2026年新教材北师大版数学暑假七升八衔接讲义第08讲 平面直角坐标系（原卷版）

这是一份2026年新教材北师大版数学暑假七升八衔接讲义第08讲 平面直角坐标系（原卷版），共10页。试卷主要包含了判断点所在的象限，已知点所在的象限求参数，写出直角坐标系中点的坐标，求点到坐标轴的距离，用有序数对表示位置或路线，点坐标规律探索，已知两点坐标求两点距离，平面直角坐标系中最值问题等内容，欢迎下载使用。
典型例题一 判断点所在的象限
典型例题二 已知点所在的象限求参数
典型例题三 写出直角坐标系中点的坐标
典型例题四 求点到坐标轴的距离
典型例题五 用有序数对表示位置或路线
典型例题六 点坐标规律探索
典型例题七 已知两点坐标求两点距离
典型例题八 平面直角坐标系中最值问题
典型例题九 平面直角坐标系中动点问题
知识点01 平面直角坐标系
1. 平面直角坐标系
平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向；铅直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O是原点，如图所示：
平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的，一般情况下，同一直角坐标系中，x轴和y轴的单位长度相同的，一些特殊情况下，受坐标轴所表示数量意义的影响，x轴和y轴的单位长度可以有所不同，但同一坐标轴上的单位长度必须相同.
2.点的坐标
（1）点的坐标：在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反过来，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示.这样的有序实数对叫做点的坐标.平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，横坐标写在纵坐标的前面.有序数对（a，b）叫做点P的坐标，记作:P(a，b)，如图所示：
（2）确定点的坐标的方法：
①确定横坐标：从该点向x轴作垂线，垂足在x轴上的数字为该点的横坐标；
②确定纵坐标：从该点向y轴作垂线，垂足在y轴上的数字为该点的横坐标.
③用有序实数对将它表示出来，横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”隔开，并用小括号将它们括起来.
（3）有序实数对（2，1）和（1，2）数字一样，顺序不一样，表示点的位置也是不一样的.
（4）对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的.
（5）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.
【即时训练】
1．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）下图平面直角坐标系中点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在正方形网格中，建立平面直角坐标系后，点和点的坐标分别为，，则点的坐标为________．
知识点02 规律型：点的坐标
1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律
3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
【即时训练】
1．（25-26七年级下·贵州黔南·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点，，，，那么点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26八年级下·上海虹口·期中）在平面直角坐标系中，对于平面任一点，若规定以下三种变换：
①，如：；
②，如：；
③，如：．
按照以下变换有：，那么__________．
【典型例题一 判断点所在的象限】
【例1】（25-26七年级下·湖北恩施·期中）已知，，则点在第（ ）象限
A．1B．2C．3D．4
【例2】（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图，是贵阳市花溪区部分地图示意图，以贵州大学为原点，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，则高坡梯田在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【例3】（25-26七年级下·北京朝阳·期中）已知为实数，则点一定在第______象限．
【例4】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，点位于第__________象限．
1．（24-25七年级下·陕西延安·期末）已知，点．
(1)若点在轴上，点的坐标为______；
(2)若点的纵坐标比横坐标大，求点P在第几象限？
2．（25-26七年级下·全国·期中）已知点的坐标为，解答下列各题．
(1)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标；
(2)若点在第二或第四象限的角平分线上，求的值．
3．（24-25七年级下·河南商丘·期中）已知当m，n都是实数，且满足时，称为“柘城点”
(1)请任意写出一个“柘城点”：______；
(2)判断点是否为“柘城点”，并说明理由；
(3)若点是“柘城点”，请通过计算判断点C是第几象限？
【典型例题二 已知点所在的象限求参数】
【例1】（2026·吉林长春·模拟预测）已知点在x轴上，则点Q的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26七年级下·新疆阿克苏·期中）已知平面直角坐标系内一点，若点在轴上，则的值为（ ）
A．2B．C．10D．
【例3】（25-26七年级下·福建南平·期中）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为_____．
【例4】（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，点在第四象限，它到轴和轴的距离分别是2和5，则点的坐标为_________．
