2026年八年级数学人教版 专题03 平面直角坐标系(暑假复习讲义)

这是一份2026年八年级数学人教版 专题03 平面直角坐标系(暑假复习讲义)，共6页。学案主要包含了平面直角坐标系的概念，用坐标描述简单几何图形，用坐标表示地理位置，用坐标表示平移等内容，欢迎下载使用。
01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标
02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系
03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼
题型1 有序数对的理解与生活应用
题型2 判断点所在象限、坐标轴
题型3 根据点所在象限，求字母参数取值范围
题型4 求点到坐标轴距离；已知距离反求坐标
题型5 平行坐标轴、象限角平分线上点的计算
题型6 根据坐标描点、连线绘制平面图形
题型7 利用坐标求线段长度、图形周长
题型8 网格多边形求面积（期末高频解答）
题型9 实际场景建立坐标系，用坐标表示地点
题型10 用方向角+距离描述物体位置
题型11 根据文字方位描述，作图确定点位置
题型12 求点沿x轴、y轴平移后的坐标（正向平移）
题型13 给出平移方式，直接计算点坐标
题型14 已知平移前后两点坐标，判断完整平移方式
题型15 已知图形整体平移，求各顶点对应坐标
题型16 已知平移后的点坐标，逆向求原始坐标
题型17 坐标系平移综合、平移动点问题
04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官
05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解
知识点一 平面直角坐标系的概念
有序数对定义：有固定先后顺序的一组数(a,b)，前数为横坐标（水平），后数为纵坐标（竖直），(a,b)≠(b,a)；用于座位、地图定位。
坐标系构成：平面内两条互相垂直、原点重合的数轴：水平x轴（横轴，向右为正）；竖直y轴（纵轴，向上为正）；两轴交点O(0,0)为坐标原点。
四象限符号（逆时针划分）：第一象限((+,+)；第二象限(-,+)；第三象限(-,-)；第四象限(+,-)
⚠️ 坐标轴上所有点不属于任何象限
坐标轴上点特征：
x轴上点：纵坐标y=0，格式(x,0)；
y轴上点：横坐标x=0，格式(0,y)。
点到坐标轴距离公式：
点P(x,y)：到x轴距离=|y|；到y轴距离=|x|（距离恒为非负数）
特殊直线坐标规律：
平行x轴直线：线上全部点纵坐标相等；
平行y轴直线：线上全部点横坐标相等；
三象限角平分线：x=y；
二、四象限角平分线：x=-y
【易错提醒】
1.有序数对顺序不能颠倒，(a,b)与(b,a)表示不同位置。
2.坐标轴上的点不属于任何象限。
3.熟记各象限坐标符号，避免混淆正负。
4.x轴上点纵坐标为0，y轴上点横坐标为0。
5.点到坐标轴的距离要取绝对值，距离一定为正数。
即时即练下列说法不正确的是（）
A．点在第一象限B．点到y轴的距离为3
C．已知点，点，则轴D．若，则点一定在x轴上
【答案】D
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标相关性质，包括象限点的特征、点到坐标轴的距离、平行于坐标轴的直线的点的坐标特征、坐标轴上点的坐标特征，逐一判断各选项即可得到答案．
【详解】解：A对于点，横坐标，纵坐标，
该点在第一象限，说法正确，不符合题意；
B点到轴的距离为，说法正确，不符合题意；
C点和点的横坐标相同，轴，说法正确，不符合题意；
D若，可得或，则点在轴上或轴上，不一定在轴上，说法错误，符合题意．
知识点二 用坐标描述简单几何图形
网格作图步骤：建立坐标系→根据坐标逐个描顶点→按顺序连线，得到平面图形
平行坐标轴两点距离：
A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB∥x轴，长度|x1-x2|；AB∥y轴，长度|y1-y2|
网格图形面积计算：
直角三角形、矩形：直接用坐标找垂直的底、高，套用公式；
不规则多边形：割补法（分割成多个规则图形相加 / 补成长方形减去多余三角形）
【易错警示】
描点连线务必按顶点顺序，防止图形变形。
计算线段长度记得取绝对值，结果为正数。
求面积时底和必须垂直，三角形面积勿忘乘。
不规则图形用割补法，分割、补全不重不漏。
平移、对称后的图形，周长和面积保持不变。
即时即练如图，点A、B、C、D、E都在格点上，用表示A点的位置，用表示B点的位置，则点E的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查平面直角坐标系，熟练掌握平面直角坐标系的概念是解答本题的关键．根据点A，B的坐标建立平面直角坐标系，由图可得点E的坐标．
【详解】解：∵A点坐标为，B点为，
∴建立如图平面直角坐标系，
∴点E的坐标为．
故选：B．
知识点三 用坐标表示地理位置
实际场景坐标定位四步法：
选定参照物作为坐标原点；
规定 x 轴向东、y 轴向北为正方向；
设定网格单位长度；
写出每个地点的有序数对。
方位定位双要素（缺一不可）：
观测点+方向角（北偏东/北偏西/南偏东/南偏西）+距离；仅角度无法确定位置。
由方位找点作图流程：
以观测点为中心画十字方位线→用量角器画出指定角度射线→按单位长度截取对应距离，标记目标点。
【易错警示】
1.建立坐标系时，看清原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。
2.有序数对牢记先横后纵，切勿颠倒顺序。
3.方位描述必须包含观测点、方向角、距离三要素，少一项就出错。
4.描述方位统一规范：优先说北 / 南，再说东 / 西，如北偏东，不说东偏北。
5.同一场景下，全程保持坐标系规则不变，前后坐标不混用。
即时即练2026年2月，北京大学董豪教授团队研发的“空间大脑”技术，让机器人能像人类一样理解空间关系、距离和方位．搭载“空间大脑”技术的机器人从起始位置点出发，按以下指令移动：指令1：向北移动4米到点；指令2：右转，向东移动3米到点；指令3：右转，向南移动2米到点；指令4：右转，向西移动5米到点．判断下列结论中不正确的是（ ）
A．直线与直线垂直
B．直线与直线平行
C．点位于点的北偏东方向
D．点与点之间的距离大于3米
【答案】C
【分析】根据题意作出示意图，再逐项判断即可．
【详解】解：如图，设与相交于点

则直线与直线垂直，故A正确，不符合题意；
直线与直线平行，故B正确，不符合题意；
点位于点的正西方向，故C错误，符合题意；
点与点之间的距离，故D正确，不符合题意．
知识点四 用坐标表示平移
核心基础口诀：左减右加横坐标，上加下减纵坐标，设原始点P(x,y)
正向单点平移（已知平移求新坐标）：
右移a个单位：(x+a,y)；
左移a个单位：(x-a, y)
上移b个单位：(x, y+b)；
下移b个单位：(x, y-b)
逆向还原平移（已知平移后坐标求原坐标）：
运算反向颠倒：向右平移得到的点，求原点向左平移；向上平移得到的点，求原点向下平移，加变减、减变加。
判断平移方式：
对比平移前后坐标：横坐标变大→右移，变小→左移；纵坐标变大→上移，变小→下移。
图形平移规律：
图形形状、大小不变，仅位置改变；全部顶点执行完全相同的平移规则，平移顶点后重新连线。
平移综合与动点：
