第27讲 正多边形与圆（8类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版含答案

这是一份第27讲 正多边形与圆（8类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版含答案，共19页。试卷主要包含了边数相同的正多边形相似等内容，欢迎下载使用。
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 正多边形和圆有关的角度计算
题型2 正多边形和圆有关的周长、面积问题
题型3 正多边形的边长、半径与中心角的关系
题型4 正多边形的边长、半径与边心距的关系
题型5 正多边形和圆有关的尺规作图问题
题型6 正多边形和圆与平面直角坐标系的综合
题型7 正多边形和圆中的证明
题型8 正多边形和圆中的最值问题

04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
知｜识｜框｜架

知｜识｜精｜讲

知识点01 圆内接正多边形
正多边形的性质
1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
5.任何正多边形都有一个外接圆 和一个内切圆，这两个圆是同心圆
要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.
正多边形的相关计算
设正n边形的半径长为 Rn、中心角为αn、边长为an、边心距为rn，则利用等腰三角形 OAB，通过解直角三角形 OAH，可由其中两个量求出其余的两个量.进一步还可以求出这个正 n边形的周长及面积.
【易错提醒】
圆内接正多边形顶点都在圆上，中心角等于边数分之三百六十度。易错：混淆边心距、半径、边长，计算时搞错对应直角三角形三边
即时即练1．如图，和分别是某一个圆内接正六边形和圆内接正方形的一边，若，则下列说法不正确的是（ ）
A．该圆的半径是1B．弦的长是
C．的长为D．是的2倍
2．如图，边长为2的正是的内接三角形，则阴影部分的面积为_________．
3．窗花是我们节日装饰的元素之一．如图是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心，所在圆的圆心恰好是的内心，且．
(1)猜想的形状，并说明理由．
(2)求图中阴影部分的面积．（结果保留）
题型1 正多边形和圆有关的角度计算问题
【例1】如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【例2】如图，正五边形内接于⊙O，点F是劣弧上一点(点F不与点D，E重合)，连接，，则（ ）
A．B．C．D．
【技巧归纳】
先求中心角、内角、外角，借助半径等分圆心角，利用等腰三角形、圆周角性质，列式求解相关夹角大小
【变式1-1】如图，正五边形内接于，点P在上，连结，则的度数为 ．
∵正五边形内接于，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式1-2】如图， 正五边形内接，点F是的中点， 连接，交于点G， 则的度数是 ．
题型2 正多边形和圆有关周长、面积问题
【例3】如图，正六边形内接于，已知的周长是，则该正六边形的边长是（ ）
A．3B．C．6D．
【例4】正六边形的周长为6，则它的面积为（ ）
A．B．C．D．
【技巧归纳】
把正多边形拆成多个全等等腰三角形，求出边长再算周长；利用边心距、边长，套用公式计算整体面积
【变式2-1】如图，正五边形的边长为5，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的周长为 ．（结果保留）
【变式2-2】“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的面积是 ．
题型3 正多边形的边长、半径与中心角的关系
【例5】如图，正六边形的中心角的度数为（ ）
A．B．C．D．
【例6】如图，已知正五边形ABCDE内接于，连接OB，OE，BE，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【技巧归纳】
作边心距构造直角三角形，中心角平分一半为锐角，用三角函数建立半径、边长一半、边心距三者等量关系求解
【变式3-1】俗话说“瑞雪兆丰年”，2023年冬季湖南境内出现多次降雪，预示着2024年是一个丰收之年．如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是 ．
【变式3-2】如图，正方形内接于，则的度数是 ．
题型4 正多边形的边长、半径与边心距的关系
【例7】若正六边形的边长为4，则此正六边形的边心距为（ ）
A．2B．C．3D．
【例8】如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距和的长分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【技巧归纳】
过中心作边的垂线拆分直角三角形，斜边为外接圆半径，两条直角边分别是边心距、边长一半，借助勾股或三角函数互相求解
【变式4-1】圆内接正三角形的边心距与半径的比是 ．
【变式4-2】如图，由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙．如果直角三角形最短边的长为4，那么小正六边形的边心距是 ．
题型5 正多边形和圆有关的尺规作图问题
【例9】如图，已知，请用尺规做的内接正四边形．（保留作图痕迹，不写做法）
【例10】如图，已知和上的一点A．
【实践与操作】
（1）作的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）．
【应用与证明】
（2）连结，，判断四边形的形状，并加以证明．
【技巧归纳】
先等分圆得到对应顶点，依次连接顶点画出正多边形；利用圆规截取等弧，借助特殊圆心角完成等分作图
【变式5-1】请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
(1)如图1，五边形是正五边形，画一条直线把这个五边形分成面积相等的两部分：
(2)如图2，的外接圆的圆心是点，是的中点，画一条直线把分成面积相等的两部分；
【变式5-2】（1）如图1，用无刻度的直尺和圆规在图1中作出的内接正六边形，保留作图痕迹．
（2）如图2、图3是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．其中点A、点D为格点，经过点A、点D，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务．
①如图2，过点O作的垂线，交于；
②如图3，点B在上，过点B作弦．
题型6 正多边形和圆与平面直角坐标系的综合
【例11】如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点，在轴上，顶点在轴上，若正六边形的中心点的坐标为 则点的坐标为 （ ）
A．B．C．D．
【例12】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【技巧归纳】
利用圆半径与中心角，结合三角函数算出顶点横纵坐标，再借助坐标公式求解边长、角度与动点相关问题
【变式6-1】在平面直角坐标系中，正六边形按如图所示的方式放置，若点的坐标为 ，则点的坐标为 ．
【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为
题型7 正多边形和圆中的证明
【例13】如图，正方形内接于，E是的中点，连接．

