5平方米，这块地一共可以种多少棵果树？如果每棵果树每年收水果200千克，这块地一年可以收水果多少吨？（六）其他题型（3题）13. 一块三角形的钢板，底是8米，高是5米。如果每平方米钢板重35千克，这块钢板重多少千克？14. 一个梯形，上底是5厘米，如果把上底延长3厘米，就变成一个正方形。原来这个梯形的面积是多少平方厘米？15. 估算下图中不规则图形的面积（描述：方格纸上的一片树叶形状，整格有28个，不满整格的有22个，每个小方格代表1平方厘米）。? 参考答案一、选择题1. C 解析：两个完全一样的三角形一定可以拼成一个平行四边形。（如果是直角三角形可以拼成长方形，是等腰直角三角形可以拼成正方形，但一般情况是平行四边形）2. B 解析：三角形面积=底×高÷2，底和高都扩大2倍，面积扩大2×2=4倍。3. C 解析：1公顷=10000平方米，这是关键进率。4. B 解析：S=(4+6)×3÷2=10×3÷2=15平方厘米。5. C 解析：A错，要等底等高才对；B错，面积相等不一定等底等高（如底4高3和底6高2面积都是6）；C对，等底等高面积一定相等；D错，要"完全一样"的两个三角形才行。6. C 解析：边长1000米的正方形面积是1000×1000=1000000平方米=1平方千米。7. A 解析：等底等面积时，三角形的高是平行四边形的2倍，所以平行四边形的高=8÷2=4厘米。8. B 解析：把长方形拉成平行四边形，底不变，高变小了，所以面积变小。9. B 解析：等底等高时，平行四边形面积是三角形的2倍，差就是三角形的面积，所以三角形面积=18平方厘米。二、填空题1. 底×高；S=ah；底×高÷2；S=ah÷2；（上底+下底）×高÷2；S=(a+b)h÷22. 60 解析：S=12×5=60（平方分米）3. 24；48 解析：S三角形=8×6÷2=24（平方厘米），S平行四边形=24×2=48（平方厘米）4. 20 解析：S=(3+7)×4÷2=10×4÷2=20（平方米）5. 50000；3；400；66. 8 解析：h=2S÷a=2×20÷5=8（分米）7. 6 解析：h=2S÷(a+b)=2×36÷12=6（厘米）三、判断题1. × 解析：必须是等底等高的三角形面积才是平行四边形面积的一半，缺少这个条件。2. × 解析：必须是两个完全一样的三角形才能拼成平行四边形，面积相等不一定形状相同。3. √ 解析：1平方千米=100公顷，所以1平方千米比1公顷大。4. √ 解析：平行四边形的对角线把它分成两个完全一样的三角形，面积相等。四、计算题第1大题：1. 平行四边形面积：【解题思路】直接用平行四边形面积公式。【完整解答】S = ah= 15 × 8= 120（平方厘米）答：平行四边形的面积是120平方厘米。【易错点】底和高不对应，或公式记错。2. 三角形面积：【解题思路】用三角形面积公式，注意除以2。【完整解答】S = ah ÷ 2= 12 × 7 ÷ 2= 84 ÷ 2= 42（平方分米）答：三角形的面积是42平方分米。【易错点】忘记除以2，算成84平方分米。3. 梯形面积：【解题思路】用梯形面积公式，先算上底加下底的和，再乘高除以2。【完整解答】S = (a + b)h ÷ 2= (5 + 9) × 6 ÷ 2= 14 × 6 ÷ 2= 84 ÷ 2= 42（平方米）答：梯形的面积是42平方米。【易错点】忘记除以2，算成84平方米，或上底下底相加算错。第2大题：1. 组合图形面积（添补法）：【解题思路】用长方形面积减去右上角剪去的三角形面积。【完整解答】长方形面积：8 × 5 = 40（平方厘米）三角形面积：3 × 2 ÷ 2 = 3（平方厘米）组合图形面积：40 - 3 = 37（平方厘米）答：组合图形的面积是37平方厘米。【易错点】三角形面积忘记除以2，或用加法而不是减法。2. 组合图形面积（分割法）：【解题思路】把图形分成正方形和三角形，面积相加。三角形底等于正方形边长。