2026年新教材北师大版数学暑假七升八衔接讲义第02讲 勾股定理的应用（原卷版）

这是一份2026年新教材北师大版数学暑假七升八衔接讲义第02讲 勾股定理的应用（原卷版），共9页。试卷主要包含了梯子靠墙实际应用题，求大树折断前的高度，解决水杯中筷子问题，航海，求台阶上地毯长度，判断是否受台风影响，选址使到两地距离相等，求最短路径等内容，欢迎下载使用。
典型例题一 梯子靠墙实际应用题
典型例题二 求大树折断前的高度
典型例题三 解决水杯中筷子问题
典型例题四 航海 / 路程直角模型
典型例题五 求台阶上地毯长度
典型例题六 判断是否受台风影响
典型例题七 选址使到两地距离相等
典型例题八 求最短路径
知识点01 勾股定理的应用
1.用勾股定理解决一般问题的步骤
（1）由题意画出符合要求的直角三角形，把实际问题转化为数学问题；
（2）将待求的量看成直角三角形的一条边；
（3）利用勾股定理求解.
2.求直角三角形边长的方法
若已知两边长，可直接由勾股定理求第三边长，若已知一边及另外两边的关系，可设未知数根据勾股定理求解.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的点A处向围墙上的点B处拉彩旗．已知点B和教学楼的水平距离为，教学楼高，围墙高，问至少需要多长的彩旗带？
2．（24-25八年级上·上海·二轮复习）如图，在两面墙之间有一个底端在点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在点．已知，，点到地面的垂直距离．求点到地面的垂直距离．
知识点02：利用勾股定理解决最短路线问题
1.求长方体表面上两点间最短路线的方法：
需将长方体相应几个面展开，从而将长方体表面上两点间的距离转化为求平面内两点间的距离，构造直角三角形，通过勾股定理求解；
2.求几何体表面上最短路线长的方法
应用转化思想，将空间问题转化为平面问题，将曲面转化为平面，将曲线转化为直线，连接起点与终点所得到的线段作为三角形的一条边，从而构造直角三角形，然后利用勾股定理求出最短路线长.
【即时训练】
1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，铁路上、两站相距，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值．
2．（25-26八年级上·甘肃白银·期末）你听说过亡羊补牢的故事吧！为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在如图所示的高、宽的长方形栅栏门的相对角的顶点钉一根加固木条，则这根木条的长至少为多少？
【典型例题一 梯子靠墙实际应用题】
【例1】（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，长的梯子斜靠在一竖直的墙边，梯子的底端离墙脚的距离为，则梯子顶端距离地面的高度为（ ）
A．1.8B．2.4C．2.5D．2.6
【例2】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，小宇将米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（ ）
A．米B．米C．2米D．米
【例3】（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离为________．
【例4】（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为_______米．
1．（25-26八年级下·四川广元·期中）如图，一架长的云梯斜靠在一面墙上，这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端与墙角O处的距离为．
(1)求这架云梯顶端A处的高度；
(2)当这架云梯的顶端下滑时，底端也沿的向外移动吗?
