第13讲 反比例函数的概念（6类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版含答案

这是一份第13讲 反比例函数的概念（6类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版含答案，共19页。
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 用反比例函数描述数量关系
题型2 根据定义判断是否是反比例函数
题型3 根据反比例函数的定义求参数
题型4 求反比例函数的值
题型5 由反比例函数值求自变量
题型6 求反比例函数的解析式
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
知｜识｜框｜架

知｜识｜精｜讲

知识点01 反比例函数的定义
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数.
一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.
特别说明：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.
（2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.
（3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.
【易错提醒】
反比例函数定义易错警示：形如y=kx（k≠0）或xy=k。注意：自变量x在分母，次数为1，且x≠0。k≠0是必要条件，勿忽略。避免与正比例函数混淆。
即时即练1．把化为的形式： ，其中 ；
【答案】
【知识点】根据定义判断是否是反比例函数
【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据反比例函数的形式变形即可．
【详解】解：由得，所以，
故答案为：，．
2．下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是的反比例函数的有 （填序号）．
【答案】②⑤/⑤②
【知识点】根据定义判断是否是反比例函数
【分析】本题主要查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义解答即可．
【详解】解：是的反比例函数的有，．
故答案为：②⑤
3．若是反比例函数，则a的值为 ．
【答案】
【知识点】根据反比例函数的定义求参数
【分析】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是将一般式转化为的形式．根据反比例函数的定义．即，只需令，即可．
【详解】解：由题意得：且，；
解得，又；
．
故答案为：．
知识点02 确定反比例函数的关系式
确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.
用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
（1）设所求的反比例函数为： ()；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；
（3）解方程求出待定系数的值；
（4）把求得的值代回所设的函数关系式 中.
【易错提醒】
确定反比例函数关系式易错警示：一般用待定系数法设y=kx，代入一组对应值求出k。注意k≠0，且x与y对应准确。也可用xy=k直接计算，避免符号错误。
即时即练1．已知反比例函数的图象经过点，则k的值为 ．
【答案】12
【知识点】求反比例函数解析式
【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质．根据题意将点代入解析式，即可进行求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴；
故答案为：．
2．已知y与x成反比例，且当时，．
(1)求函数的关系式；
(2)当时，y的值是多少？
【答案】(1)
(2)8
【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值
【分析】本题考查的是反比例的含义，求解反比例函数解析式；
（1）设解析式，然后把一组对应值代入求出k即可；
（2）把x的值代入（1）中解析式即可得到对应的函数值．
【详解】（1）解：设解析式为：，
把，代入得，
所以函数解析式为；
（2）当时，．
3．已知与成反比例，当时，．
(1)求y与x的函数解析式；
(2)当时，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求反比例函数解析式、由反比例函数值求自变量
【分析】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的关系式．
（1）根据与成反比例关系，且当时，求出k的值，进而可得出反比例函数的解析式；
（2）把代入求出x的值即可
【详解】（1）解：∵与成反比例关系，
∴，
∵当时，，即，
解得，
∴y与x的关系式为；
（2）解：∵由（1）知y与x的关系式为，
∴当时，，
解得：．
题型1 用反比例函数描述数量关系
【例1】下列成反比例关系的是（ ）
A．圆的面积一定，它的半径与圆周率B．平行四边形的面积一定，它的底与高
C．同学的年龄一定，他们的身高与体重D．三角形的高不变，它的底和面积
