第2部分-预习-第10讲 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（学生版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版）

这是一份第2部分-预习-第10讲 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（学生版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版），共19页。学案主要包含了二次函数与之间的相互关系，二次函数的图象的画法，二次函数的图象与性质，求二次函数的最大值的方法等内容，欢迎下载使用。


知识点一、二次函数与之间的相互关系
1.顶点式化成一般式
从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
2.一般式化成顶点式
．
对照，可知，．
∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
要点归纳：
1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
知识点二、二次函数的图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线与坐标轴的交点，
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
要点归纳：
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
知识点三、二次函数的图象与性质
1.二次函数图象与性质
2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
知识四、求二次函数的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．
要点归纳：
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．
考点1：二次函数图象的位置与系数符号互判
【例1】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴．
(1)给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＝0.其中正确的结论的序号是________；
(2)给出四个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c＝1；④a＞1.其中正确的结论的序号是________．
【变式1-1】如图，二次函数的图象与x轴的交点的横坐标分别为，3，则下列结论：①；②；③；④对于任意x均有．正确的有（ ）个．

A．1B．2
C．3D．4
【变式1-2】已知二次函数（）与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若关于x的方程有两个实数根，且满足，则，．其中正确结论的个数为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【变式1-3】如图，已知抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
考点2：二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质
【例2】如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是( )
A．a＞1 B．－1＜a≤1 C．a＞0 D．－1＜a＜2
【变式2-1】二次函数的对称轴为__________，顶点坐标为__________；
二次函数的对称轴为__________，顶点坐标为__________．
【变式2-2】已知抛物线的对称轴为，且过点（0，4），求m、n的值．
【变式2-3】对于二次函数：
（1）求出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？
（2）求出此抛物线与x、y轴的交点坐标；
（3）当x取何值时，y随着x的增大而减小．
考点3：二次函数与一次函数的图象的综合识别
【例3】已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是( )

