第09讲 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性-初中人教版八升九数学暑假衔接（教师版+学生版）试卷

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一、二次函数与之间的相互关系
1.顶点式化成一般式
从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
2.一般式化成顶点式
．
对照，可知，．
∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
要点诠释：
1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
二、二次函数的图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线与坐标轴的交点，
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
要点诠释：
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
三、二次函数的图象与性质
1.二次函数图象与性质
2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
四、求二次函数的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．
要点诠释：
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．
【考点剖析】
题型一、二次函数的图象与性质
例1．求抛物线的对称轴和顶点坐标．
【答案与解析】
解法1（配方法）：

．
∴ 顶点坐标为，对称轴为直线．
解法2（公式法）：∵ ，，，∴ ，
．
∴ 顶点坐标为，对称轴为直线．
解法3（代入法）：∵ ，，，
∴ ．
将代入解析式中得，．
∴ 顶点坐标为，对称轴为直线．
【总结升华】所给二次函数关系是一般式，求此类抛物线的顶点有三种方法：（1）利用配方法将一般式化
成顶点式；（2）用顶点公式直接代入求解；（3）利用公式先求顶点的横坐标，然后代入
解析式求出纵坐标．这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
【变式1】把一般式化为顶点式．
（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D的坐标；
（2）分别求出它与y轴的交点C，与x轴的交点A、B的坐标.
【答案】（1）向下；x=2；D (2，2).
（2）C（0，-6）；A（1,0）；B（3,0）.
例2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【思路点拨】由y=ax2+bx+c的图象判断出a＞0，b＞0，于是得到一次函数y=ax+b的图象经过一，二，四象限，即可得到结论．
【答案】A．
【解析】解：∵y=ax2+bx+c的图象的开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴b＞0，
∴一次函数y=ax+b的图象经过一，二，三象限．
故选A．
【总结升华】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可
以判断a、b的取值范围．
【变式1】 抛物线与y轴交于(0，3)点：
(1)求出m的值并画出这条抛物线；
(2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；
(3)x取什么值时，抛物线在x轴上方？
(4)x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？
【答案与解析】
(1)由抛物线与y轴交于(0，3)可得m＝3．
∴ 抛物线解析式为，如图所示．
(2)由得，．
∴ 抛物线与x轴的交点为(-1，0)、(3，0)．
∵ ，
∴ 抛物线的顶点坐标为(1，4)．
(3)由图象可知：当-1＜x＜3时，抛物线在x轴上方．
(4)由图象可知：当x≥1时，y的值随x值的增大而减小．
【总结升华】研究函数问题一般都应与图象结合起来，借助于图象的直观性求解更形象与简洁．
(1)将点(0，3)代入解析式中便可求出m的值，然后用描点法或五点作图法画抛物线；
(2)令y＝0可求抛物线与x轴的交点，利用配方法或公式法可求抛物线顶点的坐标；
(3)、(4)均可利用图象回答，注意形数结合的思想，
【变式2】某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ）
-11 B. -2 C. 1 D. -5
【答案】D.
提示：由函数图象关于对称轴对称，得
（﹣1，﹣2），（0，1），（1，2）在函数图象上，
把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得
，
解得，
函数解析式为y=﹣3x2+1
x=2时y=﹣11，故选：D．
题型二、二次函数的最值
例3．求二次函数的最小值.
【答案与解析】
解法1(配方法)：∵
，
∴ 当x＝-3时，．
解法2(公式法)：∵ ，b＝3，
∴ 当时，
．
解法3(判别式法)：∵ ，∴ ．
∵ x是实数，∴ △＝62-4(1-2y)≥0，∴ y≥-4．
∴ y有最小值-4，此时，即x＝-3．
【总结升华】在求二次函数最值时，可以从配方法、公式法、判别式法三个角度考虑，根据个人熟练程度
灵活去选择．
【变式1】用总长60m的篱笆围成矩形场地．矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化．当L是多少时，矩
形场地的面积S最大？
【答案】
（0（m）时，场地的面积S最大，为225m2．
【变式2】分别在下列范围内求函数的最大值或最小值．
(1)0＜x＜2； (2)2≤x≤3．
【答案与解析】
∵ ，
∴ 顶点坐标为(1，-4)．
(1)∵ x＝1在0＜x＜2范围内，且a＝1＞0，
∴ 当x＝1时y有最小值，．
∵ x＝1是0＜x＜2范围的中点，在x＝1两侧图象左右对称，端点处取不到，不存在最大值．
(2)∵ x＝1不在2≤x≤3范围内(如图所示)，又因为函数(2≤x≤3)的图象是
抛物线的一部分，且当2≤x≤3时，y随x的增大而增大，
∴ 当x＝3时，；当x＝2时，．

