第二十七章 反比例函数（暑假单元自测）新九年级数学新教材人教版练习卷含答案

这是一份第二十七章 反比例函数（暑假单元自测）新九年级数学新教材人教版练习卷含答案，共19页。
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
考前须知：
1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将各点横坐标代入反比例函数解析式，计算得到的纵坐标与点的纵坐标一致，即为函数图象经过的点．
【详解】解：选项A：当时，，则点不在函数图象上；
选项B：当时，，则点不在函数图象上；
选项C：当时，，与点的纵坐标相等，则点在函数图象上；
选项D：当时，，则点不在函数图象上．
2．如图，反比例函数的图象经过点，当时，x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】反比例函数图象在点上方部分对应的的取值范围，即为时，x的取值范围．
【详解】解：由图可得，当时，x的取值范围是．
3．若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数与反比例函数图象，分为或两种情况得到反比例函数和二次函数图象的位置，逐项判断解答即可．
【详解】当时，反比例函数图象位于一、三象限，二次函数图象开口向下，与y轴交点位于x轴上方；
当时，反比例函数图象位于二、四象限，二次函数图象开口向上，与y轴交点位于x轴下方；
符合题意的图象为D选项，
故答案为：D．
4．如图，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且的面积为8，若双曲线经过边的中点C，则k的值为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】A
【分析】设、，则，根据的面积为8求出，再将C点坐标代入双曲线解析式，从而求出的值．
【详解】解：设、，
∵点C是边的中点，
，
点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，
、，
，
，
，
将代入得：．
5．已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据判断反比例函数的象限分布，再结合每个象限内随的变化规律即可比较大小.
【详解】解：∵反比例函数中，
∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，
∵点，的横坐标都小于，
∴，两点都在第三象限，
∵，
∴，
又∵点的横坐标，
∴点在第一象限，可得，
综上可得.
6．小王记录了家中扫地机器人（电量完全耗尽）充电状态下显示屏显示的电量与充电时长t（单位：）的部分数据如下表：
通过表中数据，小王发现该扫地机器人充电状态下显示屏显示的电量与充电时长之间满足学过的某种函数关系．则与之间的函数关系式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据数据判断函数形式，再代入已知点求系数，最后验证其余数据即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴电量与充电时长之间不是反比例函数关系．
由表格数据可知，时，假设其为一次函数，设函数关系式为．
把，代入解析式得．
解得，
得函数关系式为．
验证其余数据：当时，，符合数据；当时，，符合数据．
因此与之间的函数关系式为．
7．关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象位于第一、三象限
B．在自变量x的取值范围内，y随x的增大而增大
C．点可能在该函数图象上
D．若点在该函数的图象上，则点也在该函数的图象上
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，结合图象上点的坐标满足，逐一判断选项即可．
【详解】解：已知反比例函数，其中．
∵，
∴反比例函数的图象位于第二、四象限，A错误．
∵，
∴只有在每个象限内，随的增大而增大，并非在整个的取值范围内随增大而增大，B错误．
若点在该函数图象上，则，
整理得，
配方得，等式左边恒大于0，无实数解，
因此该点不可能在函数图象上，C错误．
若点在函数图象上，则，
对于点，有，满足的关系，
因此点也在该函数图象上，D正确．
8．某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积（单位：公顷/人）与总人口（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多
B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比
C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人
D．当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷
【答案】D
【分析】根据题意，判断出人均耕地面积y与总人口x成反比例关系，根据成反比例关系可判断A、B，再根据所列代数式求x值或y值，可判定C，D．
【详解】解：根据题意，，则，
故该村人均耕地面积y与总人口x成反比例，人均耕地面积随总人口的增多而减少，
故选项B、A错误，不符合题意；
当时，由得，即若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有25人，故选项C错误，不符合题意；
当时，，即当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷，故选项D正确，符合题意．
9．如图，的顶点在反比例函数的图象上，交轴于点，平分，点的纵坐标为，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作轴于点，由平行四边形的性质和角平分线的定义可得，则，结合轴可得，从而得到点的坐标．
【详解】解：如图，作轴于点，
∵点的纵坐标为，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点的坐标为．
10．如图，点、、、、在反比例函数的图象上，点、、、、在轴上，且，直线与双曲线交于点，，，，，则的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点作轴于点，先求出交点，进而得出，，则是等腰直角三角形，得出，根据平行设直线的解析式为，求出，从而得出，利用坐标两点距离公式，得出，结合等腰直角三角形的性质，，同理可得，，，，……，则，即可得解．
【详解】解：如图，过点作轴于点，
联立，解得：或（舍），
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
设直线的解析式为，
在直线的图象上，
，
直线的解析式为，
联立，解得：或（舍），
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
同理可得，，，，……
，
．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________．
【答案】4
【分析】若点在反比例函数图象上，则点的坐标满足反比例函数解析式，将点坐标代入解析式即可求出的值．
【详解】解：点在反比例函数的图象上，
将，代入得：，
则．
12．将点向上平移个单位长度落到函数的图象上，则的值为__．
【答案】
【分析】先根据点平移的坐标变化规律得到平移后点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，将点坐标代入反比例函数解析式求解的值即可．
【详解】解：根据点平移的坐标变化规律，向上平移个单位长度，横坐标不变，纵坐标加，可得平移后点的坐标为，
平移后的点落在函数的图象上，
将代入得 ，即 ，
解得．
13．已知点，在反比例函数（为常数）的图象上，则与的大小关系是______．
【答案】
【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，得到反比例函数的增减性，再根据两点横坐标的大小关系比较纵坐标的大小即可．
【详解】解：对于反比例函数，其比例系数，
任意实数的平方非负，即，
，
反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小.