【变式3-1】在同一直角坐标系中，函数和（m是常数，且）的图像可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
x
y
x
y
x
y
x
y
【变式3-2】（2024·浙江温州·二模）已知直线与抛物线交于A，B两点，则抛物线的图象可能是（ ）
B．C．D．
【变式3-3】．（2024·广东东莞·一模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
考点4：抛物线y＝ax2＋bx＋c的平移
【例4】在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x－3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是( )
A．(－3，－6) B．(1，－4) C．(1，－6) D．(－3，－4)
【变式4-1】将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到抛物线必定经过（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】将抛物线（）向下平移3个单位，再向左平移4个单位得到抛物线，则原抛物线的顶点坐标是____________．
【变式4-3】抛物线是由抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，则b =________，c = ________．
考点5：二次函数的图象与几何图形的综合应用
【例5】如图，已知二次函数y＝－eq \f(1,2)x2＋bx＋c的图象经过A(2，0)、B(0，－6)两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
【变式5-1】（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上第一象限内的点．
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)连接，，，当四边形的面积最大时，求点P的坐标．
【变式5-2】（23-24九年级上·陕西延安·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点D是第三象限抛物线上一动点，连接，，，求面积的最大值．
【变式5-3】．（2024·湖南怀化·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)①如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；
②如图2，若点为抛物线对称轴上一个动点，当时，求点的坐标；
(3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点6:用一般式确定二次函数解析式
【例6】已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，求这个二次函数的解析式．
【变式6-1】（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）已知抛物线与轴交于、，且过点，求抛物线的解析式．
【变式6-2】（23-24九年级上·湖南长沙·期末）已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式．
【变式6-3】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知是关于的二次函数，与的对应值如下表所示：
(1)求关于的二次函数表达式．
(2)求出表中的值．
考点7：用顶点式确定二次函数解析式
【例7】已知二次函数的图象顶点是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的解析式．
【变式7-1】．（23-24九年级上·广东汕尾·期中）已知抛物线的顶点坐标是，且过点，求抛物线的解析式．
【变式7-2】（23-24九年级上·陕西西安·期末）已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，求此二次函数的解析式．
【变式7-3】（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知抛物线的顶点是，与y轴交于点，求该抛物线的解析式．
考点8：根据平移确定二次函数解析式
【例8】将抛物线y＝2x2－4x＋1先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，求平移后的函数解析式．
【变式8-1】将二次函数的图象向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新的抛物线，写出新抛物线的表达式，并求出这条抛物线的对称轴．
【变式8-2】．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数（a为常数）的图像的对称轴为，
(1)求a的值
(2)若点，点均在该函数的图像上，且满足，求m的取值范围
(3)向下平移二次函数的图像，使其经过原点，求平移后图像所对应的二次函数的表达式
【变式8-3】．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线（a、c为常数，）经过点、，顶点为P，连接．
(1)求的长；
(2)将抛物线L沿x轴或沿y轴平移若干个单位长度得到抛物线，点A的对应点为，点P的对应点为，当四边形是面积为12的平行四边形，且点在y轴的左侧时，求平移后得到的抛物线的表达式．
考点9：根据轴对称确定二次函数解析式
【例9】已知二次函数y＝2x2－12x＋5，求该函数图象关于x轴对称的图象的解析式．
【变式9-1】．（2024·四川泸州·一模）已知抛物线与x轴交于点，对称轴是直线，且过点，求抛物线的解析式．
【变式9-2】（23-24九年级上·吉林白山·阶段练习）已知抛物线经过点，它的对称轴为直线，且函数有最小值为．求抛物线的解析式．
【变式9-3】已知一次函数与二次函数的图像都过点A（1，），二次函数的对称轴是直线x =，请求出一次函数和二次函数的解析式．
考点10：用待定系数法求二次函数解析式的实际应用
【例10】科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：
科学家经过猜想，推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为________℃.
【变式10-1】（2022秋•庐阳区校级月考）科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：
由此可以推测这种植物高度增长量最大为 ．
【变式10-2】．（2024•潍坊一模）某公司营销，两种产品，根据市场调研，确定两条信息：
信息1：销售种产品所获利润（万元）与所售产品（吨之间存在二次函数关系，如图所示：
信息2：销售种产品所获利润（万元）与销售产品（吨之间存在正比例函数关系．
根据以上信息，解答下列问题；
（1）求二次函数的表达式；
（2）该公司准备购进、两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售、两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？
【变式10-3】（2024•北京一模）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式．
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红蝉的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出的值为 ，直接写出满足的函数关系式： ；
（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为；比赛当天入水点的水平距离为，则 （填“”“ ”或“” ；
（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？
一、单选题
1．（22-23九年级上·内蒙古乌海·阶段练习）抛物线的顶点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23九年级上·广西梧州·阶段练习）二次函数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）若 是抛物线 上的两个点，则抛物线的对称轴是（ ）
A．B．C．D．
4．（22-23九年级上·河南许昌·阶段练习）在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，抛物线的对称轴是直线，其中一个点的坐标为，下列结论：①；②；③；④若，在函数图象上，则，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）若函数的图象上有两点，若，则（ ）
A． B．
C． D．的大小不确定
8．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
9．（22-23九年级上·广西百色·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
10．（22-23九年级上·吉林长春·期中）如图，在正方形中，点的坐标分别是，，点在抛物线的图象上，则的值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．（23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）抛物线的顶点坐标 ．
12．（22-23九年级上·浙江金华·期中）将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位后，得到的抛物线的函数表达式为 ．
13．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知二次函数，当时，函数的最大值为 ．
14．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若抛物线的对称轴是y轴，则a的值是 ．
15．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知点、、、，若一条抛物线经过其中三个点，则不在该抛物线上的点是点 ．
16．（2023·江西新余·一模）二次函数的图象如图所示，若线段在x轴上，且为个单位长度，以为边作等边，使点C落在该函数的图象上，则点C的坐标为 ．
17．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，点在抛物线上，则当的面积为8时，点的坐标为 ．
18．（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在线段上，则的最小值是 ．
三、解答题
19．（23-24九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象顶点为，且经过点．求这个二次函数的表达式．
20．（23-24九年级上·江西上饶·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点，求此抛物线的解析式．
21．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）抛物线与轴的公共点是，求这条抛物线的顶点坐标．
22．（22-23九年级上·广西梧州·阶段练习）已知抛物线，经过，，三点，求这条抛物线的表达式．
23．（2024·宁夏石嘴山·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线的下方，试求的最大面积及E点的坐标．
24．（2024·海南海口·二模）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的动点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点P在直线的上方运动时，连接，交直线于点D，交y轴于点E．
①若的面积是面积的3倍，求点P的坐标；
②当时，求的长．
(3)过点P作轴交直线于点F，在y轴上是否存在点Q，使得以P、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象．
2．用配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴．并熟记顶点坐标与对称轴公式．
3．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用．
函数
二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点
的值
的值
温度t/℃
－4
－2
0
1
4
植物高度增长量
l/mm
41
49
49
46
25
温度
0
2
4
植物高度增长量
41
49
49
41
25
水平距离
0
3
3.5
4
4.5
竖直高度
10
10
10
6.25