(1)求∠E的度数．
(2)求证：．
(3)若，则点E到的距离为 ．
【例14】如图，正方形内接于，M为上的一点，连接．
(1)若，求证：M为的中点．
(2)若正方形的面积为4，请直接写出的半径．
【技巧归纳】
利用等弧对等弦、等圆心角，证明多边形各边相等、各内角相等，结合圆的性质完成正多边形相关推理论证
【变式7-1】如图，是中国人民银行年发行的铝锌合金外圆内凹九边形立体感极强的“菊花1角硬币”．霖霖移动该硬币（）与直角三角形（）形成如图所示位置．其中，是内接正九边形的一条边，经过点和圆心，点是与的交点，，．
(1)求证：是的切线；
(2)若切于点，且霖霖测得，，求该硬币（）的直径为多长（精确到）．
【变式7-2】如图，正五边形内接于中，连结，，，交于点．
(1)若半径为5，求弧的长；
(2)求证：；
(3)求证：点为的黄金分割点．
题型8 正多边形和圆中的最值问题
【例15】如图，的圆心与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为2，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【例16】如图，已知边长为2的正顶点A的坐标为，的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中的最小值为（ ）
A．3B．C．4D．
【技巧归纳】借助圆上点到定点距离最值规律，结合正多边形顶点位置，分析最远、最近位置，利用半径、边长列式求解最值。
【变式8-1】如图，在正六边形中，，O为的中点，以O为圆心，为半径作，M为上一动点，设点M到正六边形上的点的距离为d．
（1） ．
（2）当面积最小时，点M到的距离为 ，d的最大值为 ．
【变式8-2】将7个边长均为1的正六边形不重叠、无缝隙地按如图所示摆放．
（1） ；
（2）已知点在边上，则的最大值为 ．
一、单选题
1．（2026·辽宁沈阳·二模）下列图形是由圆及其内接正多边形组成的，将其绕圆心旋转后，能与原图形完全重合的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·辽宁锦州·二模）如图，从边长为3的正六边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），则该扇形的面积是（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2026·山西朔州·模拟预测）如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（ ）
A．B．C．D．
5．（2026·广东广州·二模）如图，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，顶点C，F在x轴上，将正六边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（25-26九年级下·上海·阶段检测）已知是内接正十边形的一条边，是内接正十五边形的一条边，那么是内接正_____边形的边．
7．（2026·陕西西安·三模）如图，正五边形内接于中，P是劣弧上一点，则的度数为______．
∵正五边形内接于，
∴，
∴．
8．（2026·广东广州·三模）如图，正五边形的边长为10，点、在上，则的长是_______．
9．（2026·陕西咸阳·一模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正六边形，连接，若该正六边形的半径为2，则的长为________．
10．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________．
三、解答题
11．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，是边长为4的正方形的外接圆．求图中阴影部分的扇形面积．
12．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，正六边形内接于，过点O作于点M，半径，求边心距的长．
13．（24-25九年级上·陕西延安·期末）如图，正六边形内接于，与相切于点，求的度数．
14．（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）大圆O和小圆O为同心圆，正六边形为大圆O的内接正六边形，连接．连接与交于点K，同时小圆O与相切于点K．
(1)求证：是小圆O的切线．
(2)若，求阴影部分的面积．（结果用表示）
15．（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形．
(1)求该地基的周长；
(2)求该地基的面积（结果保留根号形式）；
(3)若正六边形的半径用表示，写出正六边形的面积与之间的函数关系式．
关键词
学习目标导航
正多边形、中心、半径、边心距、中心角、等分圆周、尺规作图。
1. 理解正多边形与圆的关系，知道正多边形可以看成是圆的内接或外切正n边形。
2. 掌握正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念，能进行相关计算。
3. 能用量角器或尺规将圆分成n等份，作出正n边形（如正四边形、正六边形）。
4. 体会“等分圆周”的转化思想，感受正多边形与圆的密切联系以及图形的对称美。
学习重点:正多边形的相关概念（中心、半径、边心距、中心角）及其计算。
学习难点:理解正多边形的半径、边心距、边长、中心角之间的关系，能构造直角三角形（由半径、边心距、半边长组成）进行求解，以及用量角器或尺规作正多边形。