【总结升华】先求出抛物线的顶点坐标，然后看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取
值范围内，根据不同情况求解，也可画出图象，借助于图象的直观性求解，如图所示，2≤x≤3为图中实线
部分，易看出x＝3时，；x＝2时，．
题型三、二次函数性质的综合应用
例4．已知二次函数的图象过点P(2，1)．
（1）求证：； （2）求bc的最大值．
【答案与解析】
（1）∵ 的图象过点P(2，1)，
∴ 1=4+2b+c+1，∴ c=-2b-4．
（2）．
∴ 当时，bc有最大值．最大值为2．
【总结升华】（1）将点P(2，1)代入函数关系式，建立b、c的关系即可．
（2）利用（1）中b与c的关系，用b表示bc，利用函数性质求解．
【变式1】如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；
②4a+2b+c＜0；
③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．
其中正确的个数有（ ）
1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B.
提示：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，①正确；
∵x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；
根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2，③错误；
使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误，
故选：B．
【变式2】如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：
①abc＞0
②4a+2b+c＞0
③4ac﹣b2＜8a
④＜a＜
⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤
【思路点拨】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．
【答案】D．
【解析】
解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧
∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣1，
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x=2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；
③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），
∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，
∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，
∵对称轴为直线x=1
∴=1，即b=﹣2a，
∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，
∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0
∵8a＞0
∴4ac﹣b2＜8a
故③正确
④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴＞a＞；
故④正确
⑤∵a＞0，
∴b﹣c＞0，即b＞c；
故⑤正确；
故选：D．
【总结升华】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
【变式3】一条抛物线经过A（2，0）和B（6，0），最高点C的纵坐标是1．
（1）求这条抛物线的解析式，并用描点法画出抛物线；
（2）设抛物线的对称轴与轴的交点为D，抛物线与y轴的交点为E，请你在抛物线上另找一点P(除点A、B、C、E外)，先求点C、A、E、P分别到点D的距离，再求这些点分别到直线的距离；
(3)观察(2)的计算结果，你发现这条抛物线上的点具有何种规律?请用文字写出这个规律．
【答案与解析】
(1)由已知可得抛物线的对称轴是．
∴ 最高点C的坐标为(4，1)．
则 解得
∴ 所求抛物线的解析式为．
列表：
描点、连线，如图所示：
（2）取点（-2，-8）为所要找的点P，如图所示，运用勾股定理求得ED＝5，PD＝10，
观察图象知AD＝2，CD＝1，点E、P、A、C到直线y＝2的距离分别是5、10、2、1．
（3）抛物线上任一点到点D的距离等于该点到直线y＝2的距离．
【总结升华】(1)描点画图时，应先确定抛物线的对称轴，然后以对称轴为参照，左右对称取点．
(2)计算两点之间的距离应构造两直角边分别平行于两坐标轴的直角三角形，然后运用勾股定理求得．
【过关检测】
一、单选题
1．（2021春·广东江门·九年级台山市新宁中学校考期中）将抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位得到抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线平移的法则：左加右减，上加下减即可得到答案．
【详解】解：将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，
得到抛物线的解析式为，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，根据函数图象的平移法则：左加右减，上加下减进行平移，是解题的关键．
2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二次函数和一次函数图象的性质“二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．”逐项判断即可．
【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线知，，∴A正确；
B、由抛物线可知，，由直线知，，∴B错误；
C、由抛物线可知，，由直线知，，∴C错误；
D、由抛物线可知，，由直线知，，∴D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．熟练掌握二次函数和一次函数的图象的性质是解答本题的关键．
3．（2023·山东潍坊·昌邑市实验中学校考三模）如图，抛物线的对称轴是直线，则下列结论正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据抛物线开口向上，与y轴交与y轴负半轴，得到，根据抛物线对称轴为直线，得到，由此即可判断A；根据当时，，即可判断B；根据当时，，即可判断C、D．
【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交与y轴负半轴，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故A结论正确，符合题意；
∵当时，，
∴，故B结论错误，不符合题意；
∵当时，，
∴，
∴，
∴，故C、D结论错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．
4．（2023·全国·九年级专题练习）抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（ ）．
A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限
【答案】D
【分析】根据已知条件可得出，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可求出答案．
【详解】解：抛物线与直线交于，两点，
，
．
，
．
当，时，直线经过第一、三、四象限，
当，时，直线经过第一、二、四象限，
综上所述，一定经过一、四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握根与系数关系公式．
5．（2023·浙江·九年级假期作业）已知抛物线（，，是常数，）经过点，其对称轴为直线．有下列结论：①；②；③若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，4，其中正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据已知条件得出，，根据抛物线经过点，得出，即可判断①，根据代入②即可判断；根据对称性可得抛物线也经过点，即可判断③
【详解】解：∵抛物线（，，是常数，）经过点，其对称轴为直线．
∴，，
则，
∴
∴，故①正确；
∵，故②正确，
∵抛物线经过点，
∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点，
∴抛物线与直线的交点坐标为和，
∴一元二次方程的两根分别为，，故③正确．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解答的关键．
6．（2023·湖南·统考中考真题）已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据对称轴公式可判断①；当时，，可判断②；根据抛物线的增减性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到，可以判断④．
【详解】解：∵抛物线（a是常数，，
∴，
故①正确；
当时，，
∴点在抛物线上，
故②正确；
当时，，
当时，，
故③错误；
根据对称点的坐标得到，
，
故④错误．
故选B．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
7．（2023·全国·九年级专题练习）如图，抛物线经过点，且，有下列结论：①；②；③；④若点在抛物线上，则．其中，正确的结论有（ ）