点，满足，
两点都在第三象限的函数图象上，
．
14．如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________．
【答案】
【分析】连接，，由轴可得，再根据反比例函数的几何意义可知，，即可列方程求解．
【详解】解：连接，，
轴，
，
点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，
，，
，
解得．
15．氦气球内的氦气密度小于空气密度（氦气比空气轻），因此氦气球很容易飞上天．某氦气球内充满了一定质量的氦气，当温度不发生变化时，在一定范围内，氦气球内的气体压强是气体体积的反比例函数，其函数图象如图所示．当气体体积是时，气体压强p为______．
【答案】60
【详解】解：设该函数的表达式为，
由题意知，
∴，
所以该函数的表达式为．
当时，．
16．如图，点P在反比例函数的图像上，过点P作轴，垂足为H，连接，如果的面积为3，那么这个反比例函数的表达式为_____________．
【答案】
【分析】根据反比例函数系数的几何意义，可知的面积等于，结合图像所在象限确定的符号，即可求出函数表达式．
【详解】解：设点的坐标为
∵点在反比例函数的图像上，
∴
∵轴，垂足为，
∴，
在中，
解得
由图像可知，反比例函数图像位于第一、三象限
∴
∴
故这个反比例函数的表达式为．
三、解答题（第17--第22题，每题8分；第23，24题，每题12分；共8小题，共72分）
17．已知反比例函数的图象经过点．
(1)求这个反比例函数的表达式．
(2)判断点是否在这个反比例函数的图象上．
【答案】(1)
(2)点不在这个反比例函数的图象上
【分析】（1）将点代入即可求出反比例函数表达式；
（2）将点的横坐标代入解析式，解出纵坐标看是否与点一致即可．
【详解】（1）将点代入，解得：
，
，
所以反比例函数解析式是：．
（2）将点的横坐标代入，解得：
，
，
所以点不在这个反比例函数的图象上．
18．人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，已知视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数，当车速为时，视野为80度．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)求当车速为时，视野的度数．
【答案】(1)
(2)当车速为时，视野的度数为40度．
【分析】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求出函数解析式是关键．
（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出当时的函数值即可得到答案．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为（为常数，且），
将代入，得，
解得，
与之间的函数关系式为．
（2）当时，
当车速为时，视野的度数为40度
19．已知点，在反比例函数的图象上．
(1)若，，求的值；
(2)若，，，且点在不同象限，求的取值范围．
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）把，分别代入求出，即可求解差值；
（2）易得点在第三象限，点在第一象限，列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
当时，
；
（2）解：∵，，
∴反比例函数的图象过一，三象限，
∵，点在不同象限，
∴点在第三象限，点在第一象限，
，解得，
即的取值范围是．
20．如图，小李家购买的立式恒温电热水器的最大容量为，电热水器热水出水率为，热水出水率，家里的手持花洒每分钟出水量为，用该电热水器洗澡的最大时间为；
(1)求与的函数关系式；
(2)经查看说明书，发现该手持花洒每分钟水流量的范围是，小李下午打球回来后，发现家里停电了，想用该电热水器里已加热的热水洗澡，请判断电热水器中的热水够不够用？并说明理由．
【答案】(1)
(2)够用，见解析
【分析】（1）根据题意列出反比例函数解析式即可；
（2）根据函数解析式求出自变量的取值，然后进行比较即可．
【详解】（1）解：热水输出容积为，
∴，
∴；
（2）解：热水够用，理由如下：
当时，，
解得x=，
经检验：x=是原方程的解，
∵，
∴电热水器中的热水够用．
21．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)连接，若的面积是3，求的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）将点代入，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）延长 交轴于点，根据反比例函数的意义得出，，根据的面积是3，建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，
，

反比例函数的表达式为．
（2）解：延长 交轴于点
点在反比例函数的图象上，
．
点在反比例函数的图象上，
，
，
解得．
22．如图，已知是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)根据图象直接写出不等式时x的解集．
【答案】(1)，
(2)6
(3)或
【分析】（1）把代入求出反比例函数的解析式，可求出点A的坐标，再利用待定系数法解答即可；
（2）求出点，根据解答即可；
（3）直接观察图象，即可解答．
【详解】（1）解：∵在函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：．
∵点在函数的图象上，
∴，
∴，
∵经过，，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：∵C是直线与x轴的交点，
∴当时，，
∴点，
∴，
∴；
（3）解：不等式时x的解集为或．
23．反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，点在上，点、均在第一象限，且点在点的左上方，直线、与轴分别交于点、．
(1)如图1，已知点，点，
直接写出：①点的坐标是 ；②与的数量关系是 ；
(2)若（1）中的条件点坐标不变，随着点的变化，判断（1）中的“与的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由；
(3)如图2，直线、与轴分别交于点、，经过探索发现：随着点、的变化，与的乘积只与的取值有关，请用只含的代数式表示与的乘积．
【答案】(1)，相等，
(2)解：成立，理由如下：
反比例函数（）过，点，
∴，即，
设，设直线为，
∵，
∴，解得：，
∴直线为，
∴，
∵，，
同理可得直线为：，
∴，
∴，，
∵，，
∴.