1．（25-26八年级下·上海·期中）已知点，分别根据下列条件，求出点的坐标．
(1)点在第二、四象限的角平分线上；
(2)点在过点，且与轴平行的直线上．
2．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点．
(1)若点在轴上，求的值；
(2)若点在第一、三象限的角平分线上，求的值．
3．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）我们已经学过，若数轴上的任意两点A，B分别表示数a，b，则A，B两点的距离为．例如，数轴上表示，两点的距离为．
定义：对于平面直角坐标系中的任意两点、，我们把叫做P、Q两点间的直角距离，记作例如，、两点的直角距离．
请根据以上材料，解答下列问题：
已知，在平面直角坐标系中，点坐标为．
(1)若点坐标为，则________；
(2)若点坐标为且，求点的坐标；
(3)若点坐标为，且点在第一象限，求的最小值．
【典型例题三 写出直角坐标系中点的坐标】
【例1】（25-26七年级下·广东江门·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【例2】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图，下列说法正确的是（ ）
A．点在第二象限B．点的横坐标为
C．点到轴的距离为1D．点的坐标
【例3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知点的坐标，，且轴，则点的坐标是____．
【例4】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在正方形网格中，建立平面直角坐标系后，点和点的坐标分别为，，则点的坐标为________．
1．（25-26七年级下·河北沧州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，解答下列问题．
(1)若点P在x轴上，求点P的坐标；
(2)若点P在过点且与x轴平行的直线上，求点P的坐标；
(3)若点P到x轴的距离是到y轴距离的2倍，求点P的坐标．
2．（25-26七年级下·吉林松原·期中）问题背景：
在平面直角坐标系中，已知点，点是线段的中点，则点的坐标为．如：已知点，则线段的中点的坐标：，，故点的坐标为．解决问题：
(1)已知点，，则线段的中点的坐标是_____．
(2)若已知点，且线段的中点坐标为，求点的坐标．
(3)已知三点，，，若第四个点与、、中的任意一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，直接写出点的坐标．
3．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）中华传统文化是中华民族五千多年历史积淀的智慧结晶．某景区以中国经典文化元素为主题，打造了活字工坊、匠心体验、典籍之光、节气食肆等主题区域．如图是某些主题区域的分布示意图，小珂和妈妈在游玩的过程中，分别对活字工坊和匠心体验的位置做出如下描述：小珂；“活字工坊的坐标是”．妈妈：“匠心体验的坐标为”．
(1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系；
(2)请写出典籍之光和节气食肆的坐标；
(3)已知该景区的汉服体验中心的坐标为，请在图中标出汉服体验中心的位置．
【典型例题四 求点到坐标轴的距离】【例1】（25-26七年级下·福建莆田·期中）经过两点，作直线，则直线（ ）
A．平行于轴B．经过原点C．平行于轴D．无法确定
【例2】（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在平面直角坐标系中，若点P在第二象限，且P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（ ）
A．B． C．D．
【例3】（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期中）点到x轴的距离为______．
【例4】（25-26七年级下·山西吕梁·期中）在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点B的坐标为，且轴，则线段的长度为_____．
1．（25-26七年级下·河南信阳·期中）在平面直角坐标系中，规定某一点到轴、轴距离的较小值称为该点的“短距”．若某点到轴，轴距离相等，则称该点为“完美点”．
(1)点的“短距”是________；
(2)若点是“完美点”，求点的坐标；
(3)若坐标系第三象限内存在一点，且它的“短距”是5，现有一点，点的坐标为，试说明点是“完美点”．
2．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）【问题情境】在平面直角坐标系中，有不重合的两点和点，小明在学习时发现，若，则轴，且线段的长度为，若，则轴，且线段的长度为．
(1)【类比应用】若点，，则轴，的长度为______；
(2)【联系拓展】已知点，，
①若线段与y轴交于点C，点C把线段分成的两部分时，求m的值；
②若点，，求的长．
3．（25-26七年级下·江西上饶·期中）初唐四杰之一的王勃在千古名篇《滕王阁序》中对江西这片土地给予了高度评价：“物华天宝，龙光射牛斗之墟；人杰地灵，徐孺下陈蕃之榻”小贤将“人”“杰”“地”“灵”写在如图1所示的网格中．若建立平面直角坐标系，使“人”“杰”的坐标分别为，．
(1)①“地”的坐标为_______；
②“灵”_______第一、第三象限的角平分线上．（填“在”或“不在”）
(2)如图2，将图1网格中的“人”“杰”“地”“灵”所在的格点分别记作A，B，C，D．求四边形的面积．
【典型例题五 用有序数对表示位置或路线】
【例1】（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图，雷达探测器探测到三艘船，，，按照目标表示方法的规定，船，的位置分别表示为，则船的位置应表示为（ ）
A．B．C．D．
【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，小亮从学校到家所走最短路线是( )

A．
B．
C．
D．
【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作，则向西走5米，再向北走3米记作_________；有序数对表示___________．
