数学九年级上册22.1.1 二次函数导学案

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）

【学习目标】

1. 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；

2.通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；

3.经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．

【要点梳理】

要点一、二次函数与之间的相互关系

1.顶点式化成一般式
　　从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．

2.一般式化成顶点式

  ．

对照，可知，．

∴  抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．

要点诠释：

1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．

2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
要点二、二次函数的图象的画法

1.一般方法：列表、描点、连线；

2.简易画法：五点定形法.

    其步骤为：

    (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．

    (2)求抛物线与坐标轴的交点，

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．

要点诠释：

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，

要点三、二次函数的图象与性质

1.二次函数图象与性质

2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系

要点四、求二次函数的最大（小）值的方法

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．

要点诠释：

如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．

【典型例题】

类型一、二次函数的图象与性质

1．求抛物线的对称轴和顶点坐标．

【答案与解析】

解法1（配方法）：

                   ．

∴  顶点坐标为，对称轴为直线．

解法2（公式法）：∵  ，，，∴ ，

．

∴  顶点坐标为，对称轴为直线．

解法3（代入法）：∵  ，，，

∴  ．

将代入解析式中得，．

∴  顶点坐标为，对称轴为直线．

【总结升华】所给二次函数关系是一般式，求此类抛物线的顶点有三种方法：（1）利用配方法将一般式化成顶点式；（2）用顶点公式直接代入求解；（3）利用公式先求顶点的横坐标，然后代入解析式求出纵坐标．这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．

举一反三：

【高清课程名称：二次函数的图象与性质

高清ID号： 392790  关联的位置名称（播放点名称）：例题1】

【变式】把一般式化为顶点式．

（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D的坐标；

（2）分别求出它与y轴的交点C，与x轴的交点A、B的坐标.

【答案】（1）向下；x=2；D (2，2).

       （2）C（0，-6）；A（1,0）；B（3,0）.

2．（2016•泰安）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（　　）

A． B． 

C． D．

【思路点拨】由y=ax2+bx+c的图象判断出a＞0，b＞0，于是得到一次函数y=ax+b的图象经过一，二，四象限，即可得到结论．

【答案】A．

【解析】解：∵y=ax2+bx+c的图象的开口向上，

∴a＞0，

∵对称轴在y轴的左侧，

∴b＞0，

∴一次函数y=ax+b的图象经过一，二，三象限．

故选A．

【总结升华】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的取值范围．

类型二、二次函数的最值

3．求二次函数的最小值.

【答案与解析】

解法1(配方法)：∵

                     ，

                    ∴  当x＝-3时，．

    解法2(公式法)：∵  ，b＝3，

∴  当时，

．

    解法3(判别式法)：∵  ，∴  ．

                      ∵  x是实数，∴  △＝62-4(1-2y)≥0，∴  y≥-4．

                      ∴  y有最小值-4，此时，即x＝-3．

【总结升华】在求二次函数最值时，可以从配方法、公式法、判别式法三个角度考虑，根据个人熟练程度灵活去选择．

举一反三：

【高清课程名称：二次函数的图象与性质

高清ID号： 392790  关联的位置名称（播放点名称）：例题2】

【变式】用总长60m的篱笆围成矩形场地．矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化．当L是多少时，矩形场地的面积S最大？

【答案】

（0<L<30）．

（m）时，场地的面积S最大，为225m2．

类型三、二次函数性质的综合应用

4．（2015•衡阳）如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）判断△ABM的形状，并说明理由；

（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．

【答案与解析】

解：（1）∵A点为直线y=x+1与x轴的交点，

∴A（﹣1，0），

又B点横坐标为2，代入y=x+1可求得y=3，

∴B（2，3），

∵抛物线顶点在y轴上，

∴可设抛物线解析式为y=ax2+c，

把A、B两点坐标代入可得，解得，

∴抛物线解析式为y=x2﹣1；

（2）△ABM为直角三角形．理由如：

由（1）抛物线解析式为y=x2﹣1可知M点坐标为（0，﹣1），

∴AM=，AB===3，BM==2，

∴AM2+AB2=2+18=20=BM2，

∴△ABM为直角三角形；

（3）当抛物线y=x2﹣1平移后顶点坐标为（m，2m）时，其解析式为y=（x﹣m）2+2m，即y=x2﹣2mx+m2+2m，

联立y=x，可得，消去y整理可得x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0，

∵平移后的抛物线总有不动点，

∴方程x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0总有实数根，

∴△≥0，即（2m+1）2﹣4（m2+2m）≥0，

解得m≤，

即当m≤时，平移后的抛物线总有不动点．

【总结升华】本题主要涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理及其逆定理、一元二次方程等知识点．在（1）中确定出A、B两点的坐标是解题的关键，在（2）中分别求得AB、AM、BM的长是解题的关键，在（3）中确定出抛物线有不动点的条件是解题的关键．

