2026年新教材北师大版数学暑假七升八衔接讲义第04讲 平方根（原卷版）

这是一份2026年新教材北师大版数学暑假七升八衔接讲义第04讲 平方根（原卷版），共9页。试卷主要包含了求一个数的平方根，求一个数的算术平方根，求代数式的平方根，利用平方根解方程，利用算术平方根的非负性解题，已知一个数的平方根，求这个数，与算术平方根有关的规律探索题，算术平方根的实际应用等内容，欢迎下载使用。

典型例题一 求一个数的平方根
典型例题二 求一个数的算术平方根
典型例题三 求代数式的平方根
典型例题四 利用平方根解方程
典型例题五 利用算术平方根的非负性解题
典型例题六 已知一个数的平方根，求这个数
典型例题七 与算术平方根有关的规律探索题
典型例题八 算术平方根的实际应用
典型例题九 平方根的新定义运算
典型例题十 平方根的实际综合应用
知识点01 平方根和算术平方根的概念
1.算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.
特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
2.平方根的定义
如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.
【即时训练】
1．（2026·陕西西安·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．的值小于6B．是4的平方根
C．的算术平方根是D．
2．（25-26七年级下·广东江门·期中）_________，的算术平方根为_________，的平方根为_________．
知识点02 平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
特别说明：
（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
【即时训练】
1．（25-26七年级下·云南昆明·期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26七年级下·湖南永州·期中）若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是_____．
知识点03 平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.
【即时训练】
1．（25-26七年级下·北京大兴·期中）已知，，，，则（ ）
A．22.36B．223.6C．70.71D．707.1
2．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）若，，则___________
【典型例题一 求一个数的平方根】
【例1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）16的平方根是（ ）
A．B．8C．D．2
【例2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知，则的平方根是（ ）
A．B．C．D．
【例3】（2026·宁夏银川·一模）计算：_____．
【例4】（25-26八年级上·福建泉州·期末）若正数a的一个平方根是5，则它的另一个平方根是______．
1．（25-26七年级下·广东江门·期中）按要求完成作答：
(1)25的平方根是_____．
(2)已知一个正数的两个不同的平方根分别和，则_____．
(3)已知一个正数的两个不同的平方根分别为和．求这个正数，并写出的立方根在哪两个连续整数之间．
2．（25-26七年级下·山东临沂·期中）若，则2为p的整数部分，p减去其整数部分2的差即为它的小数部分．
例如：，则的整数部分为1，小数部分为．
(1)已知的整数部分是a，小数部分是b，则a＝______；b＝______．
(2)若的整数部分是m，的小数部分是n，求的平方根．
(3)已知，其中x是整数，且，求的相反数．
3．（25-26七年级下·安徽马鞍山·阶段检测）运动员射击时，枪弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为枪弹的加速度，为枪筒的长．
(1)某款运动射击枪的枪弹的加速度，枪筒的长，求该射击枪枪弹射出枪口时的速度．
(2)某款运动射击枪的枪弹的加速度，若射击枪枪弹射出枪口时的速度，求该款运动射击枪的枪筒的长．
【典型例题二 求一个数的算术平方根】
【例1】（2026·江苏连云港·二模）化简的结果是（ ）
A．B．3C．D．9
【例2】（2026·贵州贵阳·一模）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．B．2C．D．3.14
【例3】（25-26七年级下·吉林·期中）计算：______．
【例4】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义运算：，则________．
1．（25-26七年级下·广东广州·期中）根据下表回答下列问题：
(1)112.36的算术平方根是_____，118.81的平方根是____；
(2)若介于10.3与10.5之间，求满足条件的正整数a；
(3)物体自由下落的时间t（单位：）与下落高度h（单位：）之间的关系是．现有一个物体从高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间？（结果精确到）
2．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图为一个数值转换器．
(1)若输入的值为，则输出的值为______；若输入的值为，则输出的值为______；
(2)若输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为，求输入的的值；
(3)某同学输入的非负数值后，却始终不输出值，请你分析，他输入的值是？
3．（25-26七年级下·河北沧州·期中）某数学兴趣小组在学习了平方根后，对和的性质展开了探究，请你参与并完成下列问题：
(1)探究的性质（a为非负数）
①计算下列各式的值：
______ ______ ______
______ ______ ______
②归纳总结：对于任意非负数等于多少？
(2)探究的性质（为任意实数）
①计算下列各式的值：
______ ______ ______
______ ______ ______
②归纳总结：对于任意实数等于多少？
【典型例题三 求代数式的平方根】
【例1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若，则a+b的值为（ ）
A．±5B．5C．±4D．4
