第10讲 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版含答案

这是一份第10讲 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版含答案，共19页。学案主要包含了基本形式与系数含义，图象特征，函数性质，图象画法等内容，欢迎下载使用。
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 把y=ax²+bx+c化成顶点式
题型2 画y=ax²+bx+c的图象
题型3 y=ax²+bx+c的图象与性质
题型4 利用y=ax²+bx+c的性质求解
题型5 二次函数的图象与各项系数的符号
题型6 一次函数、二次函数图象的综合判断
题型7 二次函数图象的平移
题型8 y=ax²+bx+c的图象与性质综合
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
知｜识｜框｜架

知｜识｜精｜讲

知识点01 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质
一、基本形式与系数含义
y = ax2+bx+c(a≠0)
二、图象特征
1. 开口方向
a > 0：开口向上 → 有最小值
a < 0：开口向下 → 有最大值
2. 开口大小
由|a|决定：|a|越大，抛物线越窄；|a|越小，抛物线越宽
3. 顶点坐标：−b2a,4ac−b24a
4. 对称轴:直线x=−b2a，是一条竖直直线。
5. 与 y 轴交点：(0, c)
6. 与 x 轴交点（根的个数）
由判别式∆= b2-4ac决定：
三、函数性质
1. 定义域:全体实数
2. 值域
a > 0（开口向上）：y≥4ac−b24a
a < 0（开口向下）：y≤4ac−b24a
3. 单调性
a > 0 时：在x≤−b2a上单调递减;在x≥−b2a上单调递增
a < 0 时：在x≤−b2a上单调递增;在x≥−b2a上单调递减
4. 最值
a > 0 ：最小值ymin=4ac−b24a（在x=−b2a处）;无最大值.
a < 0 ：最大值 ymax=4ac−b24a（在x=−b2a处）;无最小值.
四、图象画法（五点法）
步骤：
1. 求顶点：−b2a,4ac−b24a
2. 求对称轴：直线x = −b2a
3. 求与 y 轴交点(0, c)
4. 求与 x 轴交点（若存在）
5. 取对称点，平滑连线
五、系数a, b, c的几何意义总结
【易错提醒】
二次函数y = ax2+bx+c（a≠0），a>0开口向上，a0开口向上，a0向右，k>0向上；反之向左向下。直接写解析式。
【变式7-1】将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的平移；根据抛物线平移的规律：向右平移时，替换为；向下平移时，替换为或函数值减去．
【详解】解：将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为
故答案为：．
【变式7-2】将抛物线先向右平移2个单位长度再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的顶点为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的平移变换规律及顶点坐标的求解方法，先通过配方法将原抛物线化为顶点式，得到顶点坐标，再根据平移规律“左加右减，上加下减”确定新顶点坐标．
【详解】解：将抛物线化为顶点式：，
因此原顶点坐标为，
将原抛物线顶点式向右平移2个单位，横坐标加2，得5；向下平移1个单位，纵坐标减1，得5，
∴新抛物线顶点为．
故答案为：
题型8 y=ax²+bx+c的图象与性质综合
【例15】已知二次函数（m为常数）．
(1)若该函数图象上有两个点、，试比较与的大小；
(2)当时，函数有最小值为，请直接写出m的值．
【答案】(1)．
(2)
【分析】（1）先求二次函数对称轴，利用二次函数开口向上时，点到对称轴距离越远函数值越大的性质比较和；
（2）对于范围内的最值问题，先确定对称轴为，因为二次函数开口向上，所以分三种情况讨论：如果对称轴在范围左侧，那么最小值在处取得；如果对称轴在区间内，那么最小值在顶点处取得；如果对称轴在区间右侧，那么最小值在处取得，分别列方程求解后验证是否符合对应范围条件．
【详解】（1）解：已知二次函数，二次项系数，抛物线开口向上．
根据对称轴公式得对称轴为： ，
点到对称轴的距离：，
点到对称轴的距离：，
开口向上的二次函数，点离对称轴越远，函数值越大，
因为，
因此．
（2）解：根据对称轴位置分三种情况讨论：
当时： 在上y随x的增大而增大，最小值在处取得： ，此情况无解．
当时： 函数最小值在顶点取得： ，整理得，
解得，只有满足条件；
当时： 在上y随x的增大而减小，最小值在处取得： ，
解得，不满足，舍去．
综上，．
【例16】在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点和点．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)已知点在该二次函数的图象上，当时，求的取值范围；
