专项训练07 反比例函数与几何图形的综合问题（暑假复习巩固培优）新九年级数学新教材人教版

这是一份专项训练07 反比例函数与几何图形的综合问题（暑假复习巩固培优）新九年级数学新教材人教版，共19页。

【知识点1 反比例函数与三角形的综合问题】
解题方法总结
1.坐标化转化：设反比例函数上关键点坐标（如y=k/x上点为(x, k/x)），将三角形边长、顶点转化为坐标关系。
2.用面积列等式：利用三角形面积公式（底×高/2），结合坐标表示底和高，建立关于k的方程求解。
3.结合函数性质：利用反比例函数k的几何意义（过双曲线上点作坐标轴垂线，形成的矩形/三角形面积为|k|/2）快速关联。
解题技巧总结
1.优先用k的几何意义：遇到与坐标轴垂直的三角形，直接用面积与k的关系，省去复杂计算。
2.巧设动点坐标：设横坐标为a，纵坐标用k/a表示，简化含参运算，聚焦面积或边长关系。
3.数形结合找关系：通过图象确定三角形顶点位置，明确底、高对应的横纵坐标差，避免坐标符号错误。
【知识点2 反比例函数与平行四边形的综合问题】
解题方法总结
1.坐标化建模：设反比例函数y=kx上顶点坐标为(x, kx)，结合平行四边形顶点坐标关系（如对边平行、中点重合）列等式。
2.用性质建方程：利用平行四边形对边相等、对角线互相平分等性质，转化为坐标运算，结合反比例函数关系求k或顶点坐标。
3.结合面积关联：通过平行四边形面积公式（底×高），关联反比例函数k的几何意义，建立方程求解关键参数。
解题技巧总结
1.巧用中点公式：平行四边形对角线中点相同，快速建立不同顶点坐标间的等式，简化计算。
2.定边定高简化：固定一边为底，利用坐标轴转化高为横/纵坐标差，结合反比例函数坐标特征解题。
3.分类讨论顶点：考虑顶点在双曲线不同象限的情况，避免漏解，结合图象验证坐标合理性。
【知识点3 反比例函数与矩形的综合问题】
解题方法总结
1. 坐标化顶点：设反比例函数y=kx上的矩形顶点为(x,kx)，其余顶点结合矩形“边垂直坐标轴”特征确定坐标。
2. 用性质建等式：利用矩形对边相等、四角为直角的性质，结合坐标表示边长，或通过面积公式（长×宽）建立方程求k。
3. 关联k的几何意义：矩形一边平行坐标轴时，面积等于|k|（由双曲线几何意义推导），直接关联面积与k值。
解题技巧总结
1. 优先用k的几何意义：矩形顶点在双曲线且边平行坐标轴时，直接用面积=|k|秒求k，省去复杂运算。
2. 巧设单变量坐标：设一个顶点横坐标为a，纵坐标为ka，其余顶点坐标顺势推导，简化含参计算。
3. 结合边长验符号：根据矩形顶点所在象限，判断x、kx的正负，确保k值符号与图象一致，避免错解。
【知识点4 反比例函数与菱形的综合问题】
解题方法总结
1.坐标化顶点与函数关联：设反比例函数y=kx上的菱形顶点为(x, kx)，其余顶点结合菱形性质（四边相等、对角线垂直平分）确定坐标。
2.用性质建方程求解：利用对角线互相垂直平分、边长相等的性质，结合距离公式列等式，或通过面积（对角线乘积的一半）关联k值。
3.结合函数特征验证：利用反比例函数对称性，匹配菱形的中心对称特性，校验顶点坐标与k值合理性。
解题技巧总结
1.巧用对角线中点一致：菱形对角线中点相同，快速建立顶点坐标关系，简化参数计算。
2.优先用面积搭桥：通过菱形面积公式结合反比例函数k的几何意义，快速建立等式求k，减少复杂运算。
3.分类讨论顶点位置：考虑顶点在双曲线不同象限的情况，结合菱形边长非负性，避免漏解或符号错误。
【知识点5 反比例函数与正方形的综合问题】
解题方法总结
1.坐标化建模：设反比例函数y=kx上正方形顶点为(x, kx)，其余顶点结合正方形“边垂直且相等、对角线相等平分”特征定坐标。
2.用性质建方程：利用边长相等（距离公式）或对角线关系列等式，或通过面积（边长²、对角线乘积/2）关联k值。
3.结合函数特性验证：借助反比例函数中心对称性，匹配正方形对称特征，校验k值与坐标合理性。
解题技巧总结
1.优先用边长/面积速算：若边平行坐标轴，正方形面积=|k|，直接求k；不平行则用坐标差表边长，简化运算。
2.巧设单变量简化：设一个顶点横坐标为a，纵坐标为ka，利用正方形边的垂直/相等关系推导其他顶点，减少参数。
3.锁定符号与象限：根据正方形顶点所在象限，确定x与kx正负，确保k值符号符合图象，避免错解。
【题型1 反比例函数与三角形的综合问题】
1．如图，在中，，轴，垂足为．反比例函数的图象经过点，交于点．已知，．