(3)
【分析】（1）由反比例函数的性质可得，分别求解直线为，直线为，进一步结合勾股定理求解；
（2）设，求解直线为，直线为：，进一步结合勾股定理求解；
（3）设点，点，点，求解直线的解析式为： 直线的解析式为：，进一步求解即可.
【详解】（1）解：∵反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，
∴，
设直线为，而点，
∴，
解得：，
∴直线为，
∴，
∵，，
同理可得直线为，
∴，
∴，，
∴.
（2）略
（3）解：设点，点，点，
同理可得：直线的解析式为：，
当，，
当，，
解得：，
∴点，点，
同理可得：直线的解析式为：，
同理：点，点，
∴，，
与的乘积．
24．若关于x的一次函数与二次函数同时满足 ，则称函数与函数互为“联络”函数．根据该约定，解答下列问题：
(1)请你判断下列说法是否正确(在题后相应的括号中，正确的打“”，错误的打“”)；
①一次函数的“联络”函数为；________
②一次函数的“联络”函数的顶点在反比例函数的图象上；
③关于x的一次函数的“联络”函数的图象与x轴一定会有公共点．
(2)平面内有一点，将P点向左平移个单位长度，或者将P点向右平移k个单位长度，或者将P点向下平移个单位长度，平移后的三个对应点都在一次函数的“联络”函数的图象上，试求k和a的值；
(3)若关于x的一次函数的“联络”函数的图象与x轴交于不同两点A，B，函数的图象与它的“联络”函数的图象交于不同两点C，D，记以A，B，C，D为顶点的四边形的面积为S，其中实数．令求w的取值范围．
【答案】(1)①；②；③
(2)，
(3)
【分析】（1）已知一次函数，则可求得其“联络”函数，根据相关知识即可判断各说法；
（2）先求出点P平移后的点的坐标；再求出函数，由抛物线的对称性质求得k的值，进而求得a的值；
（3）求出函数，它与x轴的两个交点，再设，求出，根据，利用二次函数的知识即可求解．
【详解】（1）解：关于x的一次函数与二次函数同时满足 ，
则，
∴，
∴，；
①一次函数的“联络”函数为，故说法错误；
②一次函数的“联络”函数，
∵，其顶点为，
∴，
∴顶点在反比例函数的图象上，故说法正确；
③关于x的一次函数的“联络”函数，
当，
，
∴的图象与x轴一定会有公共点，故说法正确．
（2）解：将P点向左平移个单位长度得到点；或者将P点向右平移k个单位长度得到点，或者将P点向下平移个单位长度得到点；
由（1）知，一次函数的“联络”函数，且点在函数的图象上，关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线的对称轴为y轴，
∴，
解得，
∴，；
将上述两点代入得，解得；
即，；
（3）解：由（1）知，一次函数的“联络”函数为，
令，
解得，
∴与x轴的两个交点坐标分别为，
∵，
∴，
∴，
设函数与的两个交点为，
令，
整理得，
由题意知，是上述方程的两个不同的解，
∴，
∵，
∴，
∴，
即异号，
∴两点中有一点位于的上方，另一点则位于的下方，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∵
，
令，则，
∵，
∴，
对于函数，当时，y随t的增大而增大，
当时，；当时，
∴当时，，
∴．
充电时长
0
20
100
120
…
电量
0
10
50
60