(3)当时，二次函数的最大值为，求出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）将、 代入，列方程组求 ；
（2）先求出二次函数的对称轴，由二次函数开口向下，在对称轴左侧随增大而增大，右侧减小，求出最小值和最大值，即可求出的取值范围；
（3）分类讨论与对称轴的位置关系，由二次函数的性质，根据最大值等于列方程求解即可．
【详解】（1）解：过点和点，
，解得，
该二次函数表达式为 ．
（2）解：由（1）得该二次函数表达式为 ，
对称轴 ，函数图象开口向下，
在对称轴左侧 随 增大而增大，右侧 随 增大而减小，
点在该二次函数的图象，当时，
当 时，取得最大值为 ．
当时， ；
当时，，
，取不到 ，
∴ 的取值范围为 ，
（3）解：由（2）得，二次函数，对称轴为，
当，即时，
在上， 随 增大而增大，
当 ，有最大值为，
，
化简得，解得或 （舍），
当，即时，
当 时 ，有最大值为，
，解得 ，不符合题意，舍去，
当时，
在上， 随 增大而减少，
当 ，有最大值为，
，
化简得，解得或 （舍），
综上， 或 ．
【技巧归纳】
综合应用：a、b、c决定开口、对称轴、交点及最值。配方法求顶点；Δ判定交点；求面积用交点坐标；比较大小利用到对称轴距离。图象信息题从开口、对称轴、特殊点突破。
【变式8-1】已知二次函数（a为常数且）．
(1)当点在该函数图象上时，求a的值．
(2)当和时（），函数值相等，求m，n之间的关系式．
(3)若时，当时，若二次函数的最大值比最小值大2，求t的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）利用纵坐标相同的两个点关于对称轴对称即可求解；
（3）分情况讨论对称轴的位置，利用最大值比最小值大2，建立方程，其中当时，要再细分为两个端点离对称轴的距离的大小进一步讨论，最后该两种情况都不成立，综合所有情况即可求解．
【详解】（1）解：把，代入中，
得：
∴．
（2）解：∵对称轴为直线，
∴
．
（3）解：当时，，
图象开口向上，对称轴为直线，顶点，
①当时，最大值最小值
解得：．
②当，即时，最大值最小值
解得：．
③当，即时，最小值为顶点纵坐标，
要使最大值最小值，
∴最大值，
令，
解得：，
当时，即时，
函数在时取最大值，
∵都不在的范围内，
∴该情况不成立，
当时，即时，
函数在时取最大值，
令，
∴
∵，
∴都不在这个范围内，
故该情况不成立，
综上所述：或．
【变式8-2】如图，二次函数的图象经过点，点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当时，求二次函数的最值；
(3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)当时，二次函数的最大值为，最小值为
(3)
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据抛物线的解析式可得抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，取最大值为，进而根据，得出函数值的最值，即可求解；
（3）根据题意得出的表达式，根据线段的长度随的增大而减小，结合一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：将点，点代入，
得，解得，
∴二次函数的解析式为．
（2）解：，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，取最大值为．
∵，
∴当时，．
当时，．
∴当时，二次函数的最大值为，最小值为．
（3）解：，
当时，即，，的长度随增大而增大，不符合题意．
当时，即，，的长度随的增大而减小，
∴的取值范围为．
一、单选题
1．抛物线的顶点坐标为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接利用配方法将原式化为顶点式，进而求出二次函数的顶点坐标．
【详解】解：
故抛物线的顶点坐标是： ．
2．已知是抛物线上的点，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出抛物线对称轴，再根据开口方向得到点到对称轴的距离与函数值的大小关系，比较三个点到对称轴的距离即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴，抛物线开口向下，对称轴为，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越近，函数值越大．
分别计算三个点到对称轴 的距离：
点的距离：，
点的距离：，
点的距离：．
∵，
∴．
3．已知二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上B．对称轴为直线
C．顶点坐标为D．当时，随的增大而增大
【答案】C
【分析】将二次函数一般式配方化为顶点式，再根据二次函数的性质判断各选项的说法，找出错误的选项即可．