A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】抛物线经过点，且，，可以得到，，从而可以得到b的正负情况，从而可以判断①；继而可得出，则，即可判断②；由图象可知，当时，，即，所以有，从而可得出，即可判断③；利用，再根据，所以，从而可得，即可判断④．
【详解】解 ：∵抛物线的图象开口向上，
∴，
∵抛物线经过点，且，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴
∴，故②正确；
由图象可知，当时，，即，
∴
∵，，
∴，故③正确；
∵，
又∵，
∴，
∵抛物线的图象开口向上，
∴，故④错误．
∴正确的有①②③共3个，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，熟练掌握根据二次函数图象性质是解题的关键．
8．（2023·辽宁朝阳·校考三模）二次函数的部分图像如图所示，图像过点对称轴为直线，下列结论：①；②；③（为常数）：④．其中正确的个数是（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点，即可判断的大小，从而即可判断①，根据对称轴和经过，得到，代入进行求解即可判断②④，根据当时二次函数取得最大值，即可判断③．
【详解】解：抛物线的开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线交轴正半轴，
，
，故①错误，
抛物线的对称轴为直线，
，
图像过点，
，
，
，
，故②错误，
当时，函数由最大值，
，
（为常数），故③错误，
，
，故④正确，
综上所述，正确的个数为1，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题，是解题的关键．
9．（2023·安徽六安·校考二模）已知抛物线和直线分别交于A点和B点，则抛物线的图象可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出求出交点、的坐标，根据已知图象确定，与点的横坐标的正负，进而推断新抛物线的图象的开口方向，对称轴位置，从而确定答案．
【详解】解：由，得，
解得，或，
抛物线和直线分别交于点和点，
，的横坐标为：，
抛物线的开口向上，交点在第三象限内，
，，
抛物线中，，对称轴，
此抛物线的开口向下，对称轴在轴的左边，
符合此条件的图象是C，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，一次函数的图象与性质，关键是由已知条件确定和点横坐标的取值．
10．（2023春·江苏南京·九年级南京钟英中学校考阶段练习）函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数图像的开口大小与轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．
【详解】解：设，，
由图像知，，，，，，，，
∴，
∵函数的图像开口大于函数的图像开口，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴函数的图像是抛物线，开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，
A．图像开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，故此选项符合题意；
B．图像开口向上，故此选项不符合题意；
C．图像对称轴在轴的左侧，故此选项不符合题意；
D．图像开口向上，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，不等式的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．注意：二次函数的越大，图像开口越小．
二、填空题
11．（2023·内蒙古·统考中考真题）已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则的值为________．
【答案】2
【分析】将点代入函数解析式求解即可．
【详解】解：点在上，
∴，
，
解得：(舍去)
故答案为：2．
【点睛】题目主要考查二次函数图象上的点的特点，理解题意正确求解是解题关键．
12．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）函数的图象可由函数的图象沿x轴向_______平移_______个单位，再沿y轴向_______平移_______个单位得到．
【答案】 右 3 下 1
【分析】根据二次函数图象“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解即可．
【详解】解：函数的图象可由函数的图象沿轴向右平移3个单位，再沿轴向下平移1个单位得到，
故答案为：右，3，下，1．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键．
13．（2023·浙江·九年级假期作业）如果三点，和在抛物线的图象上，那，，之间的大小关系是______ ．
【答案】/
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴是直线，
当时，随的增大而减小，关于称轴是直线的对称点是，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
14．（2023·辽宁朝阳·校联考三模）如图，已知抛物线的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴的负半轴交于点C，且，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有______．