(1)若，求的值：
(2)连接，若，求的长．
2．（24-25九年级上·广东珠海·期末）已知等边，边长为4，点A在第一象限，点B在x轴上，反比例函数经过的中点M，与边相交于点N．
(1)求k的值；
(2)连接、，求△OMN的面积．
【题型2 反比例函数与平行四边形的综合问题】
3．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，平行四边形的面积为．
(1)求反比例函数的解析式
(2)连接，点为边与反比例函数图象的交点，点为轴上一动点，若点为的中点，，求点的坐标．
4．如图1，已知，，平行四边形的边分别与轴、轴交于点，且点为中点，双曲线（为常数，）经过两点．
(1)求值；
(2)如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数（为常数，）图像于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点坐标；
(3)点在双曲线上，点在轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标 ．
【题型3 反比例函数与矩形的综合问题】
5．如图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E．
(1)求反比例函数的解析式及点E的坐标；
(2)若点F是边上的一点，且为等腰三角形，求直线的解析式．
6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边和分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图像与、分别交于点、，连接．

(1)如图1，连接、，当的面积为2时，
① ；
②求的面积；
(2)如图2，连接交于点，求证：点是线段的中点．
【题型4 反比例函数与菱形的综合问题】
7．如图，菱形的顶点为原点，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，点在轴正半轴上，点为的中点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)尺规作图：过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点（保留作图痕迹，不写作法）；
(3)求点的坐标．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A，点C在x轴的正半轴上，点，连接，，，，四边形是菱形．
(1)求m和k的值；
(2)设点P是x轴上的点，且，求点P的坐标．
【题型5 反比例函数与正方形的综合问题】
9．如图，已知点是x轴上的动点，点B的坐标为，以为边在右侧作正方形．
(1)当时，反比例函数的图象经过点D，求反比例函数的表达式；
(2)当正方形的边与反比例函数的图象有4个交点时，直接写出a的取值范围．
10．已知直线与轴交于点，与轴交于点，以为边在第一象限内作正方形，双曲线经过点，连接交于点，连接．
(1)求双曲线的函数关系式；
(2)双曲线与正方形是否存在除点外的公共点，若存在，请直接写出另一交点坐标，若不存在，直接填“不存在”结论：______；
(3)四边形的面积为______（直接填答案）．

1．如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过菱形的顶点A．若菱形的面积为6，则的值为（ ）
A．B．C．3D．6
2．如图，四边形是正方形，四边形是矩形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，反比例函数的图象经过点与交于点．若四边形的面积为，则的长为（ ）
A．B．C．4D．3
3．如图，四边形是平行四边形，点C的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上．若点A、D在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A．4B．C．D．8
4．在平面直角坐标系中，反比例函数与矩形的边交于点D，与边交于点E，若D为中点，且的面积为5，则k的值为 ．
5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A、B都在x轴上，边与y轴交于点F，对角线的交点E落在反比例函数图象上，平行四边形的面积是16，且，则k的值为 ．
6．如图，在平面直角坐标系中，点、点都在双曲线上，点、点都在轴上，并且四边形和四边形都是菱形．若两个影阴部分的面积和为8，则的值为 ．
7．如图，已知平行四边形的顶点都在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，点的纵坐标为4，
(1)求A点坐标；
(2)连接，求平行四边形的面积．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A，点C在x轴的正半轴上，点，连接，，，，四边形是菱形．
(1)求m和k的值；
(2)设点P是x轴上的点，且，求点P的坐标．
9．如图，矩形的两边的长分别为3，8．边落在x轴上，E是的中点，连接，反比例函数的图象经过点E，与交于点F．
(1)若，求F点坐标；
(2)若，求反比例函数的解析式．
10．如图，在平面直角坐标系中，等腰的底边在x轴上，点B，C的坐标分别为，反比例函数的图象交于点A，D．
(1)求k的值；
(2)将沿x轴向左平移t（）个单位长度，当反比例函数的图象与三角形至少有一个公共点时，求t的取值范围．
1．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为菱形，且．
(1)求经过点C的反比例函数的解析式；
(2)设P是（1）中所求函数图象上一点，若的面积是的面积2倍，求点P的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点、、的坐标分别为、、，顶点在第一象限，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)连接，若点是反比例函数的图象上的一点，且以点、、为顶点的三角形面积与的面积相等，求点的坐标．
3．已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E．
(1)求m的值和E的坐标；
(2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标；
(3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图中，平面直角坐标系中，已知反比例函数的图像，在平面直角坐标系中有一矩形如图所示，在x轴与y轴上点坐标．图像并与反比例函数图像相交于点C；将矩形翻转，使与x轴平行并重合且平移图像使点D与原点O重合，翻转后的矩形图像与反比例函数图像相交于点F，连接并将两端同时延长交于x轴，y轴于点N和点M．
(1)求直线和反比例函数图像的表达式；
(2)求M，N两点的坐标．
5．已知，直线与反比例函数交于点，且点的横坐标为4，过轴上一点作垂直于交于点，如图．
(1)若点是线段上一动点，过点作，，垂足分别于、，求线段长度的最小值．
(2)在（1）的取得最小值的前提下，将沿射线平移，记平移后的三角形为，当时，在平面内存在点Q，使得A、、、Q四点构成平行四边形，这样的点Q有几个？直接写出点Q的坐标．