2026年新教材北师大版数学暑假七升八衔接讲义第07讲 二次根式的混合运算（原卷版）

这是一份2026年新教材北师大版数学暑假七升八衔接讲义第07讲 二次根式的混合运算（原卷版），共9页。试卷主要包含了二次根式的加减运算，二次根式的乘除法运算，二次根式的混合运算，比较二次根式的大小，分母有理化，已知字母的值，化简求值，已知条件式，化简求值，二次根式的应用等内容，欢迎下载使用。
典型例题一 二次根式的加减运算
典型例题二 二次根式的乘除法运算
典型例题三 二次根式的混合运算
典型例题四 比较二次根式的大小
典型例题五 分母有理化
典型例题六 已知字母的值，化简求值
典型例题七 已知条件式，化简求值
典型例题八 二次根式的应用
知识点01 二次根式的加减
二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
【即时训练】
1．（25-26八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2026·河北承德·一模）若，则__________．
知识02 二次根式的乘法
二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0）
文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开方数的积的算术平方根.
推广：
【即时训练】
1．（25-26八年级下·云南怒江·期中）计算的结果是（ ）
A．B．6C．D．1
2．（25-26八年级下·福建龙岩·期中）填空：______．
知识点03 二次根式的除法
二次根式的除法：=（a≥0，b>0）
文字语言：二次根式与二次根式相除，等于各个被开方数的商的算术平方根.
【即时训练】
1．（2026·河南平顶山·二模）若，则的值为（ ）
A．B．C．5D．25
2．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）计算结果是________．
知识点04 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：
【即时训练】
1．（25-26八年级下·云南怒江·期中）计算的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·山西阳泉·模拟预测）计算的结果为______．
【典型例题一 二次根式的加减运算】
【例1】（25-26八年级下·河南驻马店·期中）下列计算错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【例2】（25-26七年级下·河北保定·期中）计算：（ ）
A．B．8C．D．16
【例3】（25-26八年级上·四川南充·期中）计算：，结果是___．
【例4】（2026·安徽阜阳·二模）法国数学家爱德华·卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他曾给出了求斐波那契数列第n项的表达式，创造出了检验素数的方法，还发明了汉诺塔问题．“卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用，卢卡斯数列中的第n个数可以表示为，其中．则_______．
1．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）计算：；
2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算：
(1)
(2)
3．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式：
(1)；
(2)．
【典型例题二 二次根式的乘除法运算】
【例1】（25-26八年级下·山西朔州·期中）计算：（ ）
A．B．C．D．
【例2】 （24-25八年级上·上海宝山·期中）小明作业本上有以下四道题：①；②；③；④，其中做错的题是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【例3】（24-25八年级下·山东德州·期中）计算：的值为______．
【例4】（2026·江苏南京·一模）对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”如下：（），则_______________．
1．（24-25八年级下·全国·单元测试）运算能力计算：
(1)；
(2)．
2．（24-25八年级下·湖北荆门·阶段检测）计算：
(1)
(2)
3．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）计算
(1)；
(2)；
(3)．
(4)；
(5)．
(6)；
【典型例题三 二次根式的混合运算】
【例1】（24-25八年级下·福建莆田·阶段检测）计算×＋的结果是（ ）
A．B．C．D．
【例2】（25-26八年级下·山东聊城·期中）已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（ ）
A．30B．C．D．
【例3】（25-26八年级下·新疆伊犁·期中）计算的结果是________．
【例4】（2026八年级上·天津西青·模拟预测）计算：的结果等于______；的结果等于______．
1．（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）计算：
(1)
(2)
(3)已知，求x的值．
2．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
3．（25-26八年级下·山东淄博·期中）阅读材料：已知，求的值．
小明同学是这样解答的：
∵，
又∵，
∴．
这种方法称为“构造对偶式”．
解答问题：
(1)已知，试证明为定值．
(2)已知，求的值．
【典型例题四 比较二次根式的大小】【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）比较大小：与，正确的是（ ）
A．B．C．D．不确定
【例2】（2025九年级·重庆北碚·专题练习）已知： ，比较m、 n 的大小（ ）
A．B．C．D．无法确定
【例3】（25-26八年级下·安徽淮南·期中）比较下列两个数的大小：________（选填“＞”或“＜”）
【例4】（25-26八年级上·上海·阶段检测）比较大小（用“>”、“b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和 的大小．
解：，，
∵，∴，
参考上面例题的解法，解答下列问题：
(1)比较与的大小；
(2)比较 与的大小．
【典型例题五 分母有理化】
【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）将分母有理化的结果为（ ）
A．B．C．D．
【例2】（24-25八年级下·山东德州·期中）小明是这样化简的：，则他没有用到的数学知识是（ ）
A．B．分数的基本性质
C．D．
【例3】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）规定运算“★”是，则__________．
【例4】（25-26八年级上·山东青岛·期中）的平方根是______ ，的倒数是______ ，的绝对值是______ ．
1．（2026·湖南邵阳·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
2．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）已知，求的值．
3．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需做进一步的化简，化去分母中的根号．
①
②
③
以上化简的步骤叫做分母有理化．请参照上述方法，若已知，
(1)求，的值；
(2)求的值．
【典型例题六 已知字母的值，化简求值】
【例1】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）已知，，则a与b的关系是（ ）
A．B．C．D．
【例2】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）若，则代数式的值是（ ）
A．2024B．2025C．2026D．
【例3】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）已知：，代数式的值为________
【例4】（25-26八年级下·河南濮阳·期中）我国南宋时期的数学家秦九韶在《数书九章》中提出，利用三角形的三边求面积的公式（其中a，b，c为三角形的三边长）．已知三边长分别是2，3，4的三角形，这个三角形的面积是_______．
1．（24-25八年级下·浙江·期末）计算：
(1)．
(2)已知，，求下列代数式的值．
2．（24-25八年级上·山东菏泽·阶段检测）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的：
∵．
∴．
∴，即．