设运动时间t，用含t代数式表达动点坐标；结合线段距离、图形面积列方程求解，分区间讨论动点位置。
【易错警示】
1.牢记平移口诀：左减右加横坐标，上加下减纵坐标，切勿记反加减规则。
2.图形平移时，所有顶点遵循同一变化规律，不可单独改变个别点坐标。
3.已知平移后坐标求原坐标，运算要反向，加变减、减变加。
4.平移只改变图形位置，形状、大小、周长、面积均保持不变。
5.区分平移方向，左右只改横坐标，上下只改纵坐标，不混淆两类坐标。
即时即练已知点，点，将线段平移至．若点，点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平移的性质可得，点到点的坐标变化规律与点到点的坐标变化规律相同，从而求出与的值．
【详解】解：∵，，
∴点向右平移1个单位，向下平移4个单位得到点，
∵线段由线段平移得到，
∴点向右平移1个单位，向下平移4个单位得到点，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
题型1 有序数对的理解与生活应用
例1．下列说法正确的是（ ）
A．坐标轴上的点可以用一个实数表示
B．坐标平面内的点和表示同一个点
C．坐标平面内的点由一对有序实数唯一确定
D．纵坐标为a，横坐标为b的点的坐标可表示成
【答案】C
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标表示方法．根据平面直角坐标系中点的坐标表示方法逐一判断其正确性，即可．
【详解】解：选项A：坐标轴上的点（如x轴或y轴）需用形如或的坐标表示，包含两个实数，而非仅一个实数，故A错误．
选项B：点与仅在时表示同一位置，否则位置不同（如与），故B错误．
选项C：根据平面直角坐标系的定义，每个点由唯一的有序实数对确定，且每个有序实数对对应唯一的点，故C正确．
选项D：坐标的规范写法为“横坐标在前，纵坐标在后”，即横坐标为、纵坐标为时应写作，而非，故D错误．
故选：C．
【技巧总结】
1.书写规则：先写水平横坐标，后写竖直纵坐标，顺序不可逆；
2.生活场景统一规则：座位（列，行）、地图（东，北）。
避坑：(2,5)和(5,2)是两个完全不同的位置。
【变式训练1-1】如图，在围棋棋盘上有3枚棋子，如果黑棋①的位置用有序数对表示，黑棋②的位置用有序数对表示，则白棋③的位置可用有序数对表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知两点的坐标可以画出坐标轴，进而求出③的坐标．
【详解】解：根据已知两点的坐标画出坐标轴，
③的坐标为，
故选：C．
【变式训练1-2】数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如a+bi(a，b为实数)的数叫做复数，用z＝a+bi表示，任何一个复数z＝a+bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对Z(a，b)表示，如：z＝1+2i表示为Z(1，2)，则z＝2﹣i可表示为（ ）
A．Z(2，﹣1)B．Z(﹣2，1)C．Z(2，1)D．Z(﹣1，2)
【答案】A
【分析】根据题目中的定义求解即可．
【详解】解：由题意，得：z＝2﹣i可表示为Z（2，－1），
故选A．
题型2 判断点所在象限、坐标轴
例1．点的坐标满足，且，则点P在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据判断和的符号关系，再结合确定、的正负，最后根据平面直角坐标系各象限的坐标特点判断点所在象限．
【详解】解：∵，
∴和同号，即同时为正或同时为负．
又∵，
∴，，
∵平面直角坐标系中，横纵坐标都为负的点在第三象限，
∴点在第三象限．
【技巧总结】
1.观察横、纵坐标正负，对照四象限符号快速判断；
2.y=0在x轴，x=0在y轴，坐标轴点不属于任何象限。
【变式训练2-1】小渝将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“科”在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查了判断点所在的象限，写出直角坐标系中点的坐标，解题关键是掌握上述知识点．先求出“科”的坐标，再根据坐标判断所在的象限．
【详解】解：因为“创”“新”的坐标分别为，，
所以可建立平面直角坐标系如图，
所以“科”的坐标为，
则“科”在第二象限，
故选： B．
【变式训练2-2】在平面直角坐标系中，点在第二象限，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】四个象限坐标符号特点为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，先根据点的位置判断的符号，再推导点横纵坐标的符号，即可判断所在象限．
【详解】解：∵ 点在第二象限
∴，
∴
∴点的横纵坐标符号为，符合第一象限点的坐标特征
∴点在第一象限．
题型3 根据点所在象限，求字母参数取值范围
例1．若点在轴上，则的值是（ ）
A．5B．C．4D．
【答案】C
【分析】本题考查平面直角坐标系中轴上点的坐标特征，利用y轴上点的横坐标为0列方程求解即可．
【详解】解：∵点 在轴上
∴点的横坐标为
即
解得 ．
【技巧总结】
1.依据象限符号列出一元一次不等式组；
2.解不等式组，得到字母取值区间。
【变式训练3-1】在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，则的值为（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】A
【分析】利用x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0，求出的值，再计算即可得到结果．
【详解】解：点在轴上，
点的纵坐标为，即，
解得；
又点在轴上，
点的横坐标为，即，
解得；
．
【变式训练3-2】已知点在y轴的负半轴上，则点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】先根据y轴负半轴上点的坐标特征判断a的符号，再根据各象限内点的坐标符号特征判断点M的位置．
【详解】解：∵点在轴的负半轴上，
∴，
∵点的坐标为，
∴点的横坐标为负，纵坐标为正，
∴点在第二象限．
题型4 求点到坐标轴距离；已知距离反求坐标
例1．若在第四象限，且点到轴的距离为7，到轴的距离为4，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用性质求出横纵坐标即可得到点的坐标．
【详解】解：∵点在第四象限，
∴横坐标，纵坐标，
∵点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，
又∵点A到x轴距离为7，到y轴距离为4，
∴，，
∵，，
∴，，
∴点A的坐标为．
【技巧总结】
1.距离等于坐标绝对值，结果一定是正数；
2.已知距离求坐标，横、纵坐标分正负讨论，存在多组解，不要漏写。
【变式训练4-1】平面直角坐标系中，第二象限内的点到y轴的距离是5，则a的值为（ ）
A．B．8C．D．3
【答案】A
【分析】点到y轴的距离等于点横坐标的绝对值，第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0，据此列式求解即可．
