北师大版（2024）九年级上册（2024）第一章 特殊平行四边形1 认识特殊平行四边形学案

这是一份北师大版（2024）九年级上册（2024）第一章 特殊平行四边形1 认识特殊平行四边形学案，共4页。学案主要包含了综合实践活动，问题背景，数学建模，问题拓展，迁移应用，问题原型，问题应用，拓展迁移等内容，欢迎下载使用。
将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc201321763" PAGEREF _Tc201321763 \h 1
\l "_Tc201321764" 模型趣事 PAGEREF _Tc201321764 \h 1
\l "_Tc201321765" 真题现模型 PAGEREF _Tc201321765 \h 2
\l "_Tc201321766" 提炼模型3
\l "_Tc201321767" 模型拓展5
\l "_Tc201321768" 模型运用6
\l "_Tc3040" 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）6
\l "_Tc4441" 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）9
\l "_Tc12518" 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）11
\l "_Tc22852" 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型14
\l "_Tc201321773" 21
“将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。
传说古罗马将军向数学家海伦（Hern）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。
（四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，∴当重合时，最小，最小值为，
∵，，在中，∴，，∴，，
∵，∴，故答案为：
（西安·二模）自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？（即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、．
【答案】米
【详解】解：如图所示，将点A沿着垂直于支流1的河岸的方向平移米得到，连接，将点B沿着垂直于支流2的河岸的方向平移米得到，连接，
∴四边形和四边形都是平行四边形，∴，
∴，
∴当四点共线时，最小，即此时最小；
如图所示， 分别延长交于H，∵支流1和支流2与线段所夹的锐角分别为、，
∴，∴，∴米，
∴米，∴米，米，
∴米， ∴的最小值为米．
1）将军饮马模型
条件：如图（1）（2），A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。
模型（1）：点A、B在直线m两侧： 模型（2）：点A、B在直线同侧：

图（1） 图（2）
模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。
模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。
条件：如图（3）（4），A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。
模型（3）：点A、B在直线m同侧： 模型（4）：点A、B在直线m异侧：

图（3） 图（4）
模型（3）：如图（3），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。
模型（4）：如图（4），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。
当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’，
当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。
条件：如图（5）（6）（7），A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
模型（5）两个点在直线外侧；模型（6）内外侧各一点；模型（7）两个点在内侧

图（5） 图（6） 图（7） 图（8）
模型（5）（两点都在直线外侧型）
如图（5），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。
模型（6）（直线内外侧各一点型）
如图（6），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。
模型（7）（两点都在直线内侧型）
如图（7），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’,
根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。
条件：如图（8）A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。
模型（8）：如图（8），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B,
根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，
再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。
2）将军遛马与过桥模型
模型（1）：将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。
点A、B在直线m异侧（图1）； 点A、B在直线m同侧 （图2）；

图1 图2 图3
将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。
∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB，
再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB.
将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。
∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB，
根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’，
再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。
模型（2）：将军造桥（过桥）模型
已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。
将军造桥（过桥）模型：如图2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B，
∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N，
∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。
再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。
模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）
例1（陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，连接，，的垂直平分线交于E，交于F，P是线段上一动点，点Q为的中点．若，的面积是24，则的最小值为 ．
【答案】6
【详解】解：连接，∵，∴，，
∵，∴，∴，是等腰三角形，点Q是边的中点，
，，解得，
是线段的垂直平分线，点B关于直线的对称点为点，
∴，的长为的最小值，
∴的最小值．故答案为：6．
例2（八年级下·安徽淮北·期末）如图，在矩形中，，，是矩形内部一动点，且满足，则点到两点距离之和的最小值为（ ）
A．B．C．D．8
【答案】B
【详解】解：∵矩形中，，，．
∴设高为，∴，即：，
∴动点在与平行且与距离是3的直线上运动，
如图，作关于直线的对称点，连接，，∴则的长就是所求的最短距离，
在中，∵，，∴，
即：的最小值为，故选：B．
例3（八年级下·河南漯河·期中）如图，已知菱形的周长为8，面积为，E为的中点，若P为对角线上一动点，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，过点C作于H，取中点F，连接，
∵菱形的周长为8，∴，∵菱形的面积为，∴，
∴，∴，∵点F为的中点，∴，
∴是等边三角形，∴；如图所示，连接，则是等边三角形，
∵E为的中点，∴，∴点E与点H重合，∴，
由菱形的对称性可得，，
∴当点，，在同一直线上时，的最小值为的长，
的最小值为，故答案为：．
例4（九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，正方形边长为6，、是边的三等分点，点是对角线上的动点，则的最小值是 ．