【例2】（24-25八年级上·福建莆田·期末）我们经常会听到有人惊叹年轻时尚的妈妈与女儿像同龄人，一位同学声称可以证明母女年龄“的确”会相同，并证明如下：
设母亲的年龄为，女儿的年龄为，母女年龄之和为，则：，
两边同乘，得，①
移项，得，
两边加上，得，②
即，③
两边开方，得，④
即，母女年龄相同，
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【例3】（25-26八年级上·河南周口·期中）若，则__________．
【例4】（24-25八年级上·四川成都·期中）已知某一个数的平方根分别是和，则这个数为__________________
1．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
2．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）求的小数部分；
（2）已知的小数部分是，的小数部分是，且，请求出满足条件的的值．
3．（24-25七年级下·山东枣庄·期中）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)观察图2请你写出、、ab之间的等量关系是______；
(2)根据（1）中的结论，若x＋y＝5，，则x－y＝______；
(3)拓展应用：若，求的值．
【典型例题四 利用平方根解方程】【例1】（24-25七年级下·河北保定·期末）已知，则的值是（ ）
A．3B．C．D．或3
【例2】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）在如图所示的计算程序中，输入x的值是（ ）
A．4B．C．D．4或
【例3】（24-25七年级下·山东临沂·期末）若，则x的值为________．
【例4】（25-26八年级上·全国·随堂练习）（1）立方根等于本身的数为________；
（2）已知，则________．
1．（25-26七年级下·青海西宁·期中）解方程：
(1)；
(2)．
2．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）解方程：
(1) ；
(2)．
3．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）某正数m的两个不同平方根分别是和，
(1)求a的值；
(2)求这个正数m；
(3)求关于x的方程的解
【典型例题五 利用算术平方根的非负性解题】
【例1】（25-26七年级下·四川德阳·期中）若，则的值是（ ）
A．1B．0C．D．2
【例2】（25-26八年级上·海南海口·期中）若x，y为实数，且则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【例3】（2026·四川资阳·模拟预测）若，则的值为________．
【例4】（24-25七年级下·四川南充·期中）已知、、在数轴上位置如图所示，化简____________．
1．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）先化简，再求值
(1)，其中．
(2)，其中，．
2．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题：
(1)的“共同体区间”为 ；
(2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”；
(3)实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“共同体区间”．
3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）先阅读下列例题：
已知，求和的值．解：把等式左边变形，
得，即．
因为，所以，即．仿照以上解法，解答下列问题．
(1)无论取何值，多项式的值总是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
(2)已知的三边长分别为，且，则为 三角形；
(3)已知，求和的值．
【典型例题六 已知一个数的平方根，求这个数】
【例1】（25-26七年级下·云南曲靖·期中）若，则x的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【例2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图是嘉琪同学做的练习题，他的得分是（ ）
A．10分B．20分C．30分D．40分
【例3】（2026·福建泉州·模拟预测）若，则___________．
【例4】（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如果一个数的立方根是3，那么这个数是_____．
1．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）已知的平方根是，的算术平方根是7，求的立方根．
2．（25-26七年级下·重庆巴南·期中）已知：的平方根为，的算术平方根为它本身，c是的整数部分．
(1)分别求出a，b，c的值；
(2)求的立方根．
3．（25-26七年级下·重庆江津·期中）按要求完成下列各题：
(1)若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数．
(2)已知的立方根是，是的算术平方根，求的平方根．
【典型例题七 与算术平方根有关的规律探索题】
【例1】（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知，则约等于下列值中的（ ）
A．265B．837C．26.5D．83.7
【例2】（25-26七年级下·山西大同·期中）小慧同学通过计算观察下列正数的算术平方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（ ）
A．B．C．D．
【例3】（25-26七年级下·福建龙岩·阶段检测）已知，则___________．
【例4】（25-26七年级下·广东汕头·期中）利用计算器计算下列各数的结果，如下列表，观察并发现规律：
若，则___________．
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）求一个正数的算术平方根时，可以通过一组数的内在联系运用规律求得．请同学们观察下表：
(1)根据表中所给的信息，你能发现什么规律？请将你发现的规律用文字表达出来．
(2)已知，运用你发现的规律，求下列各式的值：
①_______；
②_______．
2．（25-26七年级下·河北唐山·期中）阅读观察下列算式，探究规律：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：