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质—巩固练习（基础）

【巩固练习】

一、选择题
1. 将二次函数化为的形式，结果为（   ）．

A．    B．   C．    D．

2．（2015•咸宁）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：

①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；

②4a+2b+c＜0；

③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；

④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．

其中正确的个数有（　　）

1. 1个      B.2个      C.3个     D.4个

3．（2016•益阳）关于抛物线y=x2﹣2x+1，下列说法错误的是（　　）

A．开口向上         B．与x轴有两个重合的交点

C．对称轴是直线x=1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小

4．抛物线的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式

为，则b、c的值为（   ）．

A.b=2，c=2     B. b=2，c=0     C. b= -2，c= -1  D. b= -3，c=2

5．已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，则a+b+c的值(　  )
A. 等于0　　　 B.等于1　　　 C. 等于-1 　　　D. 不能确定

6．二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是( 　 )
　　  

二、填空题

7．二次函数的最小值是________．

8．已知二次函数，当x＝-1时，函数y的值为4，那么当x＝3时，函数y的值为________．

9．（2015•怀化）二次函数y=x2+2x的顶点坐标为　　，对称轴是直线　　．

10．二次函数的图象与x轴的交点如图所示．根据图中信息可得到m的值是________．

第10题                       第11题

11．如图二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点(-1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴
   第①问：给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0其中正确的结论的序号是___       ；
   第②问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1，其中正确的结论的序号是___    __.

12．（2016•玄武区一模）如图为函数：y=x2﹣1，y=x2+6x+8，y=x2﹣6x+8，y=x2﹣12x+35在同一平面直角坐标系中的图象，其中最有可能是y=x2﹣6x+8的图象的序号是　     　．

三、解答题

13．（2015•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积．

14. 如图所示，抛物线与x轴相交于点A、B，且过点C（5，4）．

（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；

（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．

15.已知抛物线：

   (1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；

   (2)画函数图象，并根据图象说出x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？函数y有最大值还是最小值？最值为多少？

【答案与解析】

一、选择题
1.【答案】D；

【解析】根据配方法的方法及步骤，将化成含的完全平方式为，

所以．

2.【答案】B.

【解析】∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，①正确；

∵x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；

根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2，③错误；

使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误，

故选：B．

3.【答案】D．

【解析】画出抛物线y=x2﹣2x+1的图象，如图所示．

A、∵a=1，

∴抛物线开口向上，A正确；

B、∵令x2﹣2x+1=0，△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，

∴该抛物线与x轴有两个重合的交点，B正确；

C、∵﹣=﹣=1，

∴该抛物线对称轴是直线x=1，C正确；

D、∵抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为x=1，

∴当x＞1时，y随x的增大而增大，D不正确．

故选D．

4.【答案】B；

【解析】，把抛物线向左平移2个单位长度，

再向上平移3个单位长度后得抛物线，

∴  ，∴  ，．

5.【答案】A；

【解析】因为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，所以过点（1,0）代入解析式

得a+b+c=0.

6.【答案】A；

【解析】分类讨论，当a＞0，a＜0时分别进行分析.  

二、填空题

7．【答案】-3；

【解析】∵  ，∴  函数有最小值．

        当时，．

8．【答案】4；

  【解析】由对称轴，∴  x＝3与x＝-1关于x＝1对称，∴  x＝3时，y＝4.

9．【答案】(1，-4) ；

【解析】求出解析式.

10．【答案】4；

【解析】由图象发现抛物线经过点（1，0），把，代入，得，解得．

11．【答案】①④，②③④；

12.【答案】③

【解析】y=x2﹣1对称轴是x=0，图象中第二个，

y=x2+6x+8对称轴是x=﹣3，图象中第一个，

y=x2﹣6x+8对称轴是x=3，图象中第三个，

y=x2﹣12x+35对称轴是x=6，图象中第四个.

三、解答题

13.【答案与解析】

解：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4），

把B与C坐标代入y=﹣x2+bx+c得：，

解得：b=2，c=4，

则解析式为y=﹣x2+2x+4；

（2）∵y=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣2）2+6，

∴抛物线顶点坐标为（2，6），

则S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=×4×4+×4×2=8+4=12．

14.【答案与解析】

       （1）把点C(5，4)代入抛物线得，，解得．

           ∴ 该二次函数的解析式为．

           ∵ ，

∴ 顶点坐标为．

       （2）（答案不唯一，合理即正确）

            如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，

            得到二次函数解析式为，即．

15.【答案与解析】

  (1)∵ ，b＝-3，∴ ，

把x＝-3代入解析式得，．

           ∴ 抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝-3，顶点坐标是(-3，2)．

(2)由于抛物线的顶点坐标为A(-3，2)，对称轴为x＝-3．抛物线与x轴两交点为B(-5，0)和

C(-1，0)，与y轴的交点为，取D关于对称轴的对称点，用平滑曲线顺次连结，便得到二次函数的图象，如图所示．

从图象可以看出：在对称轴左侧，即当x＜-3时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，

即当x＞-3时，y随x的增大而减小．因为抛物线的开口向下，顶点A是抛物线的最高点，

所以函数有最大值，当x＝-3时，．