【详解】解：∵ ，二次项系数，
∴ 抛物线开口向上，A选项说法正确，
抛物线对称轴为直线，B选项说法正确，
顶点坐标为，不是，C选项说法错误，
∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴ 当时，随的增大而增大，D选项说法正确．
4．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列说法正确的是（ ）
A．
B．当时，随的增大而增大
C．
D．当时，抛物线的顶点坐标为
【答案】D
【分析】由二次函数对称轴公式即可判断A选项，由二次函数的性质即可判断B选项，由图象可得当时，，即可判断C选项，当时，，结合二次函数的性质即可判断D选项．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，故A选项错误；
∵二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，故B选项错误；
由图象可得当时，，
∴，故C选项错误；
当时，，此时抛物线的顶点坐标为，故D选项正确．
5．已知二次函数，当自变量x满足时，函数y的最小值为2，则a的值为（ ）
A．0或2B．1或3C．任意实数D．2或4
【答案】C
【分析】先对二次函数配方，得到开口方向、对称轴和顶点坐标，再结合给定的x范围判断对称轴位置，然后根据二次函数的性质求最值即可求得a．
【详解】解：∵ ，
∴ 二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点纵坐标为，
∵ 自变量x满足
∴恒成立，即对称轴一定在给定区间内，
∴ 二次函数在处取得最小值，最小值恒为，符合题意
∴为任意实数．
二、填空题
6．的开口方向是__________；最大值是_______________．
【答案】 开口向下 3
【分析】首先将抛物线配方成顶点式，然后根据二次项系数为负判断出开口向下，然后根据顶点的纵坐标为最大值求解．
【详解】解：
∵二次项系数为
∴抛物线开口向下，最大值是3．
7．已知点，在二次函数的图象上，比较______．（填或）．
【答案】
【分析】根据解析式可得开口方向和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越大，求出两点到对称轴的距离即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数的解析式为，
∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵点，在二次函数的图象上，且，
∴．
8．已知抛物线，当时，函数的最大值是_____．
【答案】6
【分析】先将抛物线解析式配方，得到抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向上的抛物线的性质，在给定范围内，代入端点计算后比较得到最大值．
【详解】解：对抛物线解析式配方得：，
，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
已知的取值范围为，
分别代入端点计算函数值：当时，，
当时，，
比较得，
因此的最大值为．
9．已知点，都在抛物线上，则______（用含a的代数式表示）．
【答案】
【分析】根据点的坐标得出两点关于对称轴对称，然后根据对称轴的公式列出关系式．
【详解】解：∵点P和点Q的纵坐标都是m，且两点都在抛物线上，
∴点P和点Q关于该抛物线的对称轴对称．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴．
10．如图，抛物线的对称轴是直线．有下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点为，则关于的方程无实数根．其中正确结论是________．（只需填写序号）
【答案】①②③④
【分析】由图象可知a与c的正负，再根据对称轴可得b的正负，由此可判断①；根据不等式的性质判断②；根据抛物线上的点到对称轴的距离即可判断③；根据二次函数的最值可得最小值，由此可判断④．
【详解】解：由图象可知，图象开口向上，且与y轴交于负半轴，
∴，，
∵对称轴为，
∴，
∴，故结论①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故结论②正确；
∵，，
此时表示点和到对称轴的距离，
当时，
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∵抛物线开口向上，
∴，故结论③正确；
∵抛物线的顶点坐标为，抛物线开口向上
则y的最小值为m，
∴，
∴，
∴，
∴
而方程变形为
∴关于的方程无实数根，故结论④正确．
∴正确的结论是①②③④．
三、解答题
11．通过配方，写出函数的顶点式，并写出其开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为
【详解】略
12．已知二次函数．
(1)求该函数图象的对称轴；
(2)当时，点，在该函数图象上，比较m，n的大小并说明理由．
【答案】(1)；