【详解】解：∵点在第二象限，且到y轴的距离是5，
∴，且，
∴，
解得，
此时，符合题意．
【变式训练4-2】已知点，若点到两坐标轴的距离相等，则的值为（ ）
A．5或B．或C．5或D．或
【答案】B
【分析】根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，得到点横、纵坐标的绝对值相等，据此列方程求解即可．
【详解】解：∵点 到两坐标轴的距离相等，
∴，
分两种情况讨论：
①当 时，
即 ，
解得： ；
②当 时，
即 ，
，
解得 ；
综上，的值为或．
题型5 平行坐标轴、象限角平分线上点的计算
例1．已知点，点，且轴，则a的值为（ ）
A．3B．2C．6D．
【答案】A
【分析】利用平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等的性质求解即可．
【详解】解：∵点，点，且轴，
∴
解得．
【技巧总结】
1.AB∥x轴⟺ yA=yB；AB∥y轴⟺ xA=xB
2.一、三平分线：x=y；二、四平分线：x=-y，直接列方程求参数。
【变式训练5-1】已知点坐标为，线段平行于轴，且，则点的坐标为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】A
【分析】利用平行于x轴的点的坐标特征，先确定B点的纵坐标，再根据线段长度分情况计算B点的横坐标，即可得到结果．
【详解】解：∵线段平行于轴，，
∴点的纵坐标为，
∵，
∴点B的横坐标为或，
∴点的坐标为或．
【变式训练5-2】在平面直角坐标系中，点，，且平行于轴，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相等，即可得解．
【详解】解：平行于轴，点，，
．
题型6 根据坐标描点、连线绘制平面图形
例1．图中标明了李同学家附近的一些地方．某日早晨，李同学从家里出发，沿，的路线转了一下，又回到家里，如图，依次连接他经过的地方，你得到的图形是（ ）
A．心形B．鱼C．帆船D．箭头
【答案】D
【分析】本题考查坐标确定位置，在平面直角坐标系中，一定要理解点与坐标的对应关系，是解决此类问题的关键．由图形及其坐标得出具体的位置画出图形即可.
【详解】解：如下图所示，得到一个“箭头”的图形，
故选：D
【技巧总结】
网格内先找到横坐标对应竖线、纵坐标对应横线，标记顶点后顺次连接，不打乱顶点顺序。
【变式训练6-1】如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别为，，．
(1)在图中画出三角形；
(2)将三角形先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，在图中画出平移后得到的三角形，并写出点，的坐标．
【答案】(1)如图：三角形即为所求，
(2)如图：三角形，即为所求，
，
【分析】（1）先描点，再连线即可得出三角形；
（2）根据平移的性质作出图形即可．
【详解】（1）略
（2）略
【变式训练6-2】在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别是，，．
(1)在图中作出三角形；
(2)把三角形向下平移6个单位长度，再向右平移4个单位长度，作出三角形平移后的三角形，并写出点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，先描点，再依次连接，即可画出三角形；
（2）先根据平移的性质得出点，再依次连接，即可画出三角形，然后写出点的坐标，即可作答．
【详解】（1）解：如图，三角形即为所求．
（2）解：如图，三角形即为所求，点的坐标为．
题型7 利用坐标求线段长度、图形周长
例1．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，点在轴正半轴上，线段与线段交于点．若与面积相等，则到直线的距离是________．
【答案】4
【分析】本题考查平面直角坐标系中三角形面积的计算．画出相关图形，根据与面积相等，可得．进而可得点A到的距离．
【详解】解：作于点M．
∵，，
∴，
∴，
∵与面积相等，
∴．
即．
又
∴，
即：．
解得：．
故答案为：4
【技巧总结】
平行坐标轴线段直接坐标作差取绝对值；倾斜线段利用网格直角三角形勾股定理计算。
【变式训练7-1】【问题情境】
在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，小亮在学习中发现，若，则轴，且线段的长度为；若，则轴，且线段的长度为；
【知识应用】
(1)若点，，则的长度为______．
(2)已知点，若轴，且，求点D的坐标．
【答案】(1)12
(2)或
【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于x轴及平行于y轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．
（1）由和可得轴，根据题意即可解决问题．
（2）根据平行于y轴的直线上点的坐标特征即可解决问题．
【详解】（1）解：∵，，
∴轴，
∴．
故答案为：12．
（2）解：∵，且轴，
∴点D的横坐标为．
∵，
∴或，
∴点D的坐标为或．
【变式训练7-2】已知点，，若直线与轴平行，则线段的长为________．
【答案】5
【分析】本题考查了点的坐标，掌握点坐标的特征是解题的关键．
根据点坐标的特征求得，即可求解．
【详解】解：∵直线与轴平行，
∴，
则，
故，
∴线段的长为，
故答案为：5．
题型8 网格多边形求面积（期末高频解答）
例1．阅读与思考
利用面积法求直线上点的坐标
如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，点，在直线上，求点的坐标．
【问题探究】
（1）请阅读并填空：
第一步：过点作轴于点，由，两点的坐标，可直接得出三角形的面积为________；
第二步：过点作轴于点，三角形的面积，三角形的面积为________．
∵三角形的面积三角形的面积三角形的面积，
∴可得关于的一元一次方程为________．
解这个方程，可得点的坐标为________．
【问题迁移】
（2）连接，请仿照（1）中的方法，求点的坐标．
【问题拓展】
（3）若点在直线上，且在轴的左侧，三角形的面积为5，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）6；m；；；（2）；（3）
【分析】本题考查了坐标与图形，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键．
（1）用两种不同的方法求出的面积，构建方程求解即可；
（2）利用面积法，构建方程求解即可；
（3）首先判断出点在轴下方，过点作轴于点，则，然后根据构建方程求解．
【详解】解：（1）过点作轴于点，过点作轴于点，
，，点，
∴，，，，
，
∴，．
，
，
解得，，
点的坐标为；
故答案为：，，，；
（2）如图，连接，过点作于，于．
依题意，直线与坐标轴交于，两点，点，在直线上，
，
，
，
点的坐标为；
（3）∵点在直线上，且三角形的面积等于5，
∵，
∴点在轴下方，
如图所示，过点作轴于点，则
∴，
∴，
∴，