【答案】②③④
【分析】由图，，，，得，推知；由知，代入，得，化简得；将代入得，，由对称轴得，解得；将代入得．
【详解】解：由图，，，，
∴
∴，，故①错误；
，由知，代入，
得，，
化简得，，故②正确；
将代入得，，
对称轴，得，代入上式得，
，解得，故③正确；
将代入得，故④正确；
综上分析可知，正确的是②③④.
故答案为：②③④.
【点睛】本题考查二次函数图象性质，运用数形结合思想，理解图象与方程的联系是解题的关键．
15．（2022秋·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴、轴分别交于、、三点，点是其顶点，若点是轴上一个动点，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】先求出，，如图所示，作点C关于x轴的对称点E，连接，则，然后证明当D、P、E三点共线时最小，即最小，最小值为，利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：在中，当时，，
∴；
∵抛物线解析式为，
∴；
如图所示，作点C关于x轴的对称点E，连接，则，
∴，
∴，
∴当D、P、E三点共线时最小，即最小，最小值为，
∴的最小值，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，正确作出辅助线确定当D、P、E三点共线时最小，即最小，最小值为是解题的关键．
16．（2021春·广东广州·九年级广州市育才中学校考阶段练习）关于二次函数在的取值范围内，函数y的最小值（用含a的式子表示），下列结论：①当时，函数y的最小值；②当时，函数y的最小值是；③时，函数y的最小值是；④当，函数y的最小值．其中正确的有___（填序号即可）．
【答案】①②③
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据，即可得到相应的最值，从而可以解答本题．
【详解】解：二次函数，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
①当时，时，函数有最小值，函数的最小值是，故①正确；
②当时，时，函数有最小值，函数的最小值是，故②正确；
③当时，时，函数有最小值，函数的最小值是；故③正确；
④当时，时，函数有最小值，函数的最小值是；故④错误；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，求出相应的最值．
17．（2023·上海·九年级假期作业）已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为_______．
【答案】或
【分析】根据抛物线的图象与系数之间的关系得出，，，即可得出结果．
【详解】解：设这条抛物线的解析式为：，
∵这条抛物线与抛物线的顶点坐标相同，
∴，，
又∵这条抛物线与抛物线形状相同，
∴，即，
∴这条抛物线的解析式为：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟记二次函数的性质是解题的关键．
18．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在抛物线上，点E在直线上，若，则点E的坐标是____________．

