2026年新教材北师大版数学暑假七升八衔接讲义第05讲 立方根（原卷版）

这是一份2026年新教材北师大版数学暑假七升八衔接讲义第05讲 立方根（原卷版），共9页。试卷主要包含了立方根的概念理解，求一个数的立方根，已知一个数的立方根，求这个数，与立方根有关的规律探索，立方根新定义运算，立方根的实际应用，算术平方根和立方根的综合应用等内容，欢迎下载使用。
典型例题一 立方根的概念理解
典型例题二 求一个数的立方根
典型例题三 已知一个数的立方根，求这个数
典型例题四 与立方根有关的规律探索
典型例题五 立方根新定义运算
典型例题六 立方根的实际应用
典型例题七 算术平方根和立方根的综合应用
知识点01 立方根
1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
总结：
【即时训练】
1．（2026·河南·二模）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）化简：______，______，______．
【典型例题一 立方根的概念理解】
【例1】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）若一个数的立方根等于它本身，则的值为（ ）
A．0或1B．0或C．1或D．0或1或
【例2】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下：
甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值．
下列对甲、乙说法的判断正确的是（ ）
A．甲说得对，符合条件的x的值只有1B．乙说得对，还有另一个值2
C．乙说得对，还有另一个值D．两人说得都不对，应有个不同值
【例3】（25-26七年级下·全国·课后作业）若有意义，则x的取值范围是_________．
【例4】（25-26七年级下·福建莆田·期中）填空题．
（1）如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是 _________ ．
（2） ___________________ ；_____ ．
（3）的平方根是 _______ ；的立方根是 _____ ．
1．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）小颖和小聪对话如下：
请根据小聪的解题思路，帮小颖解答这道题．
2．（24-25七年级下·广东惠州·期中）阅读下列材料，并解决问题
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？
∵，，
∴是两位数，
∵的个位数是9
∴的个位数是9，
如果划去后面的三位得到数，而，，由此确定的十位数是3，
所以．
请你应用以上方法计算的立方根（要求写出解答过程）．
3．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）口算求立方根：我国数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口说出答案．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗?请按照下面的方法试一试：
(1)求．
①由，可以确定计算的结果是_____位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是_______；
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是_______，由此求得_________．
(2)请你根据（1）中求立方根的方法，请确定它们的立方根（直接写出结果）：
①19683 ②110592 ③ ④0.531441
【典型例题二 求一个数的立方根】
【例1】（25-26七年级下·四川广元·期中）下列各数中为无理数的是（ ）
A．B．0.8C．D．
【例2】（25-26七年级下·云南昭通·期中）实数，0，，，，（相邻两个2之间依次多一个0），其中无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【例3】（2026·安徽阜阳·二模）计算___________．
【例4】（25-26七年级下·广东江门·期中）_________，的算术平方根为_________，的平方根为_________．
1．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）求下列各式中的的值：
(1)
(2)
2．（25-26七年级下·重庆秀山·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？
下面是小超的探究过程，请补充完整：
(1)求；
①由，，可以确定是 位数；
②由的个位上的数字是，可以确定的个位上的数字是 ；
③如果划去后面的三位得到数，而，，可以确定的十位上的数字是 ；由此求得 ．
(2)已知438976也是一个整数的立方，用类似的方法可以求的值．
3．（25-26七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；
②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是；
③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1) ；
(2)若，则 ；
(3)已知，且与互为相反数，求，的值．
【典型例题三 已知一个数的立方根，求这个数】
【例1】（25-26七年级下·云南曲靖·期中）若，则x的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【例2】（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知是整数，则满足条件的正整数最小是（ ）
A．2B．4C．8D．16
【例3】（25-26七年级下·河南焦作·期中）已知的算术平方根是5，的立方根是3，则的值为_________．
【例4】（25-26八年级上·全国·课前预习）填空：
（1）因为，所以8的立方根是________；因为，所以的立方根是________；
（2）的立方根是________，即________；
（3）的立方根是________；
（4）的立方根是________；
（5）________的立方根是0；
（6）9的立方根是________．
1．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是，与互为相反数．
(1)求出，，的值；
(2)求的平方根．
2．（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）按要求完成以下问答
(1)已知的算术平方根是7，的立方根是2．求的平方根；
(2)已知和是正数a的平方根，求正数a的值．
3．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分．
例如：，即，
的整数部分为，小数部分为．