【答案】
【详解】解∶作点关于的对称点，连接，交于，连接，如下图：

则得长度即为所求．由题可知会落在上，、是边的三等分点，
，，
∴在中，的最小值是．故答案为：．
模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）
例1（陕西西安·二模）如图，在菱形中，，，于点，点在边上，且，是的中点，是上的动点，连接.则的最大值为 .
【答案】
【详解】解：∵在菱形中，，∴，
∵，于点，∴在中，，
∴，则 作线段关于所在直线的对称线段，此时点N的对应点为，连接，并延长交于一点，即为，如图：
当三点共线，则有最大值，且为
∴∴是等边三角形，
过作 则在中，
则
∴则的最大值为 故答案为：
例2（春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________．
【答案】
【详解】解：①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度，
∵四边形是矩形，∴，，∴，
∵点O是的中点，∴，又∵，∴，∴，，
∵，∴，过点P作于点P，∵，∴四边形是矩形，
∴，，∴，∴，∴；

②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小，
的最小值为的长度，延长交于点G，
∵，点O是的中点，∴，
∴，，∴，，
∴，∴的最小值为：，故答案为：；．
例3（八年级下·山东聊城·期中）如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且为对角线上一点，则的最大值为 ．

【答案】
【详解】解：如图，以为对称轴作N的对称点，连接，

根据轴对称性质可知，，∴，当三点共线时，取“”，
∵在正方形中，，，
∴，∵O为中点，∴，
∵N为中点，∴，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴为等腰直角三角形，∴，故答案为：2．
模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）
例1（四川广元·一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），当四边形的周长取最小值时，四边形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：如图1所示，作E关于BC的对称点，点A关于的对称点，连接，四边形的周长最小，∵，，∴，．
∵，D是的中点，∴是的中位线，
∴，，∵，∴，
∴，即，，，
，故选：B．
例2（春·湖北黄石·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，、分别是和上的两个动点，为的中点，则
（1）的最小值是________；（2）若，则的最小值为________．
【答案】 /
【详解】解：（1）如下图所示，延长作点D的关于点A的对称点，延长作点M的关于点C对称点，作，且，

可得，∴，∴的最小值为，
∵，且，四边形为矩形，∴四边形为矩形，
∵为的中点∴，，∴；
（2）过点E作于P，∵，∴，
∴，则，
∴求的最小值即先求的最小值．过点E作，且，
∴，∴当D，E，三点共线时，最小．
此时，∴，∴，
∴，设，则．
∴，解得，∴，，，，
∴，∴的最小值为．故答案为：．
例3（八年级下·安徽淮南·期末）如图，在▱中，，，，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连接、、．
（1）点到直线的距离是 ；（2）周长的最小值是 ．
【答案】 3
【详解】解：（1）如图：过点作的垂线，交延长线于点，

∵四边形是平行四边形，∴，
，，∴
，，∴点到直线的距离是3；故答案为：3；
（2）如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，，
则长为周长的最小值；由（1）知，在中，，，
，，
由对称性可知，，，是等腰三角形，
又，，，
∴周长的最小值；故答案为：.
模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型
例1（八年级下·江苏泰州·期中）如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，则四边形周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】在上截取线段，作点关于的对称点，连接与交于一点即为点，过点作的平行线交于一点，即为点，过点作的平行线交的延长线于点. 则四边形是平行四边形，∴，
∵为边的中点，∴，∴
∵，∴，
∴四边形的周长的最小值
，故选C．
例2（八年级下·江苏无锡·期中）如图所示，菱形是无锡某乐园主题区域的平面示意图，分别是该区域的四个入口，两条主干道交于点．请你帮助苏州乐园的管理人员解决以下问题：乐园管理人员为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道，其中点M在上，点N在上，且，修建绿道每千米费用为4万元，请你计算修建这三条绿道投入资金的最小值为 万元．
【答案】/
【详解】解：如图，过点作，过点作，连接，
，，，，
，，
当的值最小时，的值最小，
∵，，四边形是平行四边形，
，，当点，点，点共线时，，
，，，，
的最小值为，投入资金的最小值为：万元．
故答案为：
例3（河北邯郸·三模）如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【详解】解：在边长为1的菱形中，，，，
将沿射线的方向平移得到，，，
四边形是菱形，，，，
，，四边形是平行四边形，
，的最小值的最小值，点在过点且平行于的定直线上，
作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，则的长度即为的最小值，
在中，，，
，，，，
，，作，
过点D作垂足为G
在中，
．故选：．
例4（陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，，是对角线上两点点靠近点，且，当的最小值为时，的长为 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，平移至，则，连接,
∴四边形是平行四边形，∴，，∵，∴
∵在正方形中，，是对角线上两点，∴∴
在中，，∴故答案为：．
例5（陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．