(1)计算：；
(2)计算：；
(3)按照你所发现的规律，猜想第个等式：（为正整数）=________．
3．（24-25八年级下·全国·暑假作业）按要求填空：
（1）填表并观察规律：
（2）根据你发现的规律填空：
已知：，则______；
已知：，，则______；
（3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明．
【典型例题八 算术平方根的实际应用】
【例1】（2026·内蒙古呼和浩特·二模）如图，一块面积为的正方形丝巾，它的边长是（ ）
A．B．C．D．
【例2】（25-26八年级下·山西吕梁·期中）一个物体从静止开始做自由落体运动，下落距离（米）与时间（t）的关系为（g为重力加速度，）．物体从125米自由下落时，下落的时间为（ ）
A．3秒B．4秒C．5秒D．6秒
【例3】（2026·河南周口·一模）物理中自由落体下落高度公式（为重力加速度，取）若物体下落高度， 则下落时间 ___________．
【例4】（25-26七年级下·四川绵阳·期中）如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形；通过动手操作，小张同学把长为，宽为的长方形如图2所示进行裁剪拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为________．
1．（25-26七年级下·广东广州·期中）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽的比为但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！”
(1)求原正方形纸片的边长；
(2)你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗？
2．（25-26七年级下·福建南平·期中）如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．
(1)求大正方形的边长；
(2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．
3．（25-26七年级下·山东济宁·期中）某学校计划建造一个面积为长方形生态园．如图所示，该生态园有如下具体要求：
（1）生态园仅有一面靠墙（墙的长度为10m），其余三边均由篱笆围成；
（2）平行于墙的篱笆长度必须小于墙的长度；
（3）平行于墙的篱笆的长度要大于垂直于墙的篱笆的长度．
数学兴趣小组给出的设计方案是：长与宽之比为3∶2．请通过计算判断该设计方案是否符合要求，并求出所需篱笆的总长度．
【典型例题九 平方根的新定义运算】
【例1】（24-25七年级下·云南昭通·阶段检测）定义一种运算“”，其规则为，如，根据这个规则计算的值是（ ）
A．B．C．10D．100
【例2】（25-26八年级上·上海闵行·期末）定义：对于自然数，我们用【】表示不大于的最大整数，称之为的根号整数．例如的根号整数，的根号整数．那么满足的自然数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【例3】（24-25八年级上·山东枣庄·阶段检测）若对于实数x、y定义一种新运算：，则______．
【例4】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）对a，b定义运算“*”如下：，已知，则有理数______．
1．（24-25七年级下·广西玉林·阶段检测）新定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题：
(1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ；
(2)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”．
2．（24-25七年级下·河南信阳·期末）某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究．新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”．
(1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由．
(2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值．
(3)写出两组含有的“组合平方数”．
3．（24-25七年级下·湖南湘西·期中）阅读材料：
新定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数学和谐数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，，其结果2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“数学和谐数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6．
(1)请你写出与本题中不同的一组“数学和谐数”是 ．
(2)3，12，48，这三个数是“数学和谐数”吗？若是，请求出任意两个数乘积的“最小算术平方根”与“最大算术平方根”；若不是，请说出理由．
(3)已知a，64，100，这三个数是“数学和谐数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的2倍，求a的值．
【典型例题十 平方根的实际综合应用】
【例1】（25-26八年级上·山西临汾·阶段检测）将一个棱长为的正方体实心铜块熔化，制成一个底面是正方形的长方体实心铜块．若长方体的高为，则底面正方形的边长为（ ）
A．B．C．D．
【例2】（2025·广东肇庆·二模）已知一个正方体的表面积为12，则这个正方体的棱长为（ ）
A．1B．C．D．3
【例3】（24-25六年级上·山东威海·期末）图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图2所示的正方体，图1中小正方形顶点A，B在围成的正方体上的距离是______．
【例4】（24-25八年级下·山东临沂·期中）（日常生活情境：体重指数）青少年体重指数（）是评价青少年营养状况，肥胖的一种衡量方式，其公式为体重（）/［身高（）］．已知小红的体重为，她的值为20，则她的身高是_________．
1．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或．
(1)请根据上述平方根的意义，求方程的解；