【答案】B
【分析】此题考查反比例的定义：两种相关联的量的乘积为定值时，它们成反比例关系，逐一分析各选项中的两个量是否满足该条件
【详解】解：A. 圆的面积公式为，当面积一定时，是常数，也随之固定，二者无变化关系，不成反比例；
B. 平行四边形的面积公式为，当面积一定时，底与高的乘积为定值，符合反比例定义；
C. 年龄一定时，身高与体重无必然的乘积或比值关系，不成比例；
D. 三角形面积公式为，当高不变时，面积与底的比值为（定值），二者成正比例；
故选：B
【例2】下列问题中的两个变量是成反比例的是（ ）
A．被除数（不为零）一定，除数与商B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量
C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间
【答案】A
【分析】形如（为常数，）的函数称为反比例函数．看两个变量是否具有反比例关系，主要看它们的乘积是否为非零的常数．依据判断方法逐项分析即可．
【详解】解：A．被除数（不为零）一定，除数与商是反比例函数的关系，故此选项符合题意；
B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量是正比例函数的关系，故此选项不符合题意；
C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长是一次函数的关系，故此选项不符合题意；
D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间是正比例函数的关系，故此选项不符合题意．
故选：A．
【技巧归纳】
两个变量乘积为定值k，即y=k/x（k≠0）。先找出常量积，如矩形面积固定时长宽成反比。设未知数列式，注意自变量的实际意义（如边长>0）。根据k的正负判断图象所在象限。
【变式1-1】下面几组量不成反比例的是（ ）
A．路程一定，时间和速度
B．长方形面积一定，长和宽
C．圆周长一定，圆的直径和圆周率
D．比的前项一定，比的后项和比值
【答案】C
【分析】根据两个变量之积为定值时，两个变量成反比例，进行判断即可．
【详解】A、路程等于速度乘以时间，路程一定，时间和速度成反比例关系，故此选项不符合题意；
B、长方形面积一定，长和宽成反比例关系，故此选项不符合题意；
C、圆的周长，周长一定，圆周率一定，不成反比例函数，故此选项符合题意；
D、比的前项一定，比的后项和比值成反比例关系，故此选项不符合题意．
故选：C．
【变式1-2】下列说法正确的是（ ）
A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系；
B．车辆行驶的速度一定时，行驶的路程与时间成反比例关系；
C．周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系；
D．圆的周长与直径成正比例关系．
【答案】D
【分析】分别利用反比例函数、正比例函数关系分别分析得出答案．
【详解】解：A、一个人的体重与他的年龄成正比例关系，错误，不符合题意；
B、车辆行驶的速度一定时，行驶的路程与时间成正比例关系，不符合题意；；
C、周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系,错误，不符合题意；
D、圆的周长故与直径成正比例关系,符合题意．
故选：D
题型2 根据定义判断是否是反比例函数
【例3】下列函数中，是的反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数，逐一分析选项即可判断．
【详解】解：A．，不符合的形式，不是的反比例函数；
B．可变形为，符合的形式，是的反比例函数；
C．，不符合的形式，不是的反比例函数；
D．，不符合的形式，不是的反比例函数．
故选：B．
【例4】下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握“反比例函数解析式的一般式”是解题的关键．根据反比例函数的定义，即可判断各函数类型是否符合题意．
【详解】解：A、可变形为是的反比例函数，符合题意；
B、是的正比例函数，不符合题意；
C、不是的反比例函数，不符合题意；
D、，y不是的反比例函数，故本选项不符合题意；
故选：A．
【技巧归纳】
形式：y=k/x（k≠0）或xy=k，x指数为-1。注意变形后是否可化为上述标准式，如y=x/2是一次函数，y=2/x是反比例。排除其它函数形式，关注分母含自变量且分子为常数。
【变式2-1】下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能表示是的反比例函数的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】根据反比例函数的定义分析即可得出答案．
【详解】解：① ，是二次函数不是反比例函数；故①不符合题意；
② ，是反比例函数，故②符合题意；
③，不是反比例函数，故③不符合题意；
④，是反比例函数 ，故④ 符合题意；
⑤ ，是正比例函数不是反比例函数，故⑤不符合题意；
综上所述，能表示y是x的反比例函数的有个．
故选：．
【变式2-2】下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中是的反比例函数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义：形如（其中且为常数）的函数是反比例函数，据此定义判断即可．
