2026年新教材北师大版数学暑假七升八衔接讲义第06讲 二次根式的性质（原卷版）

这是一份2026年新教材北师大版数学暑假七升八衔接讲义第06讲 二次根式的性质（原卷版），共9页。试卷主要包含了二次根式有意义的条件，求二次根式的值，同类二次根式，二次根式中的参数，复合二次根式的化简，最简二次根式的判断，化为最简二次根式，二次根式的混合运算等内容，欢迎下载使用。
典型例题一 二次根式有意义的条件
典型例题二 求二次根式的值
典型例题三 同类二次根式
典型例题四 二次根式中的参数
典型例题五 复合二次根式的化简
典型例题六 最简二次根式的判断
典型例题七 化为最简二次根式
典型例题八 二次根式的混合运算
典型例题九 分母有理化
典型例题十 二次根式的应用
知识点01 二次根式有无意义的条件（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是．
（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证．
【即时训练】
1．（25-26八年级上·广东河源·期中）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·山东聊城·一模）写出使二次根式有意义的的一个值：_________．
知识点02 二次根式的化简
（1）二次根式化简的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；
③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式．
（2）最简二次根式的条件：
被开方数；被开方数中不含．
【即时训练】
1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知，则化简的结果是（ ）
A．B．C．－D．
2．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）化简：______；_____；_____．
【典型例题一 二次根式有意义的条件】
【例1】（2026·江苏连云港·二模）在函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例2】（24-25八年级下·吉林长春·期中）若在实数范围内有意义，则应为（ ）
A．全体实数B．C．D．
【例3】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）已知，则y的平方根为______．
【例4】（25-26八年级下·河南濮阳·期中）若式子在实数范围内有意义，则实数可取的数是___________．（只写一个）
1．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
2．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）计算求值：
(1)已知a，b为实数，且，求a，b的值．
(2)已知实数m满足，求的值．
3．（25-26八年级下·吉林松原·期中）问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法并填空．
(1)例：已知，求的值．
解：由得，_____，_____，_____；
(2)尝试应用
若为实数，且，化简：
(3)拓展创新
①已知，求的值．
②已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简．
【典型例题二 求二次根式的值】
【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）当时，二次根式的值为（ ）
A．2B．C．D．
【例2】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）在式子中，二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【例3】（24-25八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值是______ ．
【例4】（24-25八年级下·山东德州·期中）电流通过导线时会产生热量．电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足：．已知导线的电阻，1s的时间导线产生30J的热量，则电流为______A．（结果用二次根式表示）
1．（24-25八年级上·吉林·期中）计算：
（1）．
（2）．
2．（24-25八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右直爬个单位到达点，再直爬向点停止，已知点表示，点表示，设点所表示的数为．
（1）求的值
（2）求的值
（3）直接写出蚂蚁从点到点所经过的整数中，非负整数有 个
3．（2026·山西太原·一模）阅读与思考
下面是小颖同学数学笔记中的内容，请认真阅读并完成相应的任务．
任务：
(1)材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是___________．
A．分类讨论思想 B．转化思想 C．数形结合思想
(2)已知，请根据材料中构造和差对偶式的思路，求的值．
(3)已知，求的值．
【典型例题三 同类二次根式】
【例1】（24-25八年级下·新疆喀什·阶段检测）下列二次根式中，不能与合并的二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【例2】（25-26八年级下·广东揭阳·阶段检测）最简二次根式与是同类二次根式，则（ ）
A．2B．3C．0D．4
【例3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为____．
【例4】（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）已知最简二次根式与可以合并，则的值是________．
1．（24-25八年级下·陕西安康·期末）定义：若两个二次根式m、n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的和谐二次根式．已知最简二次根式与可以合并，请问的算术平方根与是关于4的和谐二次根式吗？并说明理由．
2．（25-26七年级上·山东泰安·期末）定义：形如“”的数称为“族”数（其中m，n为有理数，．），并规定：两个“族”数之间可以进行“，，，”等运算，运算符合二次根式的相关要求．
(1)试判断，，，2中哪些属于“族”的数；
(2)若（其中a，b为有理数，）是“族”数，求A的倒数的值，并判断其是否为“族”的数．
3．（24-25八年级上·四川眉山·阶段检测）阅读材料：像（+）（﹣）＝3，＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；．解答下列问题：
(1)3﹣与______互为有理化因式，将分母有理化得______；
(2)①直接写出式子
的计算结果______．
②比大小______（直接填＞，＜，＝，≥或≤中的一种）
(3)已知有理数a、b满足，求a、b的值．
【典型例题四 二次根式中的参数】【例1】（25-26八年级下·河北唐山·期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【例2】（24-25八年级上·江西抚州·期中）已知，则的值是（ ）．
A．1B．－1C．2019D．－2019
【例3】（25-26八年级下·山西大同·期中）已知是整数，正整数的值可以是______．
【例4】（24-25八年级上·全国·单元测试）当的值为______时，的值最小，这个最小值为______．
1．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知二次根式，回答下列问题：