【答案】
【详解】解：如图，过点E作交于点I，连接．

∵中，，，∴，∴，
∴，．∵，，∴．
∵，∴四边形为平行四边形，∴．同理可得出．
∵，，∴四边形为平行四边形，
∴，∴四边形为平行四边形，
∴，∴，∴当最小时，最小．
∵当点I，H，C三点共线时，最小，∴此时最小，如图，
∵，∴．∵∴四边形为平行四边形，∴，，
∵，，∴，∴，∴，
∴的最小值为． 故答案为：．
例6（江苏苏州·校考二模）如图，在中，．如果在三角形内部有一条动线段，且，则的最小值为________．

【答案】
【详解】解：在上取一点，使得，连接，如图所示：

，，四边形是平行四边形，，，
将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于，如图所示：
，，是等边三角形，，，
，，，，
，，，
，，，，，，
，，
，的最小值为，故答案为：．
例7（八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】
【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？
【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题：
如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小．
画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求．
证明：和关于直线对称 直线垂直平分
________，
根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点．
【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）．

【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度．
【答案】【数学建模】， ① ，；【问题拓展】见解析【迁移应用】米
【详解】，①，；解：【问题拓展】桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短；

解：【迁移应用】如图所示，过作，使得，作关于直线对称点，延长交于，连接交直线于，此时使得最短，
∵，，∴四边形是平行四边形，∴，
∵关于直线对称点，∴，，,
∴，
在△中，由勾股定理得，
∴， 故步行观光路线的最短长度为米．
1．（八年级下·四川泸州·期中）点是菱形的对角线上的动点，，，是中点， 的最小值（ ）
A．B．2C．4D．8
【答案】A
【详解】解：如图，连接，，，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得、关于对称，则，
，当点，点，点三点共线时，有最小值为，
，且四边形是菱形，，
，是等边三角形，,，，
在中，，故的最小值为．故选：A．
2．（安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（ ）
A．10B．10C．5D．5
【答案】A
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，
∵，，∴，，
在和中∵，∴，
∴，同理，∴，
如图，作关于的对称点，连接交于，此时最小，即四边形周长最小，作于，
∴四边形是矩形，∴，，
∵，，∴，，
在中，由勾股定理得，
∴四边形的周长，故选A．
3．（内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ）
A．3B．5C．D．
【答案】A
【详解】如图：连接BE，∵菱形ABCD，∴B、D关于直线AC对称，
，
∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小
∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．，
∵菱形ABCD，，点，∴，，
∴∴△CDB是等边三角形∴
∵点是的中点，∴,且BE⊥CD， ∴故选：A．
4．（2026·福建厦门·八年级校联考期中）如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．4
【答案】C
【详解】解：取BC的中点G，连接AG．在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，
∴AB＝BG＝2，∠ABG＝∠D＝60°，∴△ABG是等边三角形，
∴AG＝GC＝2，∠AGB＝∠BAG＝60°，∴∠GAC＝∠GCA＝30°，∴∠BAC＝90°，
作点B关于AC的对称点F，连接GF， 交AC于点P，由对称可知，B、A、F在一条直线上，AG＝AF，
∵∠BAG＝∠F+∠AGF＝60°，∴∠F＝∠AGF＝30°，∴∠FGB＝90°，
当点Q与点G重合时，PB+PQ=PF+PG=FG，FG的长即为PB+PQ的最小值，
∵∠F＝∠AGF＝30°，AG＝GC＝2，∴BF＝4，，
∴BP+PQ的最小值为2．故选：C．
5．（八年级下·北京·期中）如图，在矩形中，，，点P在上，点Q在上，且，连接、，则的最小值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
【答案】D
【详解】解：如图，连接，，在矩形中，，∴，
∵，∴四边形是平行四边形，∴四边形是矩形，∴，
则，则的最小值转化为的最小值，
在的延长线上截取，连接，
∵，∴是的垂直平分线，∴，∴，
连接，则，
∵，，∴．∴的最小值为13．故选：D．
6．（八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，要使最小，则这个最小值为（ ）
A．6B．3C．D．
【答案】A
【详解】解：设与交于点，连接、．
点与关于对称，，，∴当最小时，最小，
∵两点之间线段最短，∴当点P在点时，，即最小，∴的最小值为的长，
正方形的面积为36，，又是等边三角形，．故选：A．
7．（陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，，，在边上有一线段由B向C运动，点F到达点C后停止运动，E在F的左侧，，连接，则周长的最小值为______．