2．（25-26八年级下·江西上饶·阶段检测）小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作：
①用皮尺测得的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线（线段）的长为25米；
③小望拉风筝的手到地面的距离（线段的长）为米．
(1)求风筝的垂直高度（线段的长）；
(2)如果小望想使风筝沿下降12米到F处，求他应该往回收线多少米？
3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）年惠山区第十九届中小学生田径运动会在无锡市洛社初级中学（雅西分校）成功举办，该校“振勇”数学学习小组对学校宣传标语的悬挂高度开展了如下综合与实践活动．
【活动主题】测量宣传标语的悬挂高度
【测量工具】卷尺、所有示意图均为其截面图
【活动过程】
活动1：测量宣传标语的高度
该小组开展对宣传标语悬挂高度的测量活动（如图1），测得此时绷直的标语的底端距离墙角的距离为．该小组将标语的底端松开后将其一部分紧贴墙壁，测得此时多余部分的长为，如图2．
（1）求宣传标语的悬挂高度（即线段的长）；
活动2：测量宣传标语的高度
该小组开展对不可以到达墙角（墙角处种有绿植，但不影响地面测量）的宣传标语悬挂高度的测量活动（如图3），测得此时绷直的宣传标语的底端距离墙角的距离为．该小组将标语的底端松开后移动到点处（此时绷直），测得此时，如图4．
（2）求宣传标语的悬挂高度（即线段的长）．
【典型例题二 求大树折断前的高度】
【例1】（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，一棵树在离地面5米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（ ）米．
A．13B．17C．18D．20
【例2】（25-26七年级下·云南昭通·期中）如图，某小区为加固围墙，将一根木质立柱垂直立在地面，立柱在离地面的处发生弯折，弯折后的立柱顶端恰好落在距离立柱底部点的位置处，则这根木质立柱原本的总高度为
A．B．7C．5D．4
【例3】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面3米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部4米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有______米．
【例4】（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）《九章算术》中有这样一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高者几何？意思是：如图，一根竹子，原高1丈（1丈尺），风将其折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，则折断处离地面的高度是______尺．
1．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）台风过后，某校的旗杆在B处断裂，旗杆顶部A落在离旗杆底部C的远处．已知旗杆长，求旗杆的断裂处距离底部的高度．
2．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米）
(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
(2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？
3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，一根直立的旗杆高8米，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为4米．
(1)求旗杆在距地面多高处折断；
(2)工人在修复的过程中发现在折断点的下方1.25米的点处有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？
【典型例题三 解决水杯中筷子问题】
【例1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）《醉翁亭记》中写道：…射者中…，其中射指投壶，宴饮时的一种游戏，如图示，现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（ ）
A．B．C．D．
【例2】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【例3】（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，一个圆桶底面直径为，高，则桶内所能容下的最长木棒为______．

【例4】（25-26八年级上·四川成都·期末）平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了3尺．由此可知水池的深度是______尺．
1．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？
2．（25-26八年级下·江西赣州·期中）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即．求水池的深度及芦苇的长度；
3．（25-26八年级上·河南郑州·期末）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即．
(1)求水池的深度．
(2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性．
【典型例题四 航海 / 路程直角模型】【例1】（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图所示，一轮船以6海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）
A．20海里B．10海里C．30海里D．25海里
【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，某地一游客因赶海涨潮被困在礁石上，消防救援人员利用舟艇接近被困人员，返回岸边时，受水流影响，实际上岸地点比原设定地点偏移了（）．已知舟艇以的速度，用时回到岸边点处，则礁石到河岸的距离为（ ）
A．B．C．D．
【例3】 （24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图，为修筑铁路需凿通隧道，现测量出，，．若每天凿隧道，则需要________天才能把隧道凿通．
【例4】（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口一个半小时后分别位于、处，此时两艘轮船相距________．
1．（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以0.7米/秒的速度收绳，10秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？
2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离．
3．（24-25八年级上·广东深圳·期中）港珠澳大乔是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海大桥，总长，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号）

(1)若工作人员以的速度收绳，后船移动到点D的位置，问此时游轮距离岸边还有多少？