∴，∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)计算：______；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题：
已知，求的值．他们是这样解答的：
∵
∴
∴即
∴
∴．
珇你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题：
(1)______．
(2)化简；
(3)若，求的值．
【典型例题七 已知条件式，化简求值】
【例1】（24-25八年级下·广东汕头·期中）若，则代数式的值为（ ）
A．2005B．2006C．2007D．2008
【例2】（25-26八年级上·四川宜宾·阶段检测）已知、为实数，且，求的值为（ ）
A．2B．3C．5D．13
【例3】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知，，则______．
【例4】（24-25七年级下·吉林·期中）对于两个有理数a，b，定义一种新运算如下：，如：，那么____________．
1．（25-26八年级下·云南昆明·期中）【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
；
．
(1)【类比归纳】请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方；
(2)【类比归纳】若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值．
2．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）阅读与思考
【阅读理解】
爱思考的小聪在解决“已知，求的值”的问题时，他是这样分析与解答的：
∵，
∴
∴，即，
∴，
∴．
【任务】
请你根据小聪的分析过程，解决如下问题：
(1)计算：________；
(2)求的值；
(3)若，求的值．
3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知，求的值．小明是这样分析与解答的：
∴，
∴．
∴，即．
∴，
∴．
青你根据小明的分析过程，解决下列问题：
(1)化简：_________；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
【典型例题八 二次根式的应用】
【例1】（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段检测）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（ ）
A．B．C．D．12s
【例2】（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成的正方形的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，则这个小正方形的面积为（ ）
A．B．C．D．5
【例3】（2025·吉林长春·三模）如图，大正方形面积为32，小正方形的面积为8，则阴影部分的面积是_______．
【例4】（2025·山东日照·模拟预测）先观察下列等式，再解答下列问题：
①；
②；
③．
设（为正整数），当时，的值是________．
1．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）定义：若两个含二次根式的代数式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“和谐二次根式”．根据上述材料，解答下列问题：
(1)若a与是关于6的“和谐二次根式”，求a的值；
(2)若m为有理数，且与是关于4的“和谐二次根式”．求m的值．
2．（25-26八年级下·湖北黄石·期中）有一个长方形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
(1)求原矩形木板的面积；
(2)如果木工想从剩余的木板中截出长为，宽为的长方形木条，那么最多能截出几个这样的木条？直接写出答案．
3．（25-26八年级下·湖北襄阳·阶段检测）我国南宋著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”（利用三角形三边长求三角形面积的方法），简称秦九韶公式．在海伦的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法，故我国称这个公式为海伦——秦九韶公式．设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式：（海伦公式）；（秦九韶公式）．
(1)若一个三角形三边长依次为5，6，7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整．
解：一个三角形三边长依次为5，6，7，即，
_________．
根据海伦公式可得_________．
(2)请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．
(3)如图，在中，的对边分别为a，b，c，，过点A作，垂足为D，求线段AD的长．
1．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段检测）已知，，则用表示为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25八年级下·河北承德·期末）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的结果是（ ）
A．B．C．D．
4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（25-26八年级下·河南许昌·期中）【观察】，．
【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中，与，与相乘的积都不含二次根式，我们可以将每组中的两个式子称作互为有理化因式．
【运用】对于正整数，定义，例如：．求的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2026·江苏南京·二模）计算的结果是______．
7．（25-26八年级下·河北邢台·期中）若，则的值为______．
8．（2025·广西防城港·一模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：______．

9．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：写出第n个等式______．
10．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，把面积为50和18的两个正方形①②放入长方形中，阴影部分的面积分别记为，，若，则____________
11．（25-26八年级下·全国·期末）计算：
(1)
(2)
12．（2026·河北石家庄·二模）计算：“”，其中“□”部分印刷不清楚．
(1)若“□”代表的数是，下图是嘉淇的运算过程，他是从第____步开始出错的，正确的结果应该是__________；
(2)若原式的计算结果为，求“□”代表的数．
13．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）请阅读下列材料：
已知，求代数式的值．
学生甲根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：
由得，则，即，．把作为整体，得．
请运用上述方法解决下列问题：
(1)已知，求代数式的值；
(2)已知，求代数式的值．
14．（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）比较无理数大小的方法有“作差法”“平方法”“穿墙术”等．
15．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）小明同学每次回家时，总能看见张贴在电梯间的提示标语“高空抛物 害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，）
(1)已知小明家住20层，离地面的高度为60米，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间（结果保留根号）；
(2)已知从高空坠落的物体所带能量 E（单位：） 物体质量() 高度()，一串质量为 的钥匙经过 落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？（注：的能量就会对人体造成危害）
……第一步
……第二步
………………第三步
……………………第四步
典型示例
作差法
平方法
穿墙术
比较和的大小．
解：因为
所以
比较和的大小．
解：，
，
而28＞27，
所以
比较和的大小．
解：因为，
，
而，
则，
所以
任务完成
（1）请比较和的大小；
（2）请比较与的大小．