【答案】和
【分析】先根据题意画出图形，先求出点坐标，当点在线段上时:是△DCE的外角，，而，所以此时，有，可求出所在直线的解析式，设点坐标，再根据两点距离公式，，得到关于的方程，求解的值，即可求出点坐标；当点在线段的延长线上时，根据题中条件，可以证明，得到为直角三角形，延长至，取，此时，，从而证明是要找的点，应为，为等腰直角三角形， 点和关于点对称，可以根据点坐标求出点坐标．
【详解】解：在中，当时，，则有，
令，则有，
解得：，
∴，
根据点坐标，有
所以点坐标

设所在直线解析式为，其过点、
有，
解得
∴所在直线的解析式为：
当点在线段上时，设
而
∴
∴
因为：，，
有
解得：，
所以点的坐标为:
当在的延长线上时，
在中，，,
∴
∴
如图延长至，取，

则有为等腰三角形，，
∴
又∵
∴
则为符合题意的点，
∵
∴
的横坐标：，纵坐标为；
综上E点的坐标为：或，
故答案为：或
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，熟练掌握一次函数根二次函数的图象和性质，分情况找到点的位置，是求解此题的关键．
三、解答题
19．（2023·上海·九年级假期作业）已知二次函数的图像经过点三点，求这个二次函数的解析式．
【答案】
【分析】根据题意设二次函数解析式为，然后将代入求解即可．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点，
∴设二次函数解析式为：，
把代入，可得，解得：．
∴这个二次函数的解析式为：．
【点睛】本题主要考查了利用交点式求解二次函数解析式，掌握待定系数法求二次函数解析式是解答本题的关键．
20．（2023·上海·九年级假期作业）已知一个二次函数的图象经过点．
(1)求b的值；
(2)求抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把代入二次函数解析式即可求出b的值；
（2）根据轴对称的性质可得抛物线关于x轴对称的图象横坐标不变，纵坐标互为相反数，然后可得答案．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴把点代入得，
解得：；
（2）解：由（1）可知二次函数解析式为，
∵抛物线关于x轴对称的图象横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴所得抛物线解析式为，即．
【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的图象与几何变换，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
21．（2020秋·广东广州·九年级执信中学校考期中）已知抛物线．

(1)若，画出该抛物线图象，并结合图象写出y随x的增大而增大时，x的取值范围．
(2)为抛物线上的一点，若P关于原点的对称点也落在该抛物线上，求m的值．
【答案】(1)画图见解析，
(2)
【分析】（1）利用五点作图法画出图象，然后根据图象求解即可；
（2）首先求出，然后将和代入求解即可．
【详解】（1）将代入得，，
∴列表如下：
∴如图所示，将以上5点在坐标系中描出，然后用平滑的曲线连接．

∴由图象可得，当y随x的增大而增大时，；
（2）∵，点P关于原点的对称点为，
∴，
∵和都在抛物线上，
∴，
∴得，，
∴解得．
【点睛】本题主要考查了五点作图法，二次函数的性质，关于原点对称的点的坐标特点，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
22．（2023·河南新乡·校联考三模）如图，抛物线交轴于点，交轴于点，连接，点A的坐标为，抛物线的对称轴为直线．