【详解】解：①，不是的反比例函数；
②，是的反比例函数；
③，是的反比例函数；
④，不是的反比例函数；
⑤，即，是的反比例函数；
⑥，不是的反比例函数；
⑦，是的反比例函数；
⑧，不是的反比例函数；
综上所述，是的反比例函数的有②③⑤⑦，共4个．
故选：D．
题型3 根据反比例函数的定义求参数
【例5】若是反比例函数，那么m的值是 ．
【答案】
【知识点】根据反比例函数的定义求参数、利用平方根解方程
【分析】本题考查反比例函数定义求参数，解不等式及绝对值方程等知识，由反比例函数定义得到，且，求解即可得到，熟记反比例函数定义是解决问题的关键．
【详解】解：是反比例函数，
，且，
，
故答案为：．
【例6】已知函数 是反比例函数，则的值为（ ）
A．1B．C．1或D．任意实数
【答案】B
【知识点】根据反比例函数的定义求参数
【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义的形式，可得，由此即可求解．
【详解】解：根据题意可得，，
解得，，
∴，
故选：B ．
【技巧归纳】
将函数式化为y=kx⁻¹形式，指数为-1且系数k≠0。列方程：自变量指数为-1，同时系数不为0。若为xy=k形式，则k为常数且非零。解出参数后代入验证，排除使分母为0的情况。
【变式3-1】若函数是反比例函数，则的值是 ．
【答案】
【知识点】根据反比例函数的定义求参数
【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，则即可求解，解题关键是将一般形式转化为的形式．
【详解】解：∵函数是反比例函数，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式3-2】已知是关于的反比例函数，则 ．
【答案】
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、根据反比例函数的定义求参数
【分析】本题考查了反比例函数的定义、求代数式的值，反比例函数的一般形式是（为常数，），先根据反比例函数的定义求出的值，再代入计算即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，，
解得：，
∴，
故答案为：．
题型4 求反比例函数的值
【例7】已知反比例函数的图象经过点，则 ．
【答案】3
【知识点】求反比例函数值
【分析】本题考查反比例函数图象与性质，根据题意，将代入函数表达式解方程即可得到答案．熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
，解得，
故答案为：3 ．
【例8】已知函数．当时， ；当时， ．
【答案】
【知识点】求反比例函数值
【分析】本题主要考查了求反比例函数的函数值，直接把和分别代入中，求出对应的y的值即可得到答案．
【详解】解：在中，当时，；
当时，；
故答案为：1；．
【技巧归纳】
已知反比例解析式y=k/x，代入x得y值。若已知y，解x=k/y。也可利用xy=k直接求积。注意x和y非零，k为定值。实际问题中需考虑取值范围，如边长、时间为正数。
【变式4-1】若反比例函数的图象经过点和点，则m的值为 ．
【答案】
【知识点】求反比例函数值、求反比例函数解析式
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及反比例函数图象上点的特征，先由待定系数法求得，再把点代入反比例函数解析式即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
把代入得：，
故答案为：．
【变式4-2】已知，两点都在反比例函数的图像上，若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】求反比例函数值
【分析】本题考查反比例函数的有关计算，根据得到，，根据得到，代入式子即可得到答案．
【详解】解：∵，两点都在反比例函数的图像上，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
故答案为：．
题型5 由反比例函数值求自变量
【例9】若反比例函数的图象经过点，则的值为 ．
【答案】
【知识点】由反比例函数值求自变量
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，把点代入反比例函数解析式即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得：，
故答案为：
【例10】在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ．
【答案】0
【知识点】求反比例函数值、由反比例函数值求自变量
【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，将点和代入之中得，，由此可得的值．
【详解】解：∵函数的图象经过点和，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：0．
【技巧归纳】
根据反比例函数y=k/x，若已知y，则x=k/y（y≠0）。若已知xy=k，直接代入求另一变量。注意k为定值，且x、y均不为0。解出后检验是否符合定义域（如实际问题中非负等）。
【变式5-1】若函数的图象经过点和，则的值为 ．
【答案】2
【知识点】由反比例函数值求自变量、求反比例函数解析式