解得：，，
∴．
【技巧总结】
1.规则直角图形：直接读取底和高计算；
2.不规则图形固定方法：割补法，分割求和或补大减多余。
【变式训练8-1】综合与实践
【问题背景】
在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为．
（1）求的面积．
【解决问题】
（2）若，，，求四边形的面积．
【深入探究】
（3）在（2）的条件下，过中点作直线轴交于点，求点的坐标．
【拓展延伸】
（4）在（2）的条件下，点的坐标为，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的3倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）9；（3）（4）或．
【分析】本题主要考查了坐标与图形，数量掌握图形面积与点的坐标之间的关系是解题的关键．
（1）根据点的坐标可得轴，点B到的距离为，据此根据三角形面积计算公式求解即可；
（2）根据（1）所求求出的面积，再求出A、B坐标，进而求出的面积即可得到答案；
（3）先求出的长，则可得点N横坐标，根据列式求出的长即可得到答案；
（4）求出的面积，进而得到四边形面积，则可得到三角形的面积，根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案．
【详解】解：（1）∵点坐标为，点坐标为
∴轴，
∵点坐标为，
∴点B到的距离为，
∴；
（2）当，，时，，，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，点M是中点，
∴，
∵轴，
∴轴，
∴点N的横坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（4）∵，，
∴，
∴，
∵三角形的面积等于四边形面积的3倍，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴或．
【变式训练8-2】在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，．
(1)求四边形的面积；
(2)在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了坐标与图形综合，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，，结合题意可得，，，，，再由计算即可得解；
（2）设，根据三角形的面积等于四边形面积的一半，，得出，求解即可．
【详解】（1）解：如图，分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，．
∵点，，，，
∴，，，，，
∴
．
（2）解：设，
∵三角形的面积等于四边形面积的一半，，
∴，
解得：或，
∴或．
题型9 实际场景建立坐标系，用坐标表示地点
例1．如图，已知棋子“车”的坐标为，棋子“马”的坐标为，则棋子“炮”的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由棋子“车”的坐标为，棋子“马”的坐标为，可建立平面直角坐标系如下：
∴棋子“炮”的坐标为．
【技巧总结】
固定四步模板：定原点→定正负方向→定单位长度→书写各地点有序数对。
【变式训练9-1】如图，在正方形网格中，标明了学校附近的一些地方，其中每一个小正方形网格的边长代表1个单位长度．已知学校的坐标为，体育馆的坐标为．
(1)请在图中画出这个平面直角坐标系；
(2)请直接写出超市和电影院所在位置的坐标．
【答案】(1)
(2)超市，电影院
【分析】（1）根据学校和体育馆的坐标建立平面直角坐标系；
（2）根据超市和电影院所在位置写出坐标．
【详解】（1）略
（2）解：超市所在位置的坐标为，电影院所在位置的坐标为．
【变式训练9-2】瓮安欢乐谷坐落于草塘石林公园处，周末小星和小丽相约到欢乐谷游玩，游玩结束后，他们绘制了欢乐谷部分平面示意图，其中碰碰车的坐标为，大摆锤的坐标．
(1)请你根据上述信息，在图中画出平面直角坐标系；
(2)写出图中海盗船的坐标；
(3)若在欢乐谷新建一个游客中心，请你在图中画出游客中心的位置．
【答案】(1)如图，平面直角坐标系即为所求；
(2)海盗船的坐标为
(3)如图，点即为所求．
【分析】（1）表示碰碰车的点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，就是原点位置，可以画出平面直角坐标系；
（2）观察表示海盗船的点的位置，可得其坐标；
（3）在图上找出游客中心，即可求解．
【详解】（1）略
（2）由图可得，海盗船的坐标为；
（3）略
题型10 用方向角+距离描述物体位置
例1．如图，在一次活动中，位于A处的佳佳准备前往相距的B处与琪琪会合．请你用方向和距离描述佳佳相对于琪琪的位置，其中描述正确的是（ ）
A．佳佳在琪琪的北偏东，处
B．佳佳在琪琪的北偏东，处
C．佳佳在琪琪的南偏西，处
D．佳佳在琪琪的南偏西，处
【答案】B
【详解】解：由题意可知：佳佳在琪琪的北偏东，处．
【技巧总结】
标准完整描述句式：以XX为观测点，北/南偏东/西XX°，距离XX单位；三个要素缺一不可。
【变式训练10-1】如图是三艘军舰的位置示意图，已知C舰到A舰的图上距离为4cm，实际A舰在C舰的正东方向40千米处，B舰到C舰的图上距离为2cm，请通过计算，用方向和距离描述B舰相对于C舰的实际位置：______．
【答案】北偏东方向，距离C舰20千米处
【分析】根据题意可得之间的距离为千米，且在的北偏东方向，求解即可．
【详解】解：根据已知C舰到A舰的图上距离为4cm，实际A舰在C舰的正东方向40千米处可得，代表的距离为千米，
B舰到C舰的图上距离为2cm，则之间的距离为千米，
根据图形可得，在的北偏东方向，
则B舰相对于C舰的实际位置为北偏东方向，距离C舰20千米处．
【变式训练10-2】如图，货轮与灯塔相距．
(1)用方向和距离描述灯塔相对于货轮的位置：灯塔在货轮的南偏东__________°，处；
(2)客轮在货轮的正南方向，在灯塔的南偏西方向，请你在图中标出客轮的位置．
【答案】(1)50
(2)见解析
【分析】（1）利用方位角解题即可；
（2）根据方位角和距离画出图形即可．
【详解】（1）解：由图可知灯塔在货轮的南偏东，处；
（2）解：如图即为客轮位置．
题型11 根据文字方位描述，作图确定点位置
例1．根据下列表述，其中能确定具体目标位置的是（ ）
A．某市人民路B．南偏西C．电影院1号厅第2排D．东经，北纬
【答案】D
【详解】解：A．某市人民路仅表示道路范围，无法确定具体位置，不符合题意；
B．南偏西仅给出方向，缺少距离信息，无法确定具体位置，不符合题意；
C．电影院号厅第排仅给出厅和排，缺少座位号信息，无法确定具体位置，不符合题意；
D．东经，北纬给出两个确定的经纬度数据，可以确定唯一具体位置，符合题意．
【技巧总结】
十字方位定位中心→量角器画角度射线→截取对应长度标记目标点。
【变式训练11-1】小明从A处出发向北偏东走了，到达B处；小刚也从A处出发、向南偏东走了，到达C处．
(1)用表示，画图表示A、B、C三处的位置；
(2)用表示方向的角和距离表示A处相对于C处的位置；
(3)在图上量出B处和C处之间的距离、求出小明和小刚两人实际相距多少米．
【答案】(1)见解析
(2)A在C处北偏西方向，距离
