数学八年级下册（2024）第4章 数据分析4.3 数据分类表格教学设计

这是一份数学八年级下册（2024）第4章 数据分析4.3 数据分类表格教学设计

课题
4.3数据分类
单元
第四单元
学科
数学
年级
八年级（下）
教材分析
此前，我们已经了解了中位数、众数、平均数、方差这些概念，已经能够刻画一组数据的集中程度和离散程度，在大数据分析中，数据的分组是重要的方法之一，本节课我们将学习数据分类，以便于更好分析数据。
核心素养
能力培养
经历探究的过程，了解组内离差平方和与组间离差平方和的概念，并能计算，培养学生的运算能力；
经历对“思考”中问题的探究，理解“组内离差平方和最小”的原则，培养学生的推理能力。
通过练习，能熟练应用“组内离差平方和最小”的原则进行数据分类，解决实际问题，培养学生的应用能力。
教学目标
通过对问题的探究，让学生理解组内离差平方和与组间离差平方和的概念并会计算；
通过思考问题以及练习，让学生会应用“组内离差平方和最小”的原则进行数据分类。
教学重点
组内离差平方和与组间离差平方和的概念及计算
教学难点
根据“组内离差平方和最小”的原则进行数据分类
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
复习回顾
教师出示问题：
1.离差平方和怎样计算？
2.方差怎样计算？
教师提问，学生回答，引出本节课学习内容。
在上节课，我们探究方差的过程中，学习了离差平方和，这与本节课所学的组内离差平方和与组间离差平方和有什么区别呢？在面对一些数据的时候，如果要把他分组，该怎么分呢？组内离差平方和与组间离差平方和在这其中又有什么作用呢？本节课就让我们一起来探究一下。
学生主动举手回答问题。
回顾旧知，考验学生对上节课知识的掌握程度。
通过一些问题，让学生对本节课知识感兴趣，并引出本节课的内容。
新知探究
1.探究
某田径队10名运动员跳远的最好成绩如下：
编号
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
成绩 /m
5.85
6.13
6. 11
6.01
5. 91
6. 19
5. 81
5. 84
6.22
5. 98
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
6. 19
5. 81
5. 84
6.22
5. 98
教练组拟根据这组数据将队员分为两组进行分层训练, 应当如何划分呢?
一种划分的方法是, 使得每一组的数据比较稳定, 即每一组数据的组内差异小, 组间差异大.
一般地,设一组数据为 x1,x2,⋯,xn ,它的平均数为 x ,离差平方和为 S2 . 如果把这组数据分为两组,前 m 个数据为第一组,后 n−m 个数据为第二组,第一组的平均数记作 x1 ,第二组的平均数记作 x2 ,令
S12=x1−x12+x2−x12+⋯+xm−x12+xm+1−x22+xm+2−x22+⋯+xn−x22,
S22=mx1−x2+n−mx2−x2,
其中 S12 为组内离差平方和,反映了两个组内数据的离散程度, S22 为组间离差平方和,反映了两组数据之间的差异程度.
数学上已经证明
S2=S12+S22
小贴士：此结论的证明参见本节末的 “多知道一点”.
将上述 10 名运动员跳远的最好成绩的数据从小到大排列, 得
5.81,5.84,5.85,5.91,5.98,6.01,6.11,6.13,6.19,6.22
观察上述数据, 前 5 个数据相差不多, 后 5 个数据也相差不多. 于是可以尝试把前 5 个数据作为第一组, 后 5 个数据作为第二组, 且将第一组数据的平均数记作 x1 ,第二组数据的平均数记作 x2 ,将这 10 个数据的平均数记作 x .
于是x1=155.81+5.84+5.85+5.91+5.98=5.878 ,
x2=156.01+6.11+6.13+6.19+6.22=6.132,
x=110(5.81+5.84+5.85+5.91+5.98+6.01+6.11+6.13+6.19+6. 22)
=6.005.
因此组内离差平方和 S12 为
S12=5.81−5.8782+5.84−5.8782+5.85−5.8782+(5.91−5.878)2+5.98−5.8782+6.01−6.1322+6.11−6.1322+6.13−6.1322+6.19−6.1322+6.22−6.1322
=0.04476.
组间离差平方和 S22 为
S22=5×5.878−6.00525×6.132−6.0052
=0.16129.