请解答：
(1)的整数部分为是 ，小数部分为 ，的值为 ．
(2)已知的立方根为，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根．
【典型例题四 与立方根有关的规律探索】【例1】（25-26七年级下·福建南平·期中）若，，则（ ）
A．12.89B．27.76C．128.9D．277.6
【例2】（25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（ ）
A．0.235B．0.0235C．0.00235D．2.35
【例3】（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）已知，那么________．
【例4】（24-25七年级下·天津北辰·期中）观察下表规律．
利用规律解答，若，，则________．
1．（24-25八年级下·全国·课后作业）根据立方根的意义填空：
_____，_____，______，_____，_____．
观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？
2．（24-25七年级下·河南许昌·期中）观察下列计算过程，猜想立方根．
，，，，，，，，；
(1)人教版七年级数学教材第59页，我国著名数学家华罗庚计算立方根的方法给小明了一些启示，小明是这样试求出19683的立方根的：先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，由，猜想19683的立方根的十位数是 ，验证得19683的立方根是 ．
(2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空：
①= ．
②= ．
3．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）探究某些数的算术平方根、立方根：
(1)探究算术平方根：下面是探究1849的算术平方根的过程，请将运算过程补充完整：
①由，可以确定是______位数；
②由1849的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是______；
③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，那么1849的算术平方根可能是____________；因为，而，所以1849的算术平方根=____________．
(2)请根据上述研究思路求103823的立方根，并写出完整的推理过程．
【典型例题五 立方根新定义运算】
【例1】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）现对实数定义一种运算：．则等于（ ）
A．B．C．14D．6
【例2】（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段检测）类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以叫的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（ ）
A．负数a没有偶数次方根B．任何实数a都有奇数次方根
C．D．
【例3】（24-25七年级下·河南商丘·期中）定义运算，如，那么____________．
【例4】（24-25八年级上·河南周口·阶段检测）【新考向】阅读下列材料：要求59319的立方根，我们可以这样想：①，即59319的立方根是一个两位数；②因为59319的个位数字是9，而，所以能确定的个位数字是9；③如果划除59319后面的三位数，得到59，而，可得，所以的十位数字是3，所以．
请根据上面的材料回答下列问题：______．
1．（24-25七年级下·广西南宁·阶段检测）【阅读与应用】
【问题提出】
对于任意实数，定义一种新运算，例如：．
【初步感知】
（1）求的值；
【拓展运用】
（2）若实数满足，求的值．
2．（25-26八年级上·上海闵行·期中）认真阅读下面的材料，再解答问题．
根据平方根和立方根的定义，我们可以类比得到四次方根和五次方根的定义：一般地．如果一个数的四次方等于，即，那么这个数叫作的四次方根．依照上述材料，我们也可以得到五次方根的定义．
(1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______；
(2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_______；
(3)求的值：．
3．（25-26七年级下·广东广州·期中）【定义】用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．
【运用】
(1)直接写出数对的开方对称数对______；
(2)若数对的一个开方对称数对是，求a，b的值；
(3)若数对的一个开方对称数对是，求的值．
【典型例题六 立方根的实际应用】
【例1】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃容器的水中，水位升高了，已知玻璃容器的底面积是，那么正方体铁块的棱长是（ ）
A．B．C．D．
【例2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为（ ）
A．3B．C．D．
【例3】（24-25七年级下·浙江金华·期中）有一个正方体集装箱，体积为，现准备将其扩容以盛放更多的货物，若要使其体积达到，则它的棱长需要增加________．
【例4】（24-25七年级上·浙江温州·期中）现有两个大小不等的正方体积木玩具，大正方体积木体积为，小正方体积木的体积为，将二者如图叠放于桌面上，则积木顶端点到桌面的距离是______．

1．（25-26七年级下·湖北恩施·期中）把48个棱长为的正方体铸成一个长、宽、高的比为的长方体，求这个长方体的表面积．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）小林想测量一个铁球的半径，先将铁球放在一个圆柱形小水桶中，然后装满水，拿出铁球后，小水桶中水面下降了，量得小水桶的底面直径为，求铁球的半径．（球的体积公式为，r为球的半径）
3．（24-25七年级下·湖北随州·期中）“动手启智慧，课外展风采”．在某次学生课外素质成果展活动中，王明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作．
(1)求正方形卡纸的边长．
(2)按图①的方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长与宽的比为，裁出的长方形的面积能是吗？请通过计算说明．
(3)按图②的方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积．
【典型例题七 算术平方根和立方根的综合应用】