(1)求抛物线的表达式和顶点坐标；
(2)在直线上找一点，使的和最小，并求出点的坐标；
(3)将线段沿轴向右平移个单位长度，若线段与抛物线有唯一交点，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)抛物线的表达式为，抛物线的顶点坐标为
(2)
(3)
【分析】（1）根据对称轴得出，再将点代入确定解析式，即可确定顶点坐标；
（2）连接，交直线于点，点即为所求，连接，利用两点之间线段最短得出的和最小，由待定系数法确定直线的表达式为，即可确定点P的坐标；
（3）根据题意得：点的运动轨迹为射线，点A的运动轨迹为射线，若线段与抛物线有唯一交点，则线段在线段间平移（含线段），由抛物线的对称性得，，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，解得．
∴．
把点代入，得，
解得．
∴抛物线的表达式为．
把代入，得，
∴抛物线的顶点坐标为．
（2）如图1，连接，交直线于点，点即为所求．
连接，由抛物线的对称性可知点A与点关于直线对称，
则点的坐标为．
此时，即的和最小．
，令，则．
∴点的坐标为．
设直线的表达式为，
把点，代入可得解得
∴直线的表达式为．
当时，．
∴点的坐标为．

（3）．
如图2，根据题意得：点的运动轨迹为射线，点A的运动轨迹为射线，
若线段与抛物线有唯一交点，则线段在线段间平移（含线段），
由抛物线的对称性得，，
∴当线段与抛物线有唯一交点时，的取值范围为．

【点睛】题目主要考查待定系数法确定函数解析式，线段最短问题及交点问题，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．
23．（2023·浙江杭州·杭州市丰潭中学校考三模）在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）
(1)当时，求函数图象的顶点坐标和对称轴；
(2)若函数图象经过点，，求证：；
(3)若，，的图象交于点,，，设为图象上一点，求的值．
【答案】(1)抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线
(2)见详解
(3)
【分析】（1）由配方法可求出顶点坐标；
（2）将已知两点代入求出，，再表示出，由，即可求解；
（3）联立， 解得：再根据与关于对称轴对称即可得出结果．
【详解】（1）解：当时，，
抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；
（2）证明：函数图象经过点，，
，，
，
；
（3）解：联立， 解得：
，
，故，
的图象交于点，，
与关于二次函数的对称轴对称，
，，
．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键．
24．（2023·湖南·统考中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点是对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或或
(3)或．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据，可得到的距离等于到的距离，进而作出两条的平行线，求得解析式，联立抛物线即可求解；
（3）根据题意，求得当是直角三角形时的的值，进而观察图象，即可求解，分和两种情况讨论，分别计算即可求解．
【详解】（1）解：将点，代入，得
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）∵，
顶点坐标为，
当时，
解得：
∴，则
∵，则
∴是等腰直角三角形，
∵
∴到的距离等于到的距离，
∵，，设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为，
如图所示，过点作的平行线，交抛物线于点，

设的解析式为，将点代入得，
解得：
∴直线的解析式为，
解得：或
∴，
∵
∴
∴是等腰直角三角形，且，
如图所示，延长至，使得，过点作的平行线，交轴于点，则，则符合题意的点在直线上，
∵是等腰直角三角形，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：或
∴或
综上所述，或或；
（3）①当时，如图所示，过点作交于点，
当点与点重合时，是直角三角形，
当时，是直角三角形，

设交于点，
∵直线的解析式为，
则，
∴,
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴，
设，则
∵
∴
解得：（舍去）或
∴
∵是锐角三角形
∴；
当时，如图所示，
同理可得
即∴
解得：或（舍去）
由（2）可得时，

∴
综上所述，当是锐角三角形时，或．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，角度问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25．（2023·河南濮阳·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，已知.

(1)求抛物线的表达式及其顶点坐标.
(2)若将抛物线L向左平移个单位长度得新抛物线G，若抛物线G与坐标轴仅有两个交点，求m的值.
(3)若P为线段上一动点，过点P作y轴的平行线，该平行线与抛物线G的交点为N，请直接写出点N纵坐标的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）先利用交点式求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化为顶点式即可得到答案；
（2）先求出平移后的抛物线解析式为，再根据抛物线的性质推出：抛物线“G”必过