(2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到E点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？
【典型例题五 求台阶上地毯长度】
【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（ ）
A．4米B．8米C．9米D．7米
【例2】（24-25八年级下·江西宜春·期末）如图是台阶的示意图，若每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则的长度是（ ）
A．B．C．D．
【例3】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为______．
【例4】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则地毯的长为______m，购买这种地毯至少需要______元．
1．（24-25八年级上·广东梅州·阶段检测）如图，要修建一个育苗棚，棚高，棚宽，棚的长为，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
2．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？
3．（24-25八年级上·福建厦门·阶段检测）中山公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为且过顶点（长度单位：）
(1)直接写出的值；
(2)现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，地毯的价格为20元/，求购买地毯需多少元？
(3)在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG．已知矩形EFGH的周长为27.5m，求斜面EG在这个坐标系中的解析式．
【典型例题六 判断是否受台风影响】
【例1】（24-25八年级上·河南郑州·阶段检测）今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（ ）个小时开始受到台风影响．
A．B．C．6D．
【例2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______．
【例3】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少______秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响．
【例4】（25-26八年级下·陕西延安·阶段检测）如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一处需要爆破．已知、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，且，为了安全起见，爆破点周围半径范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？并说明理由．
1．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点的距离分别为，又，以台风中心周围以内为受影响区域．海港受台风影响吗？若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间是多长？如果不会，请说明理由．
2．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为．
(1)求台风中心从点移到点的距离的长？
(2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？
3．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）某市规划修建铁路，并将火车始发站定于B处．已知始发站B位于小区A的东北方向，位于商场C 的北偏西方向，且距离为米，小区A位于商场C的南偏西方向．火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为米的范围内都会受到噪音干扰．火车从始发站B出发，以米秒的速度沿铁路低速行驶．
(1)请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据：
(2)火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪音影响？
【典型例题七 选址使到两地距离相等】
【例1】（24-25八年级上·云南文山·期末）小明从家出发向正北方向走了60m，接着向正东方向走到离家100m远的地方，小明向正东方向走了（ ）
A．60mB．80mC．100mD．160m
【例2】 （24-25八年级下·河南安阳·阶段检测）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（ ）
A．20千米B．16千米C．12千米D．无法确定
【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在东西走向的铁路上有A、B两站（视为直线上的两点）相距36千米，在A、B的正北分别有C、D两个蔬菜基地，其中C到A站的距离为24千米，D到B站的距离为12千米，现要在铁路AB上建一个蔬菜加工厂E，使蔬菜基地C、D到E的距离相等，则E站应建在距A站_____千米的地方．
【例4】（24-25八年级上·江苏常州·期中）为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控布设线距离河流300，最大旋转角度；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时；若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设___________个监控器．
1．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于A，于．已知，，现要在铁路上建设一个特产收购站，使得，两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？
2．（25-26八年级下·北京·期中）如图，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，观景台到马路的距离（的长）为，凉亭到马路的距离（的长）为，的长为．现计划在路段之间放置一个自动售货点，使得到、两处的距离相等，该自动售货点应该修建在离点多远处？
3．（24-25八年级下·河南商丘·阶段检测）如图，铁路上有、两点（看作直线上两点）相距千米，、为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得、两村到煤栈的距离相等．
设煤栈应建在距点千米处的点处，如图，则千米．

(1)（______）千米；
(2)煤栈应建在距点多少千米处？
【典型例题八 求最短路径】
【例1】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，一只蚂蚁沿棱长为1的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路程为（ ）
A．B．C．3D．
【例2】（25-26八年级下·四川德阳·阶段检测）如图，有一个圆柱，它的高为12，底面周长为18，在圆柱的底面点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B的食物，需要爬行的最短路程是（ ）
A．10B．14C．15D．16