【例1】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【例2】（24-25七年级下·安徽淮北·期末）若都是实数，且，，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【例3】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）若一个正数的两个不同的平方根分别是3x﹣1和4﹣4x，则这个数的立方根是___．
【例4】（24-25七年级下·全国·单元测试）立方根等于其本身的数是_________；若一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数是________．
1．（24-25七年级下·重庆长寿·期末）若实数的平方根是和，的立方根是，求的算术平方根．
2．（24-25七年级下·四川泸州·期末）已知一个正数的平方根分别是和，又的立方根为．
(1)求a，b的值；
(2)求的算术平方根．
3．（24-25七年级下·山东德州·期中）本学期《实数》中，我们学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：
今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根类比探索：
（1）探索定义：填写下表：
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：
（2）探究性质
①1的四次方根是 ；
②16的四次方根是 ；
③的四次方根是 ；
④12的四次方根是 ；
⑤0的四次方根是 ；
⑥﹣625 （填“有”或“没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ．
（3）拓展应用：在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个： ．
1．（24-25七年级下·广东东莞·期中）下列说法不正确的是（ ）
A．的平方根与算术平方根都是B．立方根等于本身的是
C．没有平方根D．的平方根是
2．（24-25七年级下·福建福州·期中）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25七年级下·云南曲靖·期末）已知，，则的值约是（ ）
A．B．C．D．
4．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）小吴设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是8，那么输出的值是，当输入的值是27时，输出的值是（ ）
A．3B．C．D．
5．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（ ）
A．1B．3C．9D．27
6．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列等式：①；②；③；④，不成立的是________．（请填写序号）
7．（24-25七年级下·全国·课后作业）若a、b互为相反数，c、d互为负倒数，则=_______.
8．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）根据下面的运算程序
若输入一个正数时，输出的值是12，则输入的的值是________．
9．（24-25七年级下·福建福州·期中）我国著名的数学家华罗庚曾巧解开立方的智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．
解答：∵＜59319＜，∴是两位整数；
∵整数59319的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有＝729的末位数字是9，∴的末位数字是9；
又∵划去59319的后面三位319得到59，而3＜＜4，
∴的十位数字是3；
∴＝39；
【应用】＋59049＝0，其中x是整数则x的值为______．
10．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下：
①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是__________．
11．（25-26七年级下·北京·期中）解方程
(1)；
(2)
12．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）已知的算术平方根是3，的立方根是，的平方根是它本身．
(1)求，，的值；
(2)求的平方根．
13．（24-25八年级上·广东深圳·阶段检测）已知4是的算术平方根，的立方根为．
(1)求和的值；
(2)求的平方根．
14．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表：
（2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______；
（3）根据你发现的规律解答：
①已知，，，则介于哪两个整数之间？
②已知，则______；
③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米）
15．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；
②其次观察了立方数：，，，，，，，，9；猜想的个位数字是7；
③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1)______；
(2)若，则______；
(3)已知，且与互为相反数，求x，y的值．
类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
性质
一个正数有两个平方根，且互为相反数；
零的平方根为零；
负数没有平方根；
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
重要结论
0.004096
4.096
4096
4096000
4096000000
0.16
1.6
16
160
1600
a
8
8000
8000000
2
20
200
平方根
立方根
定义
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．
一般地，如果一个数x的立方等于a即x＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．
运算
求一个数a的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算．
求一个数a的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算．
性质
一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根．
正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
表示方法
正数a的平方根可以表示为“±”．
一个数a的立方根可以表示为“”．
x4
1
16
81
x
a
0.000008
0.008
8
8000