(3)50米
【分析】（1）根据比例画图即可；
（2）根据方位角的表示方法求解即可；
（3）由图上测得距离约为，根据表示求解即可．
【详解】（1）解：如图，点A、B、C即为所求；
（2）解：∵小刚从A处出发、向南偏东走了，到达C处
∴A在C处北偏西方向，距离；
（3）解：由图上测得距离约为，
∵图上表示，
∴实际BC．
答：B、C实际相距约50米．
【变式训练11-2】春日的四子王旗草原，人影穿梭、一片繁忙，作为“三北”工程六期建设的核心攻坚区，四子王旗正通过灌草结合、封山育草、以工代赈等综合举措，让昔日的沙化草原重新披上绿装．以下能准确描述四子王旗位置的是（ ）
A．乌兰察布市的西北方向B．距离包头249公里
C．北纬，东经D．与武川县相邻
【答案】C
【详解】解：A选项仅给出方向，缺少其他数据，无法确定准确位置；
B选项仅给出距离，缺少其他数据，无法确定准确位置；
C选项给出北纬和东经两个确定的数据，可以准确确定四子王旗的位置；
D选项仅说明相邻关系，无法确定准确位置．
题型12 求点沿x轴、y轴平移后的坐标（正向平移）
例1．将点水平平移5个单位长度到达点B，则点B的坐标为________
【答案】
或
【分析】根据水平平移只改变点的横坐标，纵坐标不变，需分向右平移和向左平移两种情况讨论求解．
【详解】解：已知点的坐标为，将点水平平移个单位长度，平移后纵坐标不变，
分两种情况讨论：
当点向右平移个单位长度时，点的横坐标为，纵坐标为，可得点坐标为；
当点向左平移个单位长度时，点的横坐标为，纵坐标为，可得点坐标为，
所以点B的坐标为或．
【技巧总结】
直接套用口诀分步计算，横坐标只管左右，纵坐标只管上下，分开计算不跳步。
【变式训练12-1】将点向左平移3个单位长度后落在轴上，则的值为________．
【答案】
【分析】根据点平移的坐标变化规律得到平移后点的横坐标，再利用轴上点的横坐标为列方程求解即可．
【详解】解：根据点平移的坐标规律，向左平移时横坐标减，纵坐标不变，可得平移后点的横坐标为，
因为平移后点落在轴上，轴上所有点的横坐标为，因此列方程得，
解得．
【变式训练12-2】将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的点的坐标是，即．
题型13 给出平移方式，直接计算点坐标
例1．在平面直角坐标系中，点P先向左移动5个单位，再向上移动7个单位，到达点，则原来P点的坐标为___________．
【答案】
【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律，等式求解即可．
【详解】解：设原来点的坐标为．
根据点的平移规则，向左平移个单位后，横坐标变为，再向上平移个单位后，纵坐标变为，得到平移后坐标为 ．
由题意得平移后点的坐标为，因此：
，
解得，．
因此原来点的坐标为．
【技巧总结】
同上正向平移题型，分别修改横、纵坐标数值。
【变式训练13-1】如图，在平面直角坐标系中，已知，，为第三象限内一点．
(1)若点到两坐标轴的距离相等
①求点的坐标；
②若且，求点的坐标．
(2)若点为，连接，将沿轴方向向右平移得到（点的对应点分别为点），若的周长为，四边形的周长为，求点的坐标（用含的式子表示）．
【答案】(1)①；②或
(2)
【分析】（1）①根据点到两坐标轴的距离相等，据此列方程求解的值即可解答；②利用，可知平行于轴，从而确定点的纵坐标；利用确定线段长度，结合点的坐标，分点在点左侧和右侧两种情况讨论即可求解；
（2）利用平移的性质（对应线段相等，对应点连线平行且相等）将四边形的周长转化为的周长与平移距离的关系，从而求出平移距离，最后根据平移规律即可写出点的坐标．
【详解】（1）解：①到两坐标轴的距离相等，且在第三象限，
，
，
；
②，
，
且，，
或；
（2）沿轴方向向右平移得到，
，，
的周长为，
，
四边形的周长为，
，
，
，
点为，
点的坐标为．
【变式训练13-2】如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点坐标分别为，，．把三角形先向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形，点的对应点分别是点，请你在平面直角坐标系中画出三角形，并写出点的坐标．
【答案】，
【分析】先根据平移作出点，依次连接即可得到三角形，根据所画的图形写出点的坐标即可解答．
【详解】解：如图，三角形即为所求，点的坐标为．
题型14 已知平移前后两点坐标，判断完整平移方式
例1．如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至的位置，点，的坐标分别为，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据点、平移后横纵坐标的变化可得线段向右平移个单位，向上平移了个单位得到线段，然后再确定、的值，进而可得答案．
【详解】解：点，的坐标分别为，，点，的坐标分别为，，
线段向右平移个单位，向上平移了个单位得到线段，
点，的坐标分别为，，
，，
，
故选：A．
【技巧总结】
计算横坐标差值x后-x前，正数右移、负数左移；纵坐标差值y后-y前，正数上移、负数下移，合并描述平移路线。
【变式训练14-1】在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，位置如图所示．
(1)分别写出A，的坐标：A ， ；
(2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到；
(3)若是三角形内部的一点，经过平移后，点M在三角形中的对应点的坐标为，求m和n的值．
【答案】(1)，
(2)向左平移2个单位长度，再向下移动3个单位长度
(3)，
【分析】（1）观察A，在坐标系中的位置即可；
（2）根据A，的坐标可确定平移方式；
（3）根据平移方式确定对应点的坐标，结合给出的坐标列方程，即可求解．
【详解】（1）解：由图可得，；
（2）解：由的对应点为，得点A向左平移2个单位长度，再向下移动3个单位长度得到点，
三角形是由三角形向左平移2个单位长度，再向下移动3个单位长度得到的；
（3）解：平移后对应点的坐标为，即，
又的坐标为，
，，
解得，．
【变式训练14-2】如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，．将三角形平移，得到三角形，其中任意一点平移后的对应点为．
(1)画出三角形，并写出点的坐标为______；
(2)写出三角形的一种沿坐标轴方向的平移方式．
【答案】(1)三角形如图所示．
(2)将三角形先向右平移7个单位长度，再向下平移4个单位长度，可以得到三角形．（答案不唯一）
【分析】（1）根据点P平移前后的坐标得出平移的方式，然后画出，然后写出直角坐标系中的坐标即可．
（2）由（1）可写出答案（答案不唯一）
【详解】（1）解：任意一点平移后的对应点为．
则平移方式为：向右平移7个单位，向下平移4个单位．
则如下图所示：
∴
（2）解：如（1）将三角形先向右平移7个单位长度，再向下平移4个单位长度，可以得到三角形．（答案不唯一）
题型15 已知图形整体平移，求各顶点对应坐标
例1．如图，，，，将三角形向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，得到三角形，请你画出三角形，并写出，，的坐标．