【例4】（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，字母对应的位置可以用表示，有一个英文单词的字母顺序对应图中的位置分别为，，，请你把这个英文单词写出来：________．
1．（2025·江苏盐城·二模）标有1－25号的25个座位如图摆放．甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选2个座位，乙选3个座位，丙选4个座位，丁选5个座位．游戏规则如下：
①每人只能选择同一横行或同一竖列的座位；
②每人使自己所选的座位号数字之和最小；
③座位不能重复选择．
(1)如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么3，4，5号座位会被 选择；
(2)如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人所选的座位号数字之和为 ．
2．（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，一个点在的正方形网格（每个小方格的边长均为1）上沿着网格线运动，规定向上、向右走均为正，向下、向左走均为负．如：从点到点记为，从点到点记为，其中第一个数表示左右方向及运动的距离，第二个数表示上下方向及运动的距离．
(1)图中___________，___________），___________，___________）；
(2)若这个点从点到点的行走路线依次为，请在图中标出点的位置；
(3)若图中另有两个格点，，且，，则从点到点应记为什么？
3．（24-25七年级下·河北邢台·阶段检测）如图，图中显示了10名同学平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间（单位：）
（1）用有序实数对表示图中各点；
（2）平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间的总共的同学有多少名？
（3）如果设平均每周用于阅读课外书的时间超过用于看电视的时间的同学为名，设平均每周用于阅读课外书的时间少于用于看电视的时间的同学为名，求的值．
【典型例题六 点坐标规律探索】
【例1】（25-26七年级下·广东汕尾·期中）在平面直角坐标系中，若点，轴，则点的坐标可能为（ ）
A．B．C．D．
【例2】（24-25七年级下·广东湛江·期末）如图，在直角坐标系中，，，第一次将变换成，，；第二次将变换成，，，第三次将变换成，…，则的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
【例3】（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）平面直角坐标系中，有点与点，且轴，则点的坐标为___________．
【例4】（24-25八年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点第1次向右跳动1个单位至点，紧接着第2次向上跳动1个单位至点，第3次向左跳动2个单位至点，第4次向上跳动1个单位至点，第5次又向右跳动3个单位至点，第6次向上跳动1个单位至点，…照此规律，的坐标是______．
1．（25-26七年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，对于，我们把点叫做“系联动点”，其中为常数，且．例如：点的“系联动点”的坐标为，即．
(1)已知点的“系联动点”是点，求点的坐标；
(2)已知点的“系联动点”在轴上，求点的坐标．
2．（25-26七年级下·福建南平·期中）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．观察下图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数．
(1)画出由里向外的第4个正方形，在第4个正方形上有多少个整点？
(2)请你猜测由里向外第20个正方形（实线）四条边上的整点个数共有多少？
(3)探究点在第几个正方形的边上？在第几个正方形的边上（n为正整数）？
3．（25-26七年级下·福建福州·期中）马年奔腾，万象更新．在中国象棋中，在棋盘上，“马”走“日”字，即“马”只能沿棋盘上的“纵日”或“横日”的对角线行走．为了定量研究“马”的行走规律，融融同学在棋盘上建立如图所示的平面直角坐标系．
融融将“马”按图1的方式从走到，并用坐标描述为：→→→→→．
经过不断的尝试，他发现无论走何种路线，“马”从走到所需步数都是奇数，其中为整数且．并给出如下证明：
证明：假设“马”沿“纵日”方向和“横日”方向分别走，步，则一共走步，
∵纵坐标经过次“”或“”的变化，次“”或“”的变化，
∴纵坐标变化总量为
∵从走到点纵坐标变化总量为是奇数，
为偶数．
∴是奇数，因此是奇数，
，
∴是奇数，即一共走了奇数步．
(1)在图中画出一种从走到步数更少的走法并用坐标描述；
(2)请根据前面的推理，将处省略的步骤补充完整．
【典型例题七 已知两点坐标求两点距离】
【例1】（25-26八年级下·陕西榆林·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（ ）
A．5B．C．6D．
【例2】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在等腰梯形中，点坐标为，点坐标为，则点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【例3】（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知点是平面直角坐标系中一点，则点到原点的距离为___________
【例4】（25-26八年级下·江西赣州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为和，则、两点间的距离是______．
1．（24-25八年级下·广东汕头·期中）阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点，，我们把叫做，两点间的距离，记作．如，，则．