【例3】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，正方体的棱长为，蚂蚁从顶点A沿表面爬到顶点B的最短路程为_______．
【例4】（25-26八年级下·山西大同·期中）一个圆柱形饮料罐底面周长为，高为．一只蚂蚁从底面圆周上的点处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______．
1．（24-25八年级上·广东深圳·阶段检测）如图所示，一只蚂蚁在长方体（长10厘米，宽5厘米，高20厘米）的底面上的点A处，蚂蚁想吃到底面上与点A相对的点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？
2．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看成长方体去掉一个“半圆柱”，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘．小诚是一名滑板爱好者，若他从点处滑到点处，他滑行的最短距离是多少米？（边缘部分的厚度忽略不计）
3．（25-26八年级下·北京·期中）如图1，一圆柱的底面半径为是底面直径，高为，求一只蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点（点与点正对）的最短路线，小明设计了两条路线．
路线1：侧面展开图中的线段，如图2所示．
设路线1的长度为，则．
路线2：高线底面直径．
设路线2的长度为，则．
为比较的大小，采用“作差法”：
因为，所以，所以，所以小明认为路线2较短．
(1)小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成“圆柱的底面半径为，高为”．请你用上述方法帮小亮比较出与的大小．
(2)请你帮他们继续研究：在一般情况下，若圆柱的底面半径为，高为．蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点，当满足什么条件时，路线2较短？请说明理由．
1．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）《九章算术》中有这样一道题目，大意为：如图，今有墙高为1丈，倚木杆于墙，使木杆之上端与墙的上端平齐，牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上（即），问木杆长是多少？设木杆长x尺，根据题意可列方程为（1丈尺）（ ）
A．B．
C． D．
2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适于岸齐，问水深、葭长各几何？”这道题的意思是：“有一个边长为10尺的正方形水池，在水池的正中央（底面中点）长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺．若将芦苇拉到水池一边，芦苇的顶端恰好到达池边的水面，问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？”该题所求的水深为（ ）
A．9尺B．10尺C．12尺D．13尺
3．（24-25八年级下·山东·阶段检测）如图，甲渔船以16海里/时的速度从港口A出发沿北偏东方向航行，乙渔船以12海里/时的速度同时从港口A出发沿南偏东航行，2小时后，甲船到B岛，乙船刚好到达C岛，则两岛相距（ ）
A．25海里B．30海里C．35海里D．40海里
4．（24-25八年级下·云南昭通·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（ ）
A．8米B．12米C．16米D．24米
5．（25-26八年级下·广东深圳·期中）某公园有一处荷花池如图所示，池边有一观景栈道长100米. 为了方便市民赏花，公园决定规划一条步行观光路线(折线 )，为起点，为终点．已知、到观景栈道的距离米、米，要使池边观景路线为40米，则步行观光路线的最短长度为（ ）．
A．100米B．120米C．140米D．160米
6．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）一支长为厘米的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4厘米、3厘米和厘米的细长的长方形水槽中，那么水槽至少要放进_______厘米深的水才能完全淹没筷子．
7．（24-25八年级下·甘肃陇南·阶段检测）如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少高_____m？
8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD分别为500 m和300 m，且C、D两处的距离为600 m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水再赶回家，那么牧童最少要走__________m.
9．（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）如图，圆柱底面圆的周长为8cm，、分别是上、下底面的直径，高，用一条无弹性的丝带从至按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为______cm．
10．（24-25八年级上·全国·单元测试）轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则B处与灯塔A的距离是__________海里．
11．（25-26八年级下·广西崇左·期中）路边有一根电线杆，工人师傅在电线杆顶部向地面拉一根拉线固定．拉线的底端距离电线杆底部3米．已知拉线比电线杆长1米，求拉线的长度．
12．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）某校八年级学生准备测量校园人工湖的深度，他们在保证安全的情况下把一根竹竿AB垂直插到离湖边3dm的水底（即），只见竹竿高出水面OC的距离，把竹竿的顶端拉向湖边（底端不变），竿顶A和湖沿的水面C处平齐（即），求湖水的深度OB和竹竿AB的长．
13．（24-25八年级下·山东德州·期中）（1）如图1，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
（2）如图2，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）

14．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．
(1)求的距离；
(2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据）
15．（25-26八年级下·河南许昌·期中）【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式的最小值．
分析：和很容易让人联想到利用勾股定理求直角三角形第三边的情形，可以用“”表示直角边分别是x、3的直角三角形的斜边的长，用“”表示直角边分别是、2的直角三角形的斜边的长，基于以上联想，我们构造两个这样的直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时,，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”

(1)根据：两点之间__________，得到：线段AD就是的最小值，如图3连接AD，延长至，使，连接，可证：四边形是矩形，__________，__________，在中，由勾股定理可求得的长，的最小值是__________．
【模型应用】
(2)代数式的最小值是__________．
【模型拓展】
(3)根据以上学习，结合备用图解决问题：已知正数满足，求的值．