初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）小结与评价表格教案及反思

这是一份初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）小结与评价表格教案及反思，共6页。
课题
第2章 分式 小结与评价
单元
第2单元
学科
数学
年级
八年级上册
教学目标
1．系统了解本章的知识体系及知识内容．
2．进一步知道分式的概念和分式的基本性质，能进行分式的约分、通分以及分式的加减、乘除、乘方混合运算．
3．会用科学记数法表示绝对值小于1的数，能进行有关负整数次幂的有关运算．
4．会列分式方程解决简单的实际问题，会解分式方程．
5．通过构建知识结构图，提高归纳、整理的能力，体会知识之间的内在联系和价值．
教学重点
分式的基本性质及运算，分式方程的解法及应用．
教学难点
分式的有关运算及分式方程的应用.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
知识图谱
学生与教师一起回顾本章的内容。
通过对分式的梳理，让学生对本章知识有个系统的认知，理清知识点之间的联系，掌握注意的地方，加深对知识的全面理解。
思考回顾
举例说明什么是分式. 分式的基本性质有哪些？
设f 和g都是多项式，其中g不为0. 我们把f 除以g的结果记作fg，称fg是分式，其中f 称为分子，g称为分母.
例 ba,2n, 3a+b, x2+ 1x + 1
一般地，分式具有如下基本性质：
分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为0的多项式，所得分式与原分式相等.
2. 什么是最简分式？如何通过约分把分式化成最简分式？
如果分式的分子与分母没有公因式，那么称这个分式是最简分式.
例 6yx，xx−2
（1）若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式，即分子、分母系数的最大公约数和分子、分母中的相同字母的最低次幂的乘积；
（2）若分式的分子、分母中至少有一个是多项式，应先分解因式，再确定公因式并约去.
例

3. 如何进行分式的加法、减法、乘法、除法和乘方运算？
先算乘方,再算乘除，最后算加减.
4. 什么是最简公分母？什么叫作通分？
异分母的分式相加（减），取各个分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母.
利用分式的基本性质，把它们化成同分母的分式,这个过程叫作通分.
例
最简公分母为：2a2b2c
通分为：

