2026年新教材北师大版数学暑假七升八衔接讲义第03讲 实数的认识与运算（原卷版）

这是一份2026年新教材北师大版数学暑假七升八衔接讲义第03讲 实数的认识与运算（原卷版），共9页。试卷主要包含了无理数，实数的性质，实数与数轴，实数的大小比较，无理数的大小估算，勾股定理与无理数，实数的混合运算，新定义下的实数运算等内容，欢迎下载使用。
典型例题一 无理数
典型例题二 实数的性质
典型例题三 实数与数轴
典型例题四 实数的大小比较
典型例题五 无理数的大小估算
典型例题六 勾股定理与无理数
典型例题七 实数的混合运算
典型例题八 新定义下的实数运算
典型例题九 与实数运算相关的规律题
典型例题十 实数运算的实际应用
知识点01 实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
【即时训练】
1．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．无限小数都是无理数B．无理数都是无限小数
C．实数可以分为正实数和负实数D．两个无理数的和一定是无理数
2．（25-26七年级下·安徽亳州·阶段检测）实数的相反数是______．
知识点02 实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
【即时训练】
1．（2026·山东菏泽·二模）下列四个数中，绝对值最大的数是（ ）
A．B．0C．D．
2．（2026·安徽六安·二模）在电子制作的过程中，我们发现电阻的阻值为，电阻的阻值为，比较大小：_____2.3（填“＞”或“＜”）．
知识点03实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）计算的结果为（ ）
A．11B．C．1D．
2．（2026·浙江丽水·模拟预测）______．
【典型例题一 无理数】
【例1】（2026·山东德州·二模）下列四个选项中，无理数的是（ ）
A．B．C．D．
【例2】（2026·河北·二模）已知数据：，，，，．其中有理数出现的频率为（ ）
A．0.2B．0.6C．0.7D．0.8
【例3】（25-26七年级下·陕西延安·期中）实数中是无理数的是______．
【例4】（25-26七年级下·河南安阳·期中）在实数，，，（相邻两个之间依次多个），，中，无理数有_____________个．
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列说法正确与否．如果不正确，请举反例说明．
(1)无限小数都是无理数．
(2)无限小数都是实数．
(3)带根号的数都是无理数．
(4)实数都是有理数．
(5)实数都是无理数．
2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：，，，0，，，其中，甲说“”，乙说“”，丙说“”．
(1)甲、乙、丙三个人中，说错的是______．
(2)请将老师所给的数字按要求填入相应的区域内．
3．（24-25七年级下·福建厦门·阶段检测）【阅读理解】
定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质（没有相同的因数）的整数的商，所以是无理数．可以这样证明：
解：设，a与b是互质的两个整数，且，
则，即_________①．
∵是整数且不为，
∴是的倍数．
设（是整数，且），
则．
∴_________②．
∴也是的倍数，与，是互质的整数矛盾．
∴是无理数．
【解决问题】
(1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整；
①__________________；②__________________
(2)证明：是无理数．
【典型例题二 实数的性质】
【例1】（2026·重庆巴南·模拟预测）实数7的绝对值是（ ）
A．7B．C．D．
【例2】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．两个无理数的积仍为无理数
B．两个整数相除，如果被除数除以除数永远除不尽，那么结果一定是个无理数
C．无理数可以用分数来表示，例如
D．任意一个无理数的绝对值都是正数
【例3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）实数的相反数是__________．
【例4】（24-25七年级下·山西大同·阶段检测）若互为相反数，互为倒数，的绝对值为，则______．
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，请举例说明．
(1)已知两个实数a，b，则．
(2)两个无理数的和一定是无理数．
2．（24-25七年级下·江西南昌·阶段检测）数轴上两点A、B在数轴上分别表示数a、b．那么A、B两点之间的距离可表示为．
(1)当点A表示的数为4，点B表示的数为9时，AB＝ ；
当点A表示的数为﹣2，点B表示的数为时，AB＝ ；
当点A表示的数为x，点B表示的数为2，且AB＝3时，点A表示的数x为 ．
(2)当取最小值时，求x的取值范围，并求出的最小值．
3．（24-25八年级上·山东东营·期中）阅读与理解
上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：，
因为，
所以当时，的值最小，最小值是0，
所以，
所以当时，的值最小，最小值是1，
所以的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
(1)知识再现：当___________时，代数式的最小值是___________；
(2)知识应用：若，当___________时，有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________；
(3)知识拓展：若，求的最小值．
【典型例题三 实数与数轴】
【例1】（2026·宁夏·一模）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A．B．C．D．3
【例2】（25-26八年级下·河南许昌·期中）根据图中尺规作图的痕迹判断数轴上点C所表示的实数为（ ）
A．B．C．D．
【例3】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在数轴上点A表示的实数是_____________；
【例4】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图所示，已知在长方形中，，，，则数轴上点所表示的数是__________．
1．（25-26八年级下·北京西城·期中）利用勾股定理在数轴上画出的点P
2．（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点．
(1)写出数轴上点所表示的数为______；
(2)比较大小：点所表示的数______（填写“”或“”）
(3)在数轴上找出对应的点．（保留作图迹）
3．（25-26八年级上·山西运城·阶段检测）如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）．
(1)阅读理解：图1中大正方形的边长为_______，图2中点表示的数为______；
(2)迁移应用：
请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．
①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图；
②利用①中的结论，在图4的数轴上标出表示数的点．
【典型例题四 实数的大小比较】【例1】（25-26七年级下·广西柳州·阶段检测）在，，，这组数中，最小的数是（ ）
A．B．0C．2D．
【例2】（2026·安徽安庆·一模）在，，0，这四个数中，最大的数是（ ）
A．B．C．0D．
【例3】（25-26七年级下·四川南充·期中）比较大小：_______1(用>，”“