【答案】8
【详解】解：如图，过点作交于点，则四边形为平行四边形，
，，再作点关于的对称点，连接，则，连接与交于点，当运动到点时，，，三点共线，此时取最小值，即取最小值，则此时的周长最小．

过点作，过点作交于点，，
，，连接，，，四边形为矩形，
，，，
周长的最小值，故答案为：．
8．（八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一点，，F是直线上一动点，将线绕点E逆时针旋转得到线段，连接，，则的周长最小值是 ．
【答案】18
【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，并延长交于，
，，，将线绕点逆时针旋转得到线段，，，
将绕点逆时针旋转得到，，，
，
在和中，，，
，，点在过点且垂直的直线上运动，
作点关于直线的对称点，连接，则的最小值为的长，
，，四边形是矩形，
，，，，
的最小值为13，∴周长最小值为，故答案为：18．
9．（江苏南通·二模）如图，在四边形中，，，．作，垂足为点M，连接，若，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，过D作的平行线，过A作的平行线，两平行线交于点E，
即，四边形是平行四边形；
，四边形是矩形，，，；
连接，则当点M与的交点重合时，最小，从而最小，且最小值为线段的长；过C作，交延长线于点F，则，
四边形是矩形，，，；
在中，由勾股定理得，最小值为．故答案：．
10．（陕西宝鸡·二模）如图，点是矩形的对称中心，点，分别在边，上，且经过点，，，，点是边上一动点．则周长的最小值为 ．
【答案】/
【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，交于，连接，

，的最小值为，周长的最小值为，
作于，于，，，
点是矩形的对称中心，经过点，
∵，，，，，
，，，周长的最小值为．
11．（陕西咸阳·模拟预测）如图，在正方形中，对角线与交于点，，是的中点，是对角线上的一条动线段，若的最大值为，则的长为 ．
【答案】1
【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，取关于的对称点，连接，，，
∵，，∴四边形是平行四边形，∴，，
∵关于的对称点是，是的中点，∴是的中点，即
在中，，∴，
当点运动到与点，在一条直线上的时候，即取到最大值，即，
∵，，∴，∴在中，，∴，∴．故答案为：1．
12．（八年级下·吉林松原·期中）如图，正方形的边长为4，点Р为对角线上任意一点，E为上一点，且．则的最小值为 ．
【答案】5
【详解】解：连接，交与点F，连接，
∵四边形为正方形，∴、C关于对称，
∴，∴，∴当最小时，最小，
∵两点之间线段最短，∴当、P、E三点共线时，最小，即点P与点F重合时，最小，最小，且最小值为，∵正方形的边长为4，，∴，，
∴，∴的最小值为5．故答案为：5．
13．（2026八年级·广东·课堂例题）如图所示，正方形的边长为4，以为边作等边三角形，，若正方形的对角线上有一动点M，则周长的最小值是 ．
【答案】
【详解】∵为等边三角形，∴，连接，
∵，又长为定值，∴周长的最小值在最小时取得，
又∵正方形的对角线所在的直线是它的一条对称轴，
∴点A与点C关于对称，∴，故，
∴当A，M，E三点共线时，取得最小值，时，，
∴周长的最小值为．故答案为：
14．（2025·山东·校联考一模）如图，在菱形 中， ，，点 P 是 上一点，点 M、N 分别是 、 上任意一点，且 ，垂足为 M，连接、，则 的最小值为_____ ．
【答案】6
【详解】解：如图：作，交于E，连接，，作于F，作于G，
∵菱形关于对称，∴点E和N关于对称，∴，∴，
∴当点P是与的交点时，最小，最小值是的长，
在中，，，∴，
∴，∴的最小值为：6．故答案为：6．
15．（山东烟台·八年级统考期中）如图，在矩形中，，点P、点Q分别在边上，且，连接和，则的最小值是_______．
【答案】13
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，
∵，∴四边形是平行四边形，∴，作点A关于的对称点E，
则，，当B、Q、E在同一直线上时，取得最小值，
此时，，∴的最小值是13，故答案为：13．
16．（2025·天津·校考模拟预测）如图，在边长为4的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为__________．
【答案】
【详解】解：在边长为4的菱形中，，∴，，
将沿射线的方向平移得到，∴，，
∵四边形是菱形，∴，，∴，
∴，，∴四边形是平行四边形，∴，
∴的最小值的最小值，∵点在过点且平行于的定直线上，
∴作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，
则的长度即为的最小值，在中，，，
∴，∴，∴，∵，
∴，∴．故答案为：．
17．（陕西西安·校考二模）如图，矩形中，，，点E是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为___________．
【答案】/
【详解】解：作E关于的对称点，在上截取，连接，，，
则，∵四边形是矩形，∴，，，∴，
∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴，
∵，E为的中点，∴，
由勾股定理得，即的最小值为．故答案为：．
18．（重庆·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点，求的周长最小值；(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.
【答案】(1)(2)，
【解析】（1）解：如图，作点D关于x轴的对称点，连接与x轴交于点E，连接DE，由模型可知的周长最小，∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点，∴D（0，2），C（3，4），，