【答案】画图见解析， ，，
【详解】解：如图，三角形即为所求． ，，
【技巧总结】
提取图形全部顶点，每个顶点统一使用同一平移规则计算新坐标，最后描点连线。
【变式训练15-1】已知三角形是由三角形经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如表所示：
(1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空：
①________，________；
②(__________)；
(2)在平面直角坐标系中画出三角形
(3)若点是三角形ABC内部一点，则经过平移后得到的对应点的坐标为，求的平方根．
【答案】(1)①，；②，；
(2)图见解析；
(3)．
【分析】（1）①由题意可得三角形向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到三角形，进而可得的值；②根据平移的性质可得答案．
（2）根据点的坐标描点再连线即可；
（3）根据图形平移的性质即可解决问题．
【详解】（1）①∵，和，，
∴三角形是由三角形向下平移个单位长度，向左平移个单位长度，
∴，，
②∵，
∴，即；
（2）如图，三角形即为所求．
（3）∵点是三角形ABC内部一点，经过平移后得到的对应点，
又∵由（1）得三角形是由三角形向下平移个单位长度，向左平移个单位长度，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴的平方根为
【变式训练15-2】如图，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度．请回答下列问题：
(1)平移后的三个顶点坐标分别为：（ ， ），（ ， ），（ ， ）；
(2)画出平移后三角形；
(3)若平移后的三角形内部有任意一点，则平移前对应点的坐标为：P（ ， ）．
【答案】(1)；；
(2)见解析
(3)
【分析】（1）在平面直角坐标系中得到三角形三个顶点的坐标，再由图形的平移方式即可得到平移后图形的坐标；
（2）由（1）中的坐标直接描点连线即可得到答案；
（3）根据点的平移规律作答即可．
【详解】（1）解：由图可知、、，
将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，
、、；
（2）解：如图所示：
即为所求；
（3）解：∵将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，平移后的三角形内部有任意一点，
∴平移前对应点的坐标为：．
题型16 已知平移后的点坐标，逆向求原始坐标
例1．在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段，若点的对应点为，点B的对应点为，则点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，且，
将线段向右平移2个单位，向下平移4个单位得到线段，
∵点B的对应点为，
∴，
点的坐标为．
【技巧总结】
平移操作全部反向，正向加则逆向减，正向减则逆向加。
【变式训练16-1】如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度．已知三角形的顶点，，，将三角形平移得到三角形，三角形中任意一点经平移后对应点为．
(1)画出三角形，并写出顶点坐标： ， ， ．
(2)若三角形外有一点经过同样的平移后得到点，则点的坐标为 ．连接线段，则这两条线段之间的数量关系是 ．
【答案】(1)见解析，，，
(2)，
【分析】（1）根据点P找出平移规律，进而画出三角形，根据平面直角坐标系可知顶点坐标；
（2）根据平移规律得到点的坐标，根据平移的性质作答即可．
【详解】（1）解：∵点经平移后对应点为，
∴平移规律为向右平移3个单位，再向下平移2个单位，
三角形如图，可知，，
（2）解：∵点向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，
∴
连接线段，由平移规律可知．
【变式训练16-2】小明和小亮在玩“你来说，我来猜”的游戏．
小明经过思考给出了正确答案，这个游戏的谜底是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】平面直角坐标系中一点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，据此可确定点P的纵坐标，在y轴上的点的横坐标为0，结合向右平移时横坐标加上平移距离可得点P的横坐标．
【详解】解：∵点P到x轴的距离为3个单位长度，
∴点P的纵坐标的绝对值为3，即点P的纵坐标为3或，
∵点P向右平移4个单位长度后落在y轴上，
∴点P的横坐标为，
∴点P的坐标为或．
题型17 坐标系平移综合、平移动点问题
例1．已知，为4的算术平方根，在平面直角坐标系中，点，，，且．
(1)直接写出______，______，______；
(2)如图①，当点在直线上时，连接，求三角形的面积；
(3)平移线段，使点的对应点在轴的正半轴上，点的对应点恰好在轴的负半轴上，点以每秒3个单位长度从点向轴负半轴运动，同时点以每秒2个单位长度从点向轴正半轴运动，直线、交于点，设点、运动的时间为（秒）．
①如图②，当时，探究三角形的面积和三角形的面积的数量关系，并说明理由；
②若三角形的面积为10，直接写出点的坐标．
【答案】(1)5，，2
(2)
(3)①，理由见解析；②点D的坐标为或
【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性得到，，求出，，然后根据算术平方根的定义求出；
（2）根据题意得到，然后三角形面积公式求解；
（3）①首先表示出，由平移的性质得到，，表示出，，，，，，然后得到，进而求解即可；
②根据题意分三种情况讨论，分别判断求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
解得，，
∵为4的算术平方根，
∴；
（2）解：由（1）得，，
∴，，
∴，
∴三角形的面积；
（3）解：①，理由如下：
∵，，
∴，
∵平移后点的对应点M在y轴的正半轴上，点的对应点N在x轴的负半轴上，且，
∴平移方式为向下平移2个单位，向左平移a个单位，
∴，，
∴，，
由题意得，，
，，
，
，
，
，
即；
②当时，，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴PQ可以看作由向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度得到，
此时，点D不存在；
当，如图1，点D在三角形内部或和点O重合，此时，不符合题意；
当时，如图2，点D在第四象限，连接，
设，由①得，
，
，
，
，
，
，，
；
当时，如图3，点D在第二象限，连接，
，
，
，
，
，
，
，，
，
综上，点D的坐标为或．
【技巧总结】
设运动时间t，写出动点含t的坐标代数式；根据距离、面积、象限条件列方程，分情况讨论动点在线段不同区间的取值。
【变式训练17-1】如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，现将线段先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到线段，其中点A对应点为C，点B对应点为D，连接，．