请根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)若，，直接写出的值；
(2)当，的距离时，求出的值；
(3)若在平面内有一点，使式子有最小值，请求出这个最小值．
2（24-25八年级下·北京海淀·阶段检测）对于一些二次根式，我们可以用数形结合的方法进行研究．如，可以看作平面直角坐标系中，动点与定点或之间的距离（如图）．请参考上面的方法解决下列问题：
(1)若将看作平面直角坐标系xOy中，动点与定点C之间的距离，则点C的坐标可以是______（写出一个即可）；
(2)若，直接写出d的最大值．
3．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC如图所示．
(1)请写出点A、B、C的坐标；
(2)请作出关于x轴对称的；
(3)请求出线段的长度．
【典型例题八 平面直角坐标系中最值问题】
【例1】（24-25七年级下·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点B在x轴上，对于线段有如下四个结论：
①线段的最大值是2；
②线段的最小值是1；
③线段一定不经过点；
④线段可能经过点．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．②③C．①④D．②④
【例2】（24-25七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．当时，两点为“等距点”，则k的值为（ ）
A．1或4B．1或2C．2或3D．3或4
【例3】（24-25七年级下·北京通州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，．以点为圆心，为半径画圆．点是圆上的动点，则的面积的最小值和最大值依次为_________，_________．
【例4】（24-25八年级下·河北保定·期中）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．已知点的坐标为．
①在点中，为点的“等距点”的是______；
②若点的坐标且两点为“等距点”，则点的坐标______；
1．（24-25八年级上·四川达州·期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S＝ah．
例如：三点的坐标分别为A（1，2），B（－3，1），C（2，－2），则“水平底”a＝5，“铅垂高”h＝4，“矩面积”S＝ah＝20．
(1)已知A（－1，4），B（3，1），C（－3，－3），则“水平底”a＝ ，“铅垂高”h＝ ，“矩面积”S＝ ；
(2)若A（1，2），B（－3，1），P（0，t）的“矩面积”为12，求点P的坐标；
(3)若A（1，2），B（－3，1），P（0，－t），请直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值．
2．（24-25七年级下·福建龙岩·期中）定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：如图，点的“最佳间距”是1．
（1）理解：点的“最佳间距”是__________；
（2）探究：已知点．
①若点O，A，B的“最佳间距”是1，则y的值为__________；
②点O，A，B的“最佳间距”的最大值为________；
（3）迁移：当点O（0，0），E（m，0），P（m，-2m+1）的“最佳间距”取到最大值时，求此时点P的坐标．（提示：把（2）②的研究结论迁移过来）
3．（24-25七年级下·北京西城·阶段检测）对平面直角坐标系中的三角形给出如下定义：三角形的“横长”和三角形的“纵长”，
假设点，是三角形边上的任意两点．
如果的最大值为m，那么三角形的“横长”；如果的最大值为n，那么三角形的“纵长”．如图，该三角形的“横长”为；“纵长”为．

当时，我们管这样的三角形叫做“方三角形”．
如图1所示．已知点，．

(1)已知点，那么的“横长”______，“纵长”______，______“方三角形”，（填写“是”或“不是”）
(2)①已知点．如果为“方三角形”，则m的值是______；
②已知点．如果为“方三角形”，则a的取值范围是______；
(3)已知点F在y轴及y轴右侧．且为“方三角形”．请你在图中画出点F所可能存在的位置．
【典型例题九 平面直角坐标系中动点问题】
【例1】（2025·山东威海·模拟预测）定义新运算：
①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着轴正方向（）或负方向（）．平移个单位长度，再沿着轴正方向（）或负方向（）平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作．
②加法运算法则：，其中，，，为实数．
若，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【例2】（24-25八年级下·河北衡水·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，有，，三点，P为直线上的动点，当的长度最小时，点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【例3】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知点A的坐标为，点B是x轴上的一个动点，当A、B两点间的距离最短时，点B的坐标为______．
【例4】 （24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，一动点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，则第2024秒动点P所在位置的坐标是______．
1．（24-25七年级下·重庆江北·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，，点A的坐标为．动点的运动速度为每秒个单位长度，动点的运动速度为每秒个单位长度，且．设运动时间为，动点、相遇则停止运动．

(1) ， ；
(2)动点，同时从点A出发，点沿长方形的边界逆时针方向运动，点沿长方形的边界顺时针方向运动，当为何值时、两点相遇？求出相遇时、所在位置的坐标；
(3)动点从点A出发，同时动点从点出发：