设直线为y=kx＋b，把C（3，4），代入，得，，解得k=2，，
∴直线为，令y=0，得x=1，∴点E的坐标为（1，0）.∴OE=1，AE=2，
利用勾股定理得，，，
∴△CDE周长的最小值为：．
（2）解：如图，将点D向右平移1个单位得到，作关于x轴的对称点，连接交x轴于点F，将点F向左平移1个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，连接，此时四边形CDEF周长最小，理由如下：∵四边形CDEF的周长为CD＋DE＋EF＋CF，CD与EF是定值，
∴DE＋CF最小时，四边形CDEF周长最小，∵，且，∴四边形为平行四边形，
∴，根据轴对称可知，，∴，
设直线的解析式为y=kx＋b，把C（3，4），代入，
得，解得，∴直线的解析式为，
令y=0，得，∴点F坐标为，∴点E坐标为．
19．（2026八年级下·江苏南通·期中）【问题原型】人教版教材八年级下册第69页有这样一道题：
如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．请你完成这一问题的证明过程．
【问题应用】小红在老师的启发下对题目进行了探索，发现：当原题中的“中点E”改为“直线上任意一点（B，C两点除外）时”，结论都能成立．现请你证明下面这种情况：
如图（2），四边形是正方形，点E为反向延长线上一点，，且交正方形外角的平分线所在直线于点F，求证：．
【拓展迁移】如图3，在正方形中，，E为边上一动点（点E，B不重合），以为直角边在上方作等腰直角三角形，，连接．则在点E的运动过程中，周长的最小值为______．
【答案】【问题原型】见解析；【问题应用】见解析；【拓展迁移】．
【详解】问题原型：证明：如图1，取的中点G，连接，

点E是的中点，，
，，，
是正方形的外角的平分线，，，
，，
，，，
问题应用：证明：如图2，在延长线上截取，连接．
四边形是正方形，，．又，．
，，为正方形外角平分线
，，
又，，在和中，，，．
拓展迁移：解：四边形是正方形，，
，，，，
在上取点H，使，连接，，，，
，，，，，，
作点D关于的对称点M，则点B、C、M在一条直线上，此时的最小值即为的长，
在中，由勾股定理得，以A、D、F为顶点的三角形周长的最小值为
20．（贵州·模拟预测）如图，在边长为的正方形中，点，分别为，边上的点，将正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处．
(1)【问题解决】如图①，连接，则与折痕的位置关系是______，与的数量关系是______；
(2)【问题探究】如图②，连接，在翻折过程中，平分，试探究的面积是否为定值，若为定值，请求出的面积；若不是定值，请说明理由；
(3)【拓展延伸】若，求出的最小值．
【答案】(1)，(2)的面积为定值，理由见解析(3)
【详解】（1）解：，
理由：过F作于M，∵四边形是正方形，∴，，

∴四边形是矩形，∴，，
∵翻折，∴垂直平分，∴，∵，∴，
又，，∴，∴，故答案为：，；
（2）解：的面积为定值，理由：作于N，∵平分，∴，
又，，∴，∴，
∵折叠，∴，∴，∴；
（3）解：作点C关于的对称点Q，连接，，，
则垂直平分，∴，∵折叠，∴，，∴，
∵，，∴，
又，，∴，∴，∴，
当B、G、Q三点共线时，的值最小，最小值为的长，
当时，，，∴，即的最小值为．