【分析】本题考查了求反比例函数的解析式．先将代入，求得该函数的解析式，再求得时，的值即可得到答案．
【详解】解：的图象经过点和，
，
该函数的解析式为，
当时，，即
故答案为：2．
【变式5-2】已知y与成反比例，且当时，，那么当时， ．
【答案】/
【知识点】由反比例函数值求自变量、求反比例函数解析式
【分析】本题考查了反比例关系，设，根据时，，求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：设，
当时，，
解得：，
∴，
当时，，
故答案为：．
题型6 求反比例函数的解析式
【例11】若y与x成反比例关系，且时，，求y与x的函数表达式．
【答案】
【知识点】求反比例函数解析式
【分析】本题考查求反比例函数的解析式，根据题意，设反比例函数的解析式为，把，，代入解析式进行求解即可．
【详解】解：设，
把，代入，得：，
∴，
∴．
【例12】一个反比例函数的图象经过点．
(1)求该反比例函数的解析式．
(2)当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值
【分析】本题主要考查了反比例函数的解析式及通过解析式求函数值，解题的关键是掌握待定系数法．
（1）将代入利用待定系数法求解即可；
（2）将代入求解即可．
【详解】（1）解：将代入得
∴该反比例函数的解析式为；
（2）解：当时，代入得
．
【技巧归纳】
设y=k/x，代入一对已知对应值（x,y）求出k，得解析式。若已知面积或矩形条件，利用k的几何意义：|k|=矩形面积。也可由xy乘积为定值得k。注意k≠0。
【变式6-1】函数（为常数）的图象过点．
(1)求的值；
(2)小明说：“该函数图象上的任意一点，若，则”，你赞同小明的说法吗？请说明理由．
【答案】(1)，
(2)不赞同，理由见解析
【知识点】求反比例函数解析式
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象性质是解题的关键．
（1）将代入求解即可．
（2）取特殊值判断即可．
【详解】（1）解：根据题意将代入，
则，
解得：，．
（2）解：不赞同
根据（1）可得，该函数图象上的任意一点，则，
当时，则有，
故小明说法不正确．
【变式6-2】已知，其中与成反比例，与成正比例，当时，，当时，．
(1)求与的函数表达式；
(2)当时，求的值
【答案】(1)
(2)
【知识点】求自变量的值或函数值、正比例函数的定义、求反比例函数解析式
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程，求函数值，熟悉正比例函数的定义，根据题意列出方程组是解本题的关键．
（1）设，，则，根据题意列出二元一次方程组，求出，即可得出答案；
（2）把代入（1）所求函数解析式，即可求解．
【详解】（1）解：与成反比例，
设
与成正比例，
设
，
当时，，当时，．
，解得
与x的函数表达式为；
（2）解：当时，．
一、单选题
1．若是反比例函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的标准形式是解题关键．
反比例函数的标准形式为或，其中为常数且，据此对选项进行判断．
【详解】解：反比例函数的标准形式为或，其中为常数且，
∵是反比例函数，，
∴．
故选：．
2．下列各点中，不在反比例函数的图象上的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：反比例函数为，可得．
A选项：点，，满足等式，点在图象上，不符合题意；
B选项：点，，满足等式，点在图象上，不符合题意；
C选项：点，，不满足等式，点不在图象上，符合题意；
D选项：点，，满足等式，点在图象上，不符合题意．
3．物体匀速下落过程中，下落高度与下落时间成函数关系，下列变量对应关系中，属于反比例函数的是（ ）．
A．路程一定，速度与时间B．圆的面积与半径
C．正方形周长与边长D．匀速行驶路程与时间
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数的定义，根据题意写出各选项变量的函数关系式，结合反比例函数定义（为常数，）判断即可．
【详解】首先明确反比例函数定义，形如（为常数，）的函数是反比例函数，
选项A中，设路程为，为定值且，速度为，时间为，由变形得，符合反比例函数定义，是反比例函数，A符合题意；
选项B中，圆面积，是二次函数，不是反比例函数，B不符合题意；
选项C中，正方形周长，是正比例函数，不是反比例函数，C不符合题意；
选项D中，匀速行驶时，设速度为定值，路程，是正比例函数，不是反比例函数D不符合题意．
4．有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，是的反比例函数的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，即形如（为常数，）或（为常数，）的函数为反比例函数，逐一分析各函数即可．
【详解】解：∵反比例函数的定义为（为常数，）或可变形为该形式，
①，符合（），是反比例函数；
②，是正比例函数，不是反比例函数；
③，符合（），是反比例函数；
④可变形为，符合（），是反比例函数；
⑤，分母为不是，不符合反比例函数定义，不是反比例函数；
⑥，不是的形式，不是反比例函数；
∴是反比例函数的有①③④，共3个．
故选：B．
5．已知点在反比例函数（为常数）的图象上，则的值为（ ）
A．7B．9C．10D．15