(1)当为何值时，该二次根式有意义？
(2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值．
2．（24-25八年级下·江西新余·期中）已知有理数、满足等式．
(1)求的平方根；
(2)计算：．
3．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法．
(1)【回顾旧知，类比求解】
解方程：．
解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解．
(2)【学会转化，解决问题】
①运用上面的方法解方程：；
②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
【典型例题五 二次根式中的参数】
【例1】（24-25八年级上·河南周口·期中）化简﹣（）2得（ ）
A．2B．﹣4x+4C．xD．5x﹣2
【例2】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【例3】（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段检测）化简：____________________．
【例4】（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：，则
请你仿照小明的方法解决下列问题：
若则___________，___________．
1．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段检测）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
(1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ______；
(2)计算：．
2．（24-25八年级下·广东江门·期中）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；；
(1)填空： ， ．
(2)进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ．
【拓展提升】
(3)化简：（请写出化简过程）．
3．（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）阅读与思考：数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如：
；
．
解决下列问题：
(1)化简：；
(2)化简并求出：的值．
(3)如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长．
【典型例题六 最简二次根式的判断】
【例1】（25-26八年级下·广东珠海·期中）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【例2】（25-26八年级下·山东泰安·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【例3】（25-26八年级上·上海·期末）写出一个被开方数小于20的最简二次根式：_______________．
【例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列二次根式：①；②；③；④；⑤（其中）．其中是最简二次根式的是________（填序号）．
1．（2026八年级下·全国·专题练习）下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务．
…第一步
…第二步
．…第三步
任务：
(1)原式中的二次根式：，，，，，是最简二次根式的是_____________；
(2)从第_____________步开始出错，错误的原因是_____________________________；
(3)请写出正确的计算过程．
2．（24-25八年级上·山西晋中·期中）下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务：
＝…第一步
＝…第二步
＝…第三步
＝…第四步
＝…第五步
（1）二次根式，，，中，属于最简二次根式的是_____；
（2）以上第一步的化简中由“”化为“”所依据的数学公式是______；
（3）第_____步开始出现错误，写出该式的正确运算过程和结果．
3．（24-25八年级下·河南三门峡·期末）下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务．
………第一步
………第二步
………第三步
任务：
(1)原式中的二次根式、、、、中，是最简二次根式的是______；
(2)第______步开始出错，错误的原因是______；
(3)第一步中，去括号的依据是______；
(4)请写出正确的计算过程．
【典型例题七 化为最简二次根式】
【例1】（2026·山西临汾·二模）将二次根式化简，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【例2】（25-26八年级下·广东汕头·期中）最简二次根式与可以合并，则（ ）
A．48B．12C．6D．3
【例3】（25-26八年级上·江西景德镇·期末）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则__________．
【例4】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）弋江区突破630亿，请写出630的算术平方根__________（结果需化成最简二次根式）．
1．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）已知，，，A，B为最简二次根式，且，求代数式的值．
3．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）阅读教材P13的海伦—秦九韶公式，设一个三角形的三边长分别为a，b，c，则有下列三角形面积公式：①海伦公式：，；②秦九韶公式：（其中）．请根据上述公式，解答下列问题：
(1)若一个三角形的三边长分别为5，6，7，求该三角形的面积；（利用海伦公式求解）
(2)若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积．（利用秦九韶公式求解）
【典型例题八 二次根式的混合运算】
【例1】（25-26八年级下·云南怒江·期中）计算的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
【例2】（25-26八年级下·云南普洱·期中）如图，这是一个程序框图．若输入x的值为12，则输出y的值为（ ）
A．B．C．D．
【例3】（25-26八年级下·福建厦门·期中）计算：
（1）______；（2）______；（3）______；（4）______．
【例4】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）定义一种新运算：，则的运算结果是_____．
1．（25-26八年级下·北京西城·期中）计算：
(1)
(2)
(3)
2．（25-26八年级下·广东珠海·期中）阅读下列材料，然后解答问题：
材料：将进行分母有理化，过程如下：
请利用上述方法解答下列问题：
(1)化简：___________；
(2)计算：___________；
(3)化简下列式子：．
3．（25-26八年级下·河北沧州·阶段检测）下面是某同学二次根式运算的过程：
(1)该同学从第________步开始出现错误；
(2)写出正确的解题过程；
(3)直接写出正确的运算结果与的大小关系．
【典型例题九 分母有理化】
【例1】（24-25八年级下·山西大同·阶段检测）已知，用含的代数式表示为（ ）