5. 如何进行同底数幂的除法？
同底数幂相除（被除式的指数大于除式的指数），底数不变，指数相减.
aman=am−n(m，n都是正整数,且m > n）
例 x8÷x2=x8–2=x6.
6. 任何非零实数的零次幂等于多少？整数指数幂的基本性质有哪些？
任何非零实数的零次幂都等于1.
a0 = 1（a ≠ 0）
整数指数幂的基本性质：
am⋅an = am+n（ a ≠ 0，m，n都是整数）.
（am）n = amn（ a ≠ 0，m，n都是整数）.
（ab）n = anbn（a ≠ 0，b ≠ 0，n是整数）
7. 解可化为一元一次方程的分式方程的步骤是什么？
第一步，求出最简公分母，将方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为一元一次方程；
第二步，解所得到的一元一次方程；
第三步，检验一元一次方程的解是否为原分式方程的解.
学生思考回答教师提出的问题。
引导学生回顾分式这章的知识点,使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系，通过问题，让学生回忆本章重点内容，检查学生对知识点的掌握程度，及时发现问题，查漏补缺。
注意事项
1. 分式fg中分母g不为0.
2. 任何非零实数的零次幂都等于1，即a0 = 1（a≠ 0）
3. 非零实数的负整数指数幂规定为a−n
1an（a≠0，n是正整数），特别地，a−1= 1a（a≠ 0）.
4. 解可化为一元一次方程的分式方程时，一定要检验一元一次方程的解是否为原分式方程的解.
学生与教师一起总结。
帮助学生梳理本章需要重点注意的地方，更好的理解知识点。
典例精讲
题型一：分式的有关概念及基本性质
例1
下列各式： x−y3 ， a2x−1 ， xπ+1 ，−3ab ， 12x＋y ， 12 x＋y ，其中分式的个数是（ B ）
A.2 B.3 C.4 D.5
例2
若分式 x−5x+2 的值等于0，则 x 的值是（ A ）
A.5 B.-5 C.2 D.-2.
例3
与分式 −aa−b的值相等的是（ CC ）
A. a−a−b B. aa＋b
C. −aa−b D. −a−a＋b
题型二：分式的运算与化简求值
例4
化简：（ 2mm2−4 ＋ 12−m ）÷ 1m+2 ＝ 1 .
例5
计算：（1）（1＋ 1x ）÷ x2−1x ；
（2）1÷ 1+m1−m ·（ m2－1）.
解：(1)原式＝ x+1x · x（x+1)(x−1） ＝ 1x−1 .
(2)原式＝1·1−m1+m ·（m＋1）（m－1）
＝－（m－1）2
＝－m2＋2m－1.
例6
已知实数 a 满足a2＋2a－13＝0，
求1a+1－a+2a2−1÷（a+1)(a+2）a2−2a+1的值.
解：原式＝1a+1－a+2（a+1)(a−1）·（a−1）2（a+1)(a+2）＝ 1a+1－a−1（a+1）2
＝2（a+1）2＝2a2+2a+1 .
由 a2＋2a－13＝0，得 a2＋2a ＝13，
故原式＝213+1＝214＝ 17 .
题型三：整数指数幂
例7
下列结果正确的是（ A ）
A. （－56.7）0＝1 B. 15 ×50＝0
C.（－ 15 ）－2＝－ 125 D. 3－3＝－ 127
例8
将数据0.0000000023用科学记数法表示为
2.3×10-9 .
例9
计算：
(1)(－2)2＋(－2)×30−（14）−2；
(2)2＋(－3)2－2 0180×|－4|＋（16）−1 ；
(3) 4−1−3×（23）−2÷ 22+（−2）2−（12）−1
解：（1）原式＝4＋(－2)×1－16＝－14；
（2）原式＝2＋9－1×4＋6＝13；
（3）原式＝（ 14 -3 ×14 ）÷(4＋1－2)＝－ 132 ÷3＝－ 136.
题型四：分式方程的解法
例10
分式方程xx−3=x+1x−1的解是( B )
A.x=3 B.x=-3 C.x=2 D.x=0
例11
若关于x的方程x+4x−3=mx−3+2有增根,则m的值是 7 .
例12
解方程：
解：方程两边同乘(x-1)(x+2),得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.
解得 x=1.
检验：当x=1时， (x-1)(x+2) =0, 因此x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
题型五：分式方程的应用
例13
某校为了进一步丰富文体活动,准备购进一批篮球和足球.已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元,用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个.如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为 1500x+20-800x=5 .
例14
目前，步行已成为人们最喜爱的健身方式之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗,还可以通过运动做公益(如图).对比手机数据发现小明步行12000步与小红步行9000步消耗的能量相同.若每消耗1千卡能量小明行走的步数比小红多10步,求小红,小明每消耗1千卡能量分别需要行走多少步.
解:设小红每消耗1千卡能量需要行走x步,
则小明每消耗1千卡能量需要行走(x+10)步.
根据题意,得12000x+10=9000x
解得x=30.
经检验,x=30是原方程的解，且符合题意.
答:小红每消耗1千卡能量需要行走30步，小明每消耗1千卡能量需要行走40步.
拓展提升
例15
小明在考试时看到一道这样的题目：“先化简（ aa−1 － 2a2−1 ）÷（1－ 1a+1 ），再求值.”小明代入某个数后求得其值为3.你能确定小明代入的是哪一个值吗？你认为他代入的这个值合适吗？为什么？
解：原式＝ aa−1−2（a−1)(a+1） ÷ a+1−1a+1
＝ a（a+1)−2（a−1)(a+1） × a+1a ＝ a（a+1)−2a（a−1） ＝ a2＋a−2a（a−1） ＝ （a−1)(a+2）a（a−1） ＝ a+2a ，
当a+2a＝3时，a＝1，故小明代入的值是a＝1，
此时 a －1＝0，原式无意义，所以这个值不合适.
学生独立解答。
通过典型例题，帮助学生回忆分式的知识点，及时发现问题，巩固本章知识点，灵活运用本章知识解决问题，锻炼学生的解题能力。
作业布置
完成本单元测试卷