【完整解答】正方形面积：6 × 6 = 36（平方厘米）三角形面积：6 × 4 ÷ 2 = 24 ÷ 2 = 12（平方厘米）组合图形面积：36 + 12 = 48（平方厘米）答：组合图形的面积是48平方厘米。【易错点】三角形面积忘记除以2，或底的长度找错。五、解答题1. 【解题思路】先算平行四边形面积，再用面积乘每平方米种白菜的棵数。【完整解答】菜地面积：S = ah= 30 × 18= 540（平方米）白菜总棵数：540 × 6 = 3240（棵）答：这块菜地的面积是540平方米，一共可以种3240棵白菜。【易错点】第二问用除法，每平方米种6棵，面积大棵数多，应该用乘法。2. 【解题思路】先算三角形面积（注意÷2），再用面积乘每平方米种花的株数。【完整解答】花坛面积：S = ah ÷ 2= 20 × 15 ÷ 2= 300 ÷ 2= 150（平方米）花的总株数：150 × 8 = 1200（株）答：这个花坛的面积是150平方米，一共可以种1200株花。【易错点】三角形面积忘记除以2，算成300平方米。3. 【解题思路】先算梯形面积，再把平方米换算成公顷（除以10000）。【完整解答】稻田面积：S = (a + b)h ÷ 2= (100 + 150) × 40 ÷ 2= 250 × 40 ÷ 2= 10000 ÷ 2= 5000（平方米）换算成公顷：5000平方米 = 5000 ÷ 10000 = 0.5公顷答：这块稻田的面积是5000平方米，合0.5公顷。【易错点】梯形面积忘记除以2，或公顷与平方米的进率记错。4. 【解题思路】（1）等底等高时，三角形面积是平行四边形的一半；（2）已知三角形面积和底，求高，用面积×2÷底。【完整解答】（1）三角形面积：72 ÷ 2 = 36（平方厘米）（2）三角形的高：h = 2S ÷ a= 2 × 36 ÷ 9= 72 ÷ 9= 8（厘米）答：与它等底等高的三角形面积是36平方厘米；三角形的高是8厘米。【易错点】第二问忘记用面积乘2，直接用36÷9=4厘米。5. 【解题思路】先算三角形面积，再算总产量，最后算总价。【完整解答】白菜地面积：S = ah ÷ 2= 25 × 20 ÷ 2= 500 ÷ 2= 250（平方米）总产量：250 × 15 = 3750（千克）总价：3750 × 2 = 7500（元）答：这块地一共收白菜3750千克，一共可以卖7500元。【易错点】面积忘记除以2，导致总产量和总价都算错。6. 【解题思路】先根据高是上底的一半求出高，再用梯形面积公式计算。【完整解答】高：6 ÷ 2 = 3（分米）梯形面积：S = (a + b)h ÷ 2= (6 + 10) × 3 ÷ 2= 16 × 3 ÷ 2= 48 ÷ 2= 24（平方分米）答：这个梯形的面积是24平方分米。【易错点】高算错（算成12分米），或面积忘记除以2。7. 【解题思路】先画平行四边形并算面积，三角形面积与它相等，注意三角形要除以2，所以底×高要等于24即可。【完整解答】平行四边形：底4厘米，高3厘米，面积：4×3=12（平方厘米）三角形面积也要12平方厘米，根据S=ah÷2，即ah=24，可以画：底6厘米，高4厘米，验证：6×4÷2=24÷2=12（平方厘米）✓（画图：平行四边形底4格高3格；三角形可以底6格高4格，或底4格高6格等，答案不唯一）答：平行四边形面积12平方厘米，三角形面积也是12平方厘米，如底6厘米、高4厘米的三角形。【易错点】三角形忘记除以2，画成底4高3，面积就只有6平方厘米了。8. 【解题思路】根据梯形面积公式，(a+b)h÷2=12，即(a+b)h=24。选择简单的整数，如a=3，b=5，h=3，则(3+5)×3=24。【完整解答】画法示例：上底3厘米，下底5厘米，高3厘米。面积计算：S = (a + b)h ÷ 2= (3 + 5) × 3 ÷ 2= 8 × 3 ÷ 2= 24 ÷ 2= 12（平方厘米）✓（答案不唯一，还可以是：上底2下底6高3，或上底1下底5高4等，只要满足面积为12平方厘米即可）答：例如上底3厘米、下底5厘米、高3厘米的梯形，面积是12平方厘米。【易错点】画出来的梯形面积不对，忘记除以2。