A．B．C．D．
【例2】（24-25八年级下·全国·暑假作业）的整数部分是（ ）
A．3B．5C．9D．6
【例3】（24-25八年级下·四川绵阳·期中）观察式子：
①；
②；
③；…
计算：______．
【例4】（24-25八年级上·山东泰安·期中）在学习二次根式的过程中，小明发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系，例如：由，可得与互为倒数，即，根据小明发现的规律，计算______．
1．（25-26八年级下·广西河池·期中）由，可以看出，两个含有一次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行一次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请根据以上材料，完成下列问题：
(1)化简：__________；
(2)化简：．
2．（25-26八年级下·广东东莞·期中）阅读下列材料，然后解答下列问题．在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一）；
（二）
以上这种化简的方法叫分母有理化．
(1)化简_______；______．
(2)化简_______．（）
(3)化简：．
3．（25-26八年级下·江苏淮安·期中）阅读：像，（），（），两个含有二次根式的代数式相乘，如果积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：像与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
(1)化简：
① ；
②
(2)计算： ；
(3)已知，，试比较的大小，并说明理由
【典型例题十 二次根式的应用】
【例1】（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段检测）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（ ）
A．B．C．D．12s
【例2】（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成的正方形的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，则这个小正方形的面积为（ ）
A．B．C．D．5
【例3】（25-26八年级上·全国·周测）若某长方形的长为，宽为，则此长方形的面积为______．
【例4】 （24-25八年级上·福建三明·期中）李老师在正方形中放入面积分别为27和18的正方形和正方形，重叠部分的面积为3，则剩余部分（阴影部分）的面积为_________．
1．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓，其中长方形水池的长为，宽为．
(1)求长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式）
(2)已知李明家种植的草莓售价为，且每平方米产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？
2．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形．
(1)求长方形木板的面积；
(2)木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行．
3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，长方形的长和宽的长度比为，面积为．
(1)求长方形的长和宽；
(2)求此长方形内沿着边并排最多能裁出多少个面积为的圆形纸片？
1．（2025八年级上·湖南怀化·竞赛）计算（ ）
A．B．C．5D．1
2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）若与最简二次根式能合并，则的值为（ ）
A．2B．4C．5D．6
3．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）根据以下程序，当输入时，输出结果为（ ）
A．1B．C．D．2
4．（25-26八年级上·江西宜春·期末）已知：，，则代数式的值是（ ）
A．6B．24C．42D．96
5．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，在长方形中不重叠无缝隙地放入面积分别为12和18的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）

A．6B．C．D．
6．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）代数式的最小值为__________．
7．（24-25八年级上·全国·课后作业）若，且，则的值是_____．
8．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中、、三个实数的积为______．
9．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，将1，，，按下列方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则与表示的两数之积是______．
10．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：写出第n个等式______．
11．（25-26八年级下·全国·单元复习）判断下列二次根式是否是最简二次根式，如果不是，请化成最简二次根式．
① ② ③ ④
12．（25-26八年级下·福建莆田·期中）已知，
若，则；若，则；若，则
若，则；若，则；若，则．
若，则；若，则；若，则
(1)试比较：与大小关系
(2)试比较：与大小关系
13．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式的值．
小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法：
由得，则，即，∴，把作为整体，得：
请回答下列问题：
(1)已知，求代数式的值．
(2)已知，求代数式的值．
(3)已知，求代数式的值．
14．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）问题：已知，求的值．
小明是这样解答的：∵，
∴，
∴．
请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题：
(1)请用以上方法化简： ；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
15．（25-26八年级下·安徽阜阳·阶段检测）如图是学校的一块正方形绿地，其边长为，现要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为，宽为，并将花坛以外的地方全部修建成通道，且通道上要铺上造价为每平方米元的地砖．若要铺完整个通道，则购买地砖大约需要多少元？（参考数据：，结果精确到元）
构造和差对偶式解决复杂代数问题对偶法，是一种通过发现和构造在代数结构上具有某种对称关系的一对或者一组式子，然后对这些式子进行恰当的运算进而获得结论的数学方法．有时，我们可以根据问题中代数式的结构，构造形如和的和差对偶形式．具体探究如下：
探究：例题：已知，求的值．
解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式．
．
应用：……
……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
1
b
3
a
2
6
c