①若点、均沿长方形的边界顺时针方向运动，直接写出相遇时、所在位置的坐标；
②若点、均沿长方形的边界逆时针方向运动，直接写出相遇时、所在位置的坐标．
2．（24-25七年级下·江苏南通·期中）阅读理解：
在平面直角坐标系中，对于点，点，规定与中的较大的值记为，特别地，当时，规定．
例如，点，点，因为，所以．
解答下列问题（图1、图2均为备用图形）：
(1)已知点，点B为x轴上的一个动点．
①若，则点B的坐标为_______；
②的最小值为_______；
③若动点满足，所有动点C组成的图形的周长为32，则l的值为_______．
(2)对于点，点，若有动点使得，结合图形，直接写出m的取值范围．
3．（24-25七年级下·北京·期中）平面直角坐标系中任意两点，，小聪定义了，的“分解距离”，如下：
若，则为点，的“分解距离”，即；
若，则为点，的“分解距离”，即．
例如，点，，因为，所以点，的“分解距离”为，记为．
根据上面的材料，解决下列问题：
(1)如图1，已知点，为平面内一个动点．
①则______；
②若点在第一象限，且，求点的坐标；
③动点满足，所有动点组成的图形面积为16，请直接写出的值；
(2)对于点，点，若有动点，使得，请直接写出的取值范围．
1．（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段检测）若电影院的排号记为，则排号可记为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25八年级下·宁夏固原·阶段检测）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ）
A．1B．C．D．
3．（25-26七年级下·湖北荆门·期中）已知，则在如图所示的平面直角坐标系中，墨水盖住的点的坐标可能是（ ）
A．B．C．D．
4．（25-26八年级下·上海崇明·期中）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，淇淇将第枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置可能是（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25七年级下·新疆吐鲁番·期中）如图，平面直角坐标中，直线分别与两坐标轴的正半轴相交，为直线AB上的一个动点，在点P从点A平移到点B的过程中，坐标x，y的值变化情况是（ ）
A．x增大，y也增大B．x增大，y却减小
C．x减小，y却增大D．x减小，y也减小
6．（25-26七年级下·重庆·期中）若点到轴，轴的距离相等，则的值为______．
7．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为___________．
8．（25-26七年级下·北京·期中）如图，正方形在平面直角坐标系中，已知点，若以为原点重新建立平面直角坐标系．则点在新坐标系中对应的坐标为_______（用含的代数式表示）．
9．（25-26八年级下·上海闵行·阶段检测）恺撒密码是世界上最古老的加密技术之一，采用位移加密方法：明文中的所有字母都按照一个固定数值在字母表上向后（或向前）进行移位后形成密文．例如，向前移动3位（密钥）的恺撒密码，如上图所示：解密：已知密钥，密文所对应的明文是__________．
10．（25-26七年级下·江西南昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点出发，沿着路线移动，每次移动1个单位长度，依次得到根据这个规律，则的坐标为_______________．
11．（25-26七年级下·云南怒江·期中）已知点，分别根据下列条件求点的坐标．
(1)点在轴上；
(2)点的坐标为，直线轴．
12．（24-25七年级上·北京·期中）将正整数按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对表示第m行、从左到右第n个数，如表示实数5．
(1)图中位置上的数是 ；
(2)数据39对应的有序实数对可表示为 ；
(3)写出你发现的两条关于第行的规律，其中n为自然数：
① ；
② ．
13．（25-26七年级下·广东汕头·期中）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面李老师在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答．
(1)观察发现
在下面给出的平面直角坐标系中，描出下列各点：，并连接，请写出线段的中点坐标：___________，线段的中点坐标：___________．
(2)探究迁移
如果有，两点，那么线段的中点坐标是___________．
(3)拓展应用
已知三点，点与点中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点的坐标．
14．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点出发，按图中顺序运动，即，…，按这样的运动规律，完成下列任务：

(1)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______；
(2)在动点A的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出，，，之间满足的数量关系为______，，，，之间满足的数量关系为______．
∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环，
15．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）在边长为的小正方形组成的网格中，把一个点先沿水平方向平移格（当为正数时，表示向右平移；当为负数时，表示向左平移），再沿竖直方向平移格（当为正数时，表示向上平移；当为负数时，表示向下平移），得到一个新的点，我们把这个过程记为．
例如，从到记为：；从到记为：．
回答下列问题：
(1)如图，若点的运动路线为：，请计算点运动过的总路程．
(2)若点运动的路线依次为：，，，．请你依次在图上标出点、、、的位置．
(3)在图中，若点经过得到点，点再经过后得到，则与满足的数量关系是 ；与满足的数量关系是 ．