(2)，理由见解析．
【分析】（1）根据对称轴公式计算即可；
（2）先求出m、n的值，进而根据作差法比较即可．
【详解】（1）解：∵二次函数，
∴二次函数的对称轴为直线；
（2）解：，理由如下：
∵点，在该函数图象上，
∴，，
则，
∵，
∴，
即．
13．在直角坐标系中，抛物线（，是常数，）与轴相交于点．
(1)若抛物线经过点，，求，的值；
(2)已知，若，有最大值，求的值．
【答案】(1)的值分别为
(2)或
【分析】（）利用待定系数法，将函数图像经过的两个点坐标代入二次函数解析式，构造出关于参数的二元一次方程组，通过解方程组直接求出a、b的数值；
（）先根据用表示，代入解析式配成顶点式确定对称轴；再按照开口向上、开口向下分类讨论，结合自变量的取值范围判断最大值对应的，分别列式求解，最后汇总所有符合条件的的值．
【详解】（1）解：将点，代入，
得，
解得，
∴的值分别为；
（2）解：∵，
∴，
∴抛物线为，
∵，
∴抛物线顶点坐标为，
①当时，抛物线开口向上，，
∴当时，为最大值，
即，解得；
②当时，抛物线开口向下，
∴当时，为最大值，
即，
解得；
综上所述，或．
14．已知二次函数（）中的x和y满足下表：
(1)根据表格内容，求该二次函数的表达式和顶点坐标；
(2)在图中平面直角坐标系中画出上述二次函数的图象，并在图象上标出，；
(3)将（2）中二次函数的图象向右平移个单位长度，当时，新函数的最大值为2，请直接写出的值．
【答案】(1)二次函数的表达式为，顶点坐标为
(2)见详解
(3)或
【分析】（1）根据表格信息得到对称轴为，则得到顶点坐标，再把表格中对应的自变量的值，函数值代入，运用待定系数法即可求解；
（2）根据表格信息，描点连线即可；
（3）根据二次函数图象的平移得到平移后的解析式，结合图象得到在中，分类讨论：当时；当时，结合图形得到函数最大值，代入计算即可求解．
【详解】（1）解：根据表格得到，当，时，函数值，
∴二次函数对称轴为，
当时，，即顶点坐标为，
根据表格数据得，，
解得，，
∴二次函数解析式为；
（2）解：∵对称轴为，
∴当时，，
如图所示，
（3）解：二次函数解析式为，
∴二次函数图象开口向上，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，即离对称轴越远，值越大，
∵二次函数的图象向右平移个单位长度，
∴平移后的解析式为，
此时的对称轴为，
∵，
∴，
当时，即，时，取得最大值2，
∴，
解得，，（舍去）；
当时，即，时取得最大值2，
∴，
解得，，（舍去），
∴；
综上所示，的值为或．
15．在平面直角坐标系中，平移抛物线的图象，若其顶点始终都在直线（，均为常数）上，则称直线为抛物线的“型亲密线”．
(1)当抛物线满足时，
①若此时抛物线的图象恰好经过原点，求顶点的坐标；
②求该抛物线的“型亲密线”的表达式；
(2)将抛物线进行平移，得到抛物线，设抛物线与轴交点的纵坐标为，顶点的横坐标为，当时，有最小值1，若此时抛物线有“型亲密线”，求的值．
【答案】(1)①；②
(2)的值为或
【分析】（1）①先结合抛物线，，得出，再结合抛物线的图象恰好经过原点，求出，即可作答．
②把整理成顶点式，又因为直线为抛物线的“型亲密线”，故设，则，即可作答．
（2）先结合抛物线有“型亲密线”，得出二次函数可表示为，令，则，此时是关于的二次函数，且开口方向向上，对称轴为直线，运用二次函数的性质以及分类讨论思想进行分析，即可作答．
【详解】（1）解：
①∵抛物线的图象恰好经过原点
∴将代入得：，
解得：，
，
∴其顶点坐标为；
②，
其顶点坐标为，
∵直线为抛物线的“型亲密线”
∴设，则，
该二次函数“型亲密线”为；
（2）解：二次函数有“型亲密线”
二次函数平移后的顶点在直线上，
∵设抛物线与轴交点的纵坐标为，顶点的横坐标为，
∴当时，则
则二次函数可表示为
令，则，
此时是关于的二次函数，且开口方向向上，对称轴为直线，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小，
当时，有最小值1
①若，即，
当时，为最小值1，
即
解得，不满足，故舍去；
②若，即，
当时，为最小值1，
即
解得；
③若，即，
当时，为最小值1，
即
解得，（不满足，故舍去）
综上，的值为或．
关键词
学习目标导航
一般式、配方法、顶点坐标、对称轴、最值、−b2a。
1. 会用配方法将一般式化为顶点式y=a(x-h)²+k，确定顶点坐标和对称轴。
2. 能根据公式直接写出顶点坐标(−b2a, 4ac−b24a) 和对称轴x =−b2a。
3. 掌握二次函数y=ax²+bx+c的开口方向、顶点、对称轴、增减性、最值等性质。
4. 体会转化思想（一般式化顶点式）和数形结合思想，提升代数运算与函数分析能力。
学习重点:用配方法或公式法确定二次函数的顶点坐标和对称轴，并由此分析其性质。
学习难点:配方法的熟练运用（特别是二次项系数不为1时的处理），以及理解顶点坐标公式的推导过程。
系数
名称
作用
a
二次项系数
决定开口方向、开口大小
b
一次项系数
影响对称轴位置
c
常数项
决定与 y 轴交点
∆
交点个数
说明
∆>0
2 个
与 x 轴交于两点
∆= 0
1 个
与 x 轴相切（顶点在 x 轴上）
∆0向上，a