(1)直接写出A，B，C，D四个点的坐标．
(2)如图2，点M是线段上的一个动点，点N是线段上的一个定点，连接，，当点M在线段上移动时（不与A，C重合），探究，，之间的数量关系，并说明理由．
(3)在y轴上存在点P，使的面积与的面积相等，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)点，点，点，点
(2)，理由见解析
(3)或
【分析】（1）先由绝对值的非负性与算术平方根的非负性求解a，b的值，由此可得点A，B的坐标，再根据平移的性质可得点C，D的坐标．
（2）添加辅助线，过点M作，由平行线的性质可得，再由平角的定义即可得．
（3）先求解出的面积，再表示出的面积求解即可．
【详解】（1）解：∵a，b满足，
∴且，解得，，
∴点，点，
∵先将点A向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到点C，
∴点，即点，
∵将点B向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到点D，
∴点，即点．
（2）解：，理由如下：
过点M作，如图，
则有，
由平移的性质可得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
即．
（3）解：由（1）可知，点，点，点，点，
∴，
∴，
设点，
∴，
∴，即，
则有，
当时，；当时，，
∴点P的坐标为或．
【变式训练17-2】在平面直角坐标系中，已知长方形，其中点，点．
(1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______；
(2)若点是轴上的动点，连接．
①如图1，当点在轴正半轴时，线段与线段相交于点，用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由；
②当将四边形分成面积相等的两部分时，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)①，理由见解析；②
【分析】（1）根据长方形的性质，结合坐标系，即可求解；
（2）①先求出，再用三角形的面积公式得出，，即可得出结论；
②当将四边形分成面积相等的两部分时，经过点，则重合，连接并延长交轴于点，连接，延长交轴于点，则，根据①得出，则，设，则，得出，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵已知长方形，其中点，点．
∴
∴，；
（2）①，理由如下：
如图1，过点作于，
由平移知，轴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴，即：；
②如图，∵四边形是长方形，
∴当将四边形分成面积相等的两部分时，经过点，则重合，
连接并延长交轴于点，连接，延长交轴于点，则，
∵
设
∴
由①可得
∴
∴即
解得：
∴
1．如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点O出发，按“向上、向右、向下、向右”的方向依次不断移动，每次移动2个单位长度，得到点，，，，…，按此规律移动下去，则点的坐标为．（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】观察可得，每4个点为一个循环，纵坐标依次为2，2，0，0，每个循环横坐标增加4，计算出的商和余数即可得到答案．
【详解】解：点，，，，，，，，，…，
∴每4个点为一个循环，纵坐标依次为2，2，0，0，每个循环横坐标增加4，
∵，
∴点纵坐标为2，横坐标为，
点的坐标为．
2．在平面直角坐标系中，已知，，经过点的直线轴，点是直线上的一个动点，当线段的长度最短时，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直线轴且过，可得直线上点的纵坐标均为；根据垂线段最短，最短时，结合轴推出轴，可得点横坐标与横坐标相同，即可求解．
【详解】解：∵直线轴，且过点，
∴直线上所有点的纵坐标均为，设点，
∵当线段长度最短时，，
又轴，
∴轴，
∴点与点横坐标相同，
∵，
∴，
∴点坐标为．
3．已知点，下列说法正确的是（ ）
A．点M到x轴的距离是4B．点N在第二象限
C．轴D．
【答案】D
【分析】根据点的坐标特征，结合点到坐标轴的距离，象限的划分，平行坐标轴的直线的坐标特征，两点距离的计算方法，逐一判断选项即可．
【详解】解：对于选项A：∵点，点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，∴点M到x轴的距离是，A错误．
对于选项B：∵点的横坐标为正，纵坐标为负，∴点N在第四象限，B错误．
对于选项C：∵点M和点N的纵坐标相同，∴轴，C错误．
对于选项D：∵，，纵坐标相同，线段的长度为横坐标差的绝对值，∴，D正确．
4．若点满足，则点P在（ ）
A．第一象限或第三象限B．第二象限或第四象限
C．第一象限或第三象限或原点上D．第二象限或第四象限或原点上
【答案】C
【分析】根据的条件分情况讨论，结合各象限点的坐标符号判断即可.
【详解】解：∵点满足，
分情况讨论：
当时，点P横纵坐标均为正，点P在第一象限；
当时，点P横纵坐标均为负，点P在第三象限；
当时，点P为坐标原点；
∴点在第一象限或第三象限或原点上.
5．在平面直角坐标系中，点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】先判断点M横纵坐标的正负，即可确定点M所在象限．
【详解】解：∵ ，
∴，
又∵ 点的纵坐标，
∴ 点在第一象限．
6．A，B两点的坐标分别为，，点P是x轴上一点，且三角形的面积为8，则点P的坐标为____．
【答案】或/或
【分析】设点坐标为．利用点的纵坐标可得三角形的高为．再根据三角形的面积为列含绝对值的方程，求解得到的值，即可得到点的坐标．
【详解】解：设点坐标为．
点坐标为，点在轴上，
的长度为 ．
点坐标为，
三角形中，边上的高为点纵坐标的绝对值，即高为．
根据三角形面积公式可得：，
化简得．
即或．
解得或．
点坐标为或．
7．已知点的坐标为，且点到轴的距离为，则的值为________．
【答案】或
【分析】根据点到轴的距离等于点纵坐标的绝对值，解绝对值方程即可得到的值．
【详解】解：∵点到轴的距离为，
∴，
∴或，
解得：或．
∴的值为或．
8．在平面直角坐标系中，若点，点，点在轴上，且三角形的面积为，则点的坐标为____________．
【答案】或
【分析】设点的坐标为，由，都在轴上，可得线段的长度为，点到轴的距离是中边上的高，长度为，根据三角形面积公式列方程求解即可得到点的坐标．
【详解】解：设点坐标为，
点在轴上，点的坐标为，
，
点的坐标为，
点到轴的距离为，即中边上的高为，
，
，
整理得，
或，
解得或，
点的坐标为或．
9．2026年是红军长征胜利90周年，伟大的长征精神，是中国革命史上不朽的丰碑，在历史长河中散发着永恒的光芒．如图是红军长征路线图，若表示会宁会师的点的坐标为，表示湘江战役的点的坐标为，则表示瑞金的点的坐标是______．
【答案】
【详解】解：由题意，建立直角坐标系如图：
由图可知：表示瑞金的点的坐标是.