另外,这 10 个数据的离差平方和 S2 为
S2=5.81−6.0052+5.84−6.0052+5.85−6.0052+(5.91−6.0052+5.98−6.0052+6.01−6.0052+6.11−6.0052+6.13−6.0052+6.19−6.0052+6.22−6.0052
=0.20605.
又S12+S22=0.04476+0.16129
=0.20605,
于是 S2=S12+S22 .
在大数据分析中, 数据的分组是重要的方法之一. 虽然可以有多种方法对数据进行分组, 但是, 使得 “组内离差平方和最小” 的方法是最传统的, 也是非常合理的.
2.思考
上述分组符合 “组内离差平方和最小” 的原则吗?
按照组内离差平方和最小的原则, 应保证跳远最好成绩相差不多的运动员在一个组. 将从小到大排列后的 10 个数据依次分为两组, 有下面 9 种情况:
第一组 1 个数据, 第二组 9 个数据;
第一组 2 个数据, 第二组 8 个数据;
⋯ ;
第一组 9 个数据, 第二组 1 个数据.
对上面的分组, 可以利用计算机设计算法、编写程序, 然后依次计算组内离差平方和 (前面已经计算出第一组、第二组各 5 个数据的组内离差平方和), 得到下表(结果保留四位小数):
分组情况
组内离差平方和
第一组 1 个, 第二组 9 个
0.1638
第一组 2 个, 第二组 8 个
0.1251
第一组 3 个, 第二组 7 个
0.0798
第一组 4 个, 第二组 6 个
0.0510
第一组 5 个，第二组 5个
0.0448
第一组 6 个, 第二组 4 个
0.0407
第一组 7 个, 第二组 3 个
0.0748
第一组 8 个, 第二组 2 个
0.1061
第一组 9 个, 第二组 1 个
0.1547
计算结果表明, 将排序后的前 6 个数据分为一组, 后 4 个数据分为另一组, 可以使组内离差平方和最小. 即应将编号为①④⑤⑦⑧的运动员分为一组, 其他运动员为另一组进行分层训练. 通过数据也可以看到, 这样的分组是合理的.
学生认真听讲，思考。
学生记忆公式
学生课下查看课本，了解即可。
学生尝试自己计算，再对照课本。
学生思考问题，理解分组方法。
培养学生分析问题的能力。
理解组内离差平方和与组间离差平方和的意义。
让学生能够了解证明方式，提高学生的逻辑思维能力，让学生对此记忆更深刻。
提高学生的运算能力。
通过计算机的计算给出结果。
通过数据证明，让学生理解这样的分组方式是合理的。
课堂练习
1.下面是我国 9 个城市 2021 年的平均相对湿度 (单位: %):
53,56,61,62,58,58,66,70,65.
将这些平均相对湿度数据分成两组:
第一组, 53,56,58,58 ;
第二组, 61,62,65,66,70 .
试计算上述分组情况下的组内离差平方和.
x1=1453+56+58+58=56.25
x2=1561+62+65+66+70=64.8
因此组内离差平方和 S12 为
S12=53−56.252+56−56.252+58−56.252+58−56.252 =16.75
因此组内离差平方和 S22 为
S22=61−64.82+62−64.82+ 65−64.82+66−64.82+ 70−64.82 =50.8
学生自主完成后，教师核对答案纠错，并进行分析。
学生自主完成后核对答案，听老师分析。
通过练习题反馈学生对组内离差平方和计算的熟练程度。
课堂小结
1.S12=x1−x12+x2−x12+⋯+xm−x12+xm+1−x22+xm+2−x22+⋯+xn−x22
S22=mx1−x2+n−mx2−x2m
其中 S12 为组内离差平方和,反映了两个组内数据的离散程度, S22 为组间离差平方和,反映了两组数据之间的差异程度.
2. 在大数据分析中，数据的分组是重要的方法之一. 虽然可以有多种方法对数据进行分组，但是，使得“组内离差平方和最小”的方法是最传统的，也是非常合理的.
学生归纳本节课知识。
让学生回顾本节课组内离差平方和与组间离差平方和的内容，加深印象，便于做题。
课后练习
1.必做题：教材P147页习题——学而时习之
2.选做题：教材P147页习题——温故而知新
学生自主完成
让学生巩固本节课所学知识。