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．
利用“图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将点的坐标代入函数式求解即可
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴将，代入解析式得：，
解得：．
故选：A．
二、填空题
6．已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________．
【答案】3
【分析】反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知点的横坐标代入反比例函数解析式，即可求出的值．
【详解】解： 点在反比例函数的图象上，
．
7．已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________．
【答案】4
【分析】若点在反比例函数图象上，则点的坐标满足反比例函数解析式，将点坐标代入解析式即可求出的值．
【详解】解：点在反比例函数的图象上，
将，代入得：，
则．
8．下列函数：①：②；③；④；⑤．其中是的反比例函数的有______（填序号）．
【答案】②⑤
【分析】根据反比例函数的定义，若两个变量与的关系可以表示为（为常数，）的形式，则是的反比例函数，据此对各函数逐一判断即可．
【详解】解：①是一次函数，不是反比例函数．
②符合反比例函数定义，是反比例函数．
③是正比例函数，属于一次函数，不是反比例函数．
④分母为，不符合的形式，不是反比例函数．
⑤，符合反比例函数定义，是反比例函数．
符合题意的有②⑤．
9．已知点，是反比例函数图象上的两点，且满足，则k的值为_________．
【答案】
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，表示出与，代入已知等式化简计算，即可求出的值．
【详解】解：点，是反比例函数图象上的点，
，，
变形得，，
将上述结果代入得，
，
，
解得，
经检验符合题意．
10．在平面直角坐标系中，点P的坐标为．当时，点的坐标为；当时，点的坐标为，这样的点叫做点P的“调和点”．若点是反比例函数图象上点P的“调和点”，则点P的坐标为______．
【答案】或
【分析】根据调和点的定义，分两种情况讨论，得到点坐标与点坐标的关系，再利用点在反比例函数图象上的性质求出未知参数，验证条件后得到点的坐标．
【详解】解：设点的坐标为，根据“调和点”的定义，分两种情况讨论：
情况：当时，的坐标为，
已知，
因此可得，，
解得，
即，
∵点在上，
∴将代入解析式得，
此时，，满足，因此符合题意；
情况：当时，的坐标为，
已知，
因此可得，，
解得，
即，
∵点在上，
∴将代入解析式得，
解得，
此时，，满足，因此符合题意；
综上，点的坐标为或．
三、解答题
11．下列关于的函数中，哪些一定是反比例函数？把一定是反比例函数的关系式改写成的形式，并指出的值．
①；②；③；④．
【答案】见解析
【详解】解：②一定是反比例函数，，的值是；
③一定是反比例函数，，的值是．
12．已知反比例函数的图象经过点，求的值．
【答案】
【详解】解：将点代入反比例函数，得，
，
解得．
13．写出下列各问题中的函数关系式，指出是哪种函数，并确定其中自变量的取值范围：
(1)在的匀速运动中，运动路程是时间的函数；
(2)某学校要在校园中辟出一块面积为的长方形土地做花圃，这个花圃的长是宽的函数．
【答案】(1)
，是正比例函数，自变量取值范围为
(2)
，是反比例函数，自变量取值范围为
【分析】（1）根据“路程=速度乘时间”即可得出运动路程是时间的函数关系式，再根据正比例函数的定义解答即可；
（2）根据长方形的面积公式即可得出花圃的长是宽的函数关系式，再根据反比例函数的定义解答即可．
【详解】（1）解：根据路程=速度×时间，可得，该式符合正比例函数的形式，
因此是的正比例函数，
运动时间为非负数，因此自变量的取值范围是．
（2）解：∵长方形面积=长×宽，可得，
变形得，该式符合反比例函数的形式，
因此是的反比例函数，
长方形的宽为正数，因此自变量的取值范围是．
14．已知．
(1)当为何值时，是的正比例函数？
(2)当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值．
【答案】(1)
(2)；
【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数的定义：
（1）根据正比例函数的定义可得且，即可求解；
（2）根据反比例函数的定义可得且，即可求解．
【详解】（1）解：∵是正比例函数，
∴且，
解得：；
（2）解：∵是反比例函数，
∴且，
解得：；
∴该反比例函数的解析式为，
当时，，
解得：．
15．已知
(1)化简；
(2)若在平面直角坐标系中，点为反比例函数上一点，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的运算，反比例函数的性质等知识，解题的关键是：
（1）根据同分母相加减的运算法则计算即可；
（2）根据反比例函数的性质求出，根据两点间距离公式求出，然后根据完全平方公式求解即可。
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵点为反比例函数上一点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即.