10．如图，在平面直角坐标系中，点，三角形经平移得到三角形，且点、、的对应点分别为、、．已知是线段上一点，．
(1)画出三角形；
(2)写出的对应点的坐标；____________，____________；
(3)若点，且三角形的面积为9，直接写出满足条件的点的坐标____________．
【答案】(1)见解析
(2)，
(3)或
【分析】（1）根据平移的性质解答，即可；
（2）根据平移的性质解答，即可；
（3）根据题意可得，再根据三角形的面积为9，即可求解．
【详解】（1）解：如图，三角形即为所求；
（2）解：∵点，，
∴三角形向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到三角形，
∵点，，
∴点，；
（3）解：∵点，，
∴，
∵三角形的面积为9，
∴，
解得：或10，
∴满足条件的点的坐标为或．
11．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，点C的坐标为．
(1)求a，b的值及；
(2)若点M在x轴上，且，试求点M的坐标．
【答案】(1)，，
(2)点M的坐标为或
【分析】（1）由“”结合绝对值、算术平方根的非负性即可得出a、b的值，再结合三角形的面积公式即可求出的值；
（2）设出点M的坐标，找出线段AM的长度，根据三角形的面积公式结合，即可得出的值，从而得出点M的坐标．
【详解】（1）解：，
，，
，，
∴点，点．
又∵点，
，，
．
（2）解：设点M的坐标为，则，
又，
，
，
，
即，
解得：或，
故点M的坐标为或．
12．在平面直角坐标系中，，，其中，满足．
(1)如图1，已知点，求的面积；
(2)如图2，过点向轴作垂线，垂足为，请问在轴的上方是否存在点，使与的面积相等，且的面积是面积的3倍？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)40
(2)存在，或
【分析】（1）利用绝对值与算术平方根的非负性可得，，如图，作梯形，其中，，，进一步利用割补法求解面积即可；
（2）由题意可得：必在和之间，由，，，轴，可得：， ，再分两种情况：如图，当在四边形内时，且在右侧，如图，当在四边形左侧时，进一步求解即可.
【详解】（1）解：∵，
∴，，
解得，，
∴，，
如图，作梯形，其中，，，
∴ .
（2）解：由题意可得：必在和之间，
∵，，，轴，
∴，
∴，
解得：，
∴ ，
如图，当在四边形内时，且在右侧，
∴，，
∴ ，
∵的面积是面积的3倍，
∴，解得；
∴，
如图，当在四边形左侧时，
∴，
，
同理：，
解得；
∴，
综上或．
13．如图①，在平面直角坐标系中，三角形的顶点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，点C的坐标为，点A到y轴的距离等于点C到x轴的距离，．
(1)求三角形的面积；
(2)如图②，过点B作的平行线交y轴于点M，作和的平分线相交于点N，求的度数．
(3)若点是第二象限内一点，，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据点C的坐标为，以及题意，求得的坐标，再利用三角形面积求解即可；
（2）过点N作，利用平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，，即可求解；
（3）连接，根据题意可得，用表示出的面积，化简即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴点B的坐标为，
∵点A到y轴的距离等于点C到x轴的距离，
∴点A的坐标为，
∴，
∴；
（2）解：如图②，过点N作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，分别平分，，
∴，，
∴，
∴，
（3）解：如图③，连接，
，
∵点是第二象限内一点，，
∴，
∴，化简可得．
14．新定义：在平面直角坐标系中，过某一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积数值相等，则这个点叫做“优美点”，例如，如图1，过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长与面积数值均为16，则点是“优美点”．
(1)判断点是否是“优美点”?说明理由；
(2)若点是“优美点”，求的值；
(3)已知点是“优美点”，过点作轴于点，点在线段上，且，求点的坐标．
【答案】(1)点不是“优美点”，理由：
过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长为，面积为，
∵，
∴点不是“优美点”；
(2)或
(3)点的坐标为或
【分析】（1）先求出过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长和面积，比较即可得出结果；
（2）根据“优美点”的定义可得，求解即可；
（3）根据“优美点”的定义求出或，再分两种情况，结合三角形面积公式计算即可得出结果．
【详解】（1）略
（2）解：∵点是“优美点”，
∴，
整理可得，
解得或；
（3）解：∵点是“优美点”，
∴，
解得或，
∴或，
当时，此时，设，
∴，，，
∵，
∴，
解得，此时；
当时，此时，设，
∴，，，
∵，
∴，
解得，此时，
综上所述，点的坐标为或．
15．如图，在由小正方形组成的的网格中，均在格点（小正方形的顶点）上，请按下列要求完成作图．（保留作图痕迹）
(1)在图1中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为．
(2)在图2中作线段，使平行于，且与不相等，为格点．
【答案】(1)解：如图所示，
(2)解：如图所示，即为所求，
【分析】（1）根据A、B的坐标建立平面直角坐标系即可；
（2）根据要求作即可．
【详解】（1）略．
（2）略．
常考考点
命题风向
模块一 平面直角坐标系的概念
有序数对的概念与生活应用
坐标系组成：横轴 x、纵轴 y、原点、四象限
四大象限、坐标轴上点的坐标符号特征
已知点描点、根据位置写出对应坐标
模块二 用坐标描述简单几何图形
网格中根据坐标描点、顺次连线画图形
利用坐标求平行坐标轴线段长度
网格多边形周长、面积计算（割补法）
模块三 用坐标表示地理位置
实际场景中建立坐标系，用有序数对表示地点位置
用方向角+距离两个条件确定物体位置
根据文字方位描述，作图确定目标点位置
模块四 用坐标表示平移
求点沿 x 轴、y 轴平移后的新坐标
给出平移方向距离，直接计算点坐标
已知平移前后坐标，反向判断平移路线
图形整体平移，求顶点对应坐标
已知平移后坐标，逆向求原始点坐标
6. 坐标系平移综合、平移动点问题
模块一 平面直角坐标系的概念
单元入门基础，选择、填空必考，难度偏低。命题常结合教室座位、棋盘、地图等生活场景考有序数对；高频概念陷阱：横纵坐标书写顺序颠倒、坐标轴上点误归象限、混淆象限正负符号；网格识图、简单找点是主要出题形式，属于基础送分板块。
模块二 用坐标描述简单几何图形
期中期末中档简答必考，数形结合基础题型。常给网格顶点坐标，求三角形、四边形面积；易错点：分不清图形底和高、不会使用割补法；是衔接代数计算与平面几何的核心内容。
模块三 用坐标表示地理位置
应用题高频考点，选择、简答均会出现。分两类考法：①地图建坐标定位；②航海 / 观测方位定位；核心陷阱：描述方位漏写观测点、只写角度不写距离，答题要素不全丢分。
模块四 用坐标表示平移
全题型覆盖，单元拉分核心，也是一次函数图像平移铺垫基础。正向平移、逆向还原平移、图形平移三大考法；高频易错：平移左右、上下对应的加减记反；动点大题常结合面积、距离综合命题，区分度高。
考情解码：
基础必拿分：判断点所在象限、有序数对读写、基础单点平移、方位简单判断，试卷前几道小题必考。
2. 核心拉分点：网格图形面积计算、平移正反互推、方位坐标综合、坐标系动点解答题。
3. 高频易错汇总：横纵坐标顺序颠倒、距离忘记加绝对值、平移加减符号记反、方位描述缺少观测点 /距离、求面积底高不垂直、逆向平移运算不变号。
三角形
三角形
(__________)