第12讲二次函数的y=ax²+bx+c图像及性质-人教版暑假班九年级数学上册教学案（教育机构专用）

圆梦堂文化培训学校精品班教案     第  12  讲   

一、复习导入

1、二次函数的图象性质：

2、复习配方法：

（1）         ；

（2）           。

总结规律：当二次项的系数为1时，常数项须配一次项系数一半的平方。

二、新课探究

例1画函数的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标。

分析：首先要用配方法将函数写成y＝a（x－h）2＋k的形式；然后，确定函数图象的开口方向、对称轴与顶点坐标；接下来，利用函数的对称性列表、描点、连线。

例2求二次函数的对称轴和顶点坐标。

三、规律总结

1、一般地，二次函数可通过配方化成的形式，即

。

因此，抛物线的对称轴是，顶点是。

从如下图，从二次函数的图象可以看出：

如果，当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大；

如果，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小。

2.抛物线是以直线为对称轴的轴对称图形，有以下性质：

（1）抛物线上关于对称轴对称的两点纵坐标相等；抛物线上纵坐标相等的两点一定关于对称轴对称。

（2）如果抛物线交x轴于两点，那么这两点一定关于对称轴对称。

（3）若设抛物线上关于对称轴对称的两点横坐标为，则抛物线的对称轴是直线

知识点一：的图像及性质

【例1】把下面的二次函数的一般式化成顶点式：

【例2】已知：抛物线

（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；

（2）求抛物线与轴的交点坐标、与轴的交点坐标；

（3）当为何值时，随的增大而增大？

【例3】 若点A（2，）、B（3，）是二次函数的图象上两点，则与的大小关系为　　       （填“＞”、“＜”、“”）。

1、若二次函数配方后为，则的值分别为（  D  ）

A. 0，5        B. 0，1        C. －4，5            D. －4，1

2、抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：

从上表可知，下列说法中正确的是　 ①   ③④         。（填写序号）

①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）；

②函数的最大值为6；

③抛物线的对称轴是；

④在对称轴左侧，随增大而增大。

3、已知二次函数的图象上三个点的坐标分别为A(﹣2，)，B(﹣1，)，C(2，)，则，，的大小关系为(  C  )

4、已知：抛物线

（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；

（2）求抛物线与轴的交点坐标、与轴的交点坐标；

（3）当为何值时，随的增大而增大？

（1）开口向下，对称轴：直线，顶点坐标

（2）与x轴的交点坐标：   

（3）当时，随的增大而增大

知识点二：的图像

【例1】抛物线经过点(－1，0)，对称轴如下图所示。则下列结论：①abc＞0；②；③2a＋c＜0；④a＋b＜0。其中所有正确的结论是(    D   )

A.①③       B. ②③        C. ②④          D. ②③④

【例2】将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线，求的值。

【例3】 如图所示，二次函数的图象与轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与轴交于点C。

（1）求的值；

（2）求点B的坐标；

1、将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位后，新抛物线的表达式 。

2、二次函数的图象大致是(  A  )

3、二次函数的图象如右图所示，则下列关系式不正确的是(  C  )

4、已知二次函数的图象如右图所示，则点P(a，bc)在第  一  象限。

5、将抛物线向右平移2个单位，再下上平移1个单位后，

1)         求平移后抛物线的解析式，并确定其开口方向、顶点坐标和对称轴；

2)         当x取何值时，y随着x的增加而增大？当x取何值时，y随着x的增加而减小？

（1）原式化简为：，平移后

开口方向：向下，顶点坐标，对称轴直线

X<3时，y随着x的增加而增大，X>3时，y随着x的增加而减少，

1．二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是（1，－2），则b＝_______，c＝___0______．

2．已知二次函数y＝－2x2－8x－6，当________时，y随x的增大而增大；当x＝______时，y有最___大 _值是___2____．

3.将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则抛物线的解析式应为    。4。已知二次函数，下列说法正确的是(  B  )

5.   已知二次函数的图象如下图所示，则下列结论：①；②；③；④对任意实数x均有。正确结论的序号为  ①②④  。
6.   如右图，若抛物线上的P(4，0)，Q两点关于它的对称轴对称，则Q点的坐标为  (﹣2，0)  。

                    5题图                                   6题图

7.如下图，抛物线交轴于点A(1，0)和C，交轴于点B，对称轴是

（1）求抛物线的解析式

（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

解：

1)         ；

2)         存在，P(2，1)。

【课后作业】

1、将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是(  A  )

1. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位      
2. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位       
3. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位         

D. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位

2、将函数的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的方法是(  D  )

A. 向左平移1个单位            B. 向右平移3个单位      

C. 向上平移3个单位            D. 向下平移1个单位

3、一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(  C  )

4、将二次函数的图象沿轴向右平移2个单位长度，得到图象的函数表达式是(  D  )

5、抛物线(是常数)的顶点在(  A  )

6、写出二次函数的图象顶点坐标和对称轴的位置，求出它的最大值或最小值，并画出它的图象。

解：顶点坐标(1，﹣4)，x＝1，。