16．已知反比例函数，求：
(1)自变量的取值范围．
(2)当时，函数的值．
(3)当时，自变量的值．
【答案】(1)
(2)4
(3)
【分析】本题考查了反比例函数自变量的取值范围、反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
（1）根据反比例函数的定义求自变量的取值范围；
（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答；
（3）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答．
【详解】（1）由反比例函数的定义和分式的意义可知，．
（2）将代入中，得．
（3）将代入中，得，解得．
17．已知，若与成正比例关系，与x成反比例关系，且当时，；时，．
(1)求y与x的函数关系式：
(2)求时，y的值．
【答案】(1)；
(2)时，．
【分析】本题考查的知识点有正比例关系、反比例关系，函数解析式的求法，确定函数解析式的关键是正确理解图象上的点与函数解析式的关系．
（1）由与成正比例关系，与x成反比例关系．分别设，并把、代入中，然后把所给两组数分别代入求出、，即可求出与的函数关系式．
（2）把代入（1）中的解析式即可得到答案．
【详解】（1）解：设 ，
则 ，
依题意得 ，
解得 ，
；
（2）解：当时，．
18．定义：若一个函数的图像上存在横坐标与纵坐标之差为2的点，则称该点为这个函数图像上的“亮点”．例如：点是正比例函数的图像上的“亮点”．
(1)一次函数的图像上的“亮点”是______；
(2)若点M是反比例函数图像的“亮点”，一次函数的图像经过点M，求b的值；
(3)若二次函数的图像经过点，试说明无论a取何值，该二次函数的图像上一定存在“亮点”．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)理由见解析．
【分析】本题考查了函数图像上的“亮点”，一次函数图像上点坐标的特征，反比例函数图像上点坐标的特征，二次函数图像上点坐标的特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）不妨设点在一次函数上，代入求值即可得到答案；
（2）不妨设在反比例函数图像上，求得点，然后再将点代入一次函数，求得即可；
（3）由二次函数的图像经过点，得到，推出，由，推导出无论a取何值，当时，，，此时；当时，，，此时；其中是该函数的亮点，得证．
【详解】（1）解：不妨设点在一次函数上，
，
，
，
一次函数的图像上的“亮点”是；
故答案为：；
（2）解：设在反比例函数图像上，
，
，，
反比例函数图像的“亮点”有：，，
一次函数的图像经过点M，
代入，有，；
代入，有，；
或；
（3）解：二次函数的图像经过点，
，
，
，
，
，
无论a取何值，当时，，，此时；
当时，，，此时；
无论a取何值，一定过和，
，
该二次函数的图像上一定存在“亮点”，亮点坐标为．
关键词
学习目标导航
反比例函数、y =kx 、k≠0、三种形式、自变量非零。
1. 理解反比例函数的概念，能识别形如y =kx（k 为常数， k≠0）的函数。
2. 掌握反比例函数的三种表达形式：y =kx、y = kx-1、xy = k （k≠0）。
3. 能根据实际问题中的数量关系列出反比例函数解析式，并确定自变量的取值范围。
4. 体会反比例函数与正比例函数的区别，感受函数模型的多样性。
学习重点：反比例函数的概念及其三种表达形式，k≠0和自变量x≠ 0的规定。
学习难点：理解k在反比例函数中的作用，以及从实际问题中抽象出反比例关系（例如： xy = k的形式）。