(2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地面40米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间．
2．（25-26七年级下·广西南宁·期中）根据以下素材，探索完成任务．
任务：
(1)根据素材1，该团扇的扇面半径为___________；
(2)根据素材2，求出该长方体盒子的长和高；
(3)如果不考虑团扇和盒子的厚度，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由．
3．（24-25七年级下·江西南昌·期中）为宣传南昌旅游资源，促进旅游业发展，南昌某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中．
(1)长方形封皮的长和宽分别是多少？
(2)正方形卡片能否装进长方形封皮内？请说明理由．
1．（25-26七年级下·辽宁营口·期中）下列说法：①；②64的平方根是，立方根是；③；④已知，则．其中结论正确的序号是（ ）
A．①③B．①②④C．③④D．只有①④
2．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图为2025年某月日历，现用一个正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，若最小的数与最大的数的积记为n，中间位置上的数记为m．下列所给的数据中，n不可能是（ ）
A．80B．162C．297D．377
4．（25-26七年级下·广东广州·期中）观察下面表格，结论不正确的是（ ）
A．2.1的平方是4.41
B．
C．5.76的平方根是2.4
D．当时，随着的增大，的值也增大
5．（2026·河北唐山·二模）如图，由内到外依次为正方形，，，若的面积为，的面积为，则正方形的边长可能是（ ）
A．B．C．D．
6．（25-26八年级下·广东湛江·期中）已知，则的值是___________．
7．（24-25七年级下·重庆巫山·期中）一个正数a的平方根分别是m和，则这个m为 ___________ ．
8．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，则______．
9．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是______．
（用含的代数式表示）
10．（25-26七年级下·福建福州·期中）小榕用计算器计算了一些正数的平方，记录如下表：
下面有四个推断：
①59049的平方根是；
②由表可知，介于24.2和24.3之间；
③若，且，则；
④若x满足，则满足条件的整数x共有5个．
以上推断合理的是______．（写出所有正确推断的序号）
11．（25-26七年级下·四川南充·期中）已知 的算术平方根是3， 的平方根是 ， 是的整数部分，求 的平方根．
12．（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·期中）按要求解答下列各题：
(1)一个正数的两个平方根分别是和，求这个正数．
(2)与都是的平方根，求的值．
13．（25-26七年级下·吉林松原·期中）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：
观察上述式子的特征，解答下列问题：
(1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）；
__________；__________；
(2)当时，__________；当时，__________；
(3)计算：．
14．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）根据下表所提供的信息解答问题．
(1)10.89的平方根是________．
(2)物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）之间的关系是．现有一个物体从高的建筑物上自由下落，则该物体到达地面需要多长时间？（请结合表中数据精确到）
15．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）小李同学探索的近似值的过程如下：
∵面积为13的正方形的边长是，且，
∴设，其中；
通过数形结合，可画出正方形的面积示意图，如图所示：
∴，
又∵，∴，
当时，假设忽略不计，得，解得，即．
(1)填空：的整数部分的值为______；
(2)类比上述方法，探究的近似值（结果精确到）．（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
x
10
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
10.9
100
102.01
104.04
106.09
108.16
110.25
112.36
114.49
116.64
118.81
姓名：嘉琪 得分： ？
填空（每道题10分）
（1）1的平方根是 1
（2）写出一个无理数：
（3）若27是一个数的立方根，则这个数是 3
（4）的相反数是
…
…
…
0.25
0.7906
2.5
7.906
25
79.06
250
…
n
0.0016
0.16
16
1600
160000
…
0.04
0.4
4
40
400
…
a
4
400
4
400
2
20
设计合适的盒子
素
材
1
团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，小志制作了一面圆形团扇作为母亲节礼物，这把团扇的扇面面积为，手柄长为．
素
材
2
为了美观，小志设计了一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装．
课题
景点卡片及封皮制作
图示、数据及计算
图示

相关数据及说明
正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为．
计算结果
……
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
4.41
4.84
5.29
5.76
6.25
6.76
7.29
7.84
8.41
x
24.1
24.2
24.3
24.4
24.5
580.81
585.64
590.49
595.36
600.25
x
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
9.61
10.24
10.89
11.56
12.25
12.96
13.69
14.44
15.21