9. 【解题思路】方法一：总面积减小路面积。方法二：去掉小路后，草坪变窄了，宽减少2米。【完整解答】方法一（总面积减小路面积）：草坪总面积：50 × 30 = 1500（平方米）小路面积：2 × 30 = 60（平方米）实际面积：1500 - 60 = 1440（平方米）方法二（平移法）：把两侧草坪向中间平移，拼成一个新的长方形，长不变：50米宽减少：30 - 2 = 28（米）面积：50 × 28 = 1400（平方米）⚠️ 注意：两种方法答案不同，说明其中一种思路有误。重新分析：小路沿长的方向、竖直贯穿，说明小路是竖直的，宽2米，长就是草坪的宽30米。方法一是对的。方法二错了：竖直的小路，减少的是长，不是宽。正确方法二：竖直小路宽2米，所以草坪的"有效长"减少了2米，实际长：50 - 2 = 48（米）宽不变：30米面积：48 × 30 = 1440（平方米）✓答：草坪的实际面积是1440平方米。【易错点】小路的长和宽搞反，导致面积算错。10. 【解题思路】先算指示牌一面的面积（长方形+三角形），再乘2得正反两面，换算单位后乘每平方分米用漆量。【完整解答】长方形面积：40 × 20 = 800（平方厘米）三角形面积：40 × 30 ÷ 2 = 1200 ÷ 2 = 600（平方厘米）一面的面积：800 + 600 = 1400（平方厘米）正反两面面积：1400 × 2 = 2800（平方厘米）换算成平方分米：2800平方厘米 = 28平方分米需要油漆：28 × 0.5 = 14（千克）答：一共需要14千克油漆。【易错点】忘记算正反两面，或单位换算错误（1平方分米=100平方厘米）。11. 【解题思路】直角三角形的面积可以用两条直角边计算，也可以用斜边×斜边上的高÷2计算。两种方法算的是同一个面积，所以相等。【完整解答】方法一（算术法）：用直角边算面积：S = 6 × 8 ÷ 2 = 48 ÷ 2 = 24（平方厘米）斜边上的高：h = 2S ÷ a= 2 × 24 ÷ 10= 48 ÷ 10= 4.8（厘米）方法二（方程法）：解：设斜边上的高是x厘米。10x ÷ 2 = 2410x = 48x = 4.8答：斜边上的高是4.8厘米。【易错点】用错底和高，或忘记面积先乘2。12. 【解题思路】先算平行四边形面积，除以每棵果树占地面积得棵数；再乘每棵产量得总产量，最后换算成吨。【完整解答】平行四边形面积：S = ah= 40 × 25= 1000（平方米）果树棵数：1000 ÷ 5 = 200（棵）总产量：200 × 200 = 40000（千克）换算成吨：40000千克 = 40吨答：这块地一共可以种200棵果树，一年可以收水果40吨。【易错点】单位换算错，1吨=1000千克，40000千克=40吨（容易算成400吨或4吨）。13. 【解题思路】先算三角形面积，再乘每平方米钢板重量。【完整解答】钢板面积：S = ah ÷ 2= 8 × 5 ÷ 2= 40 ÷ 2= 20（平方米）钢板重量：20 × 35 = 700（千克）答：这块钢板重700千克。【易错点】三角形面积忘记除以2，算成40平方米，重量就变成1400千克了。14. 【解题思路】"上底延长3厘米就变成正方形"，说明：下底=高=上底+3=5+3=8厘米，这是一个直角梯形。【完整解答】正方形说明下底和高相等，下底 = 高 = 5 + 3 = 8（厘米）梯形面积：S = (a + b)h ÷ 2= (5 + 8) × 8 ÷ 2= 13 × 8 ÷ 2= 104 ÷ 2= 52（平方厘米）答：原来这个梯形的面积是52平方厘米。【易错点】理解错"变成正方形"的含义，找不对下底和高的值。15. 【解题思路】数方格估算面积，整格按1格算，不满整格的按半格算。【完整解答】整格面积：28 × 1 = 28（平方厘米）不满整格面积：22 ÷ 2 × 1 = 11（平方厘米）总面积估算：28 + 11 = 39（平方厘米）答：这片树叶的面积大约是39平方厘米。【易错点】不满整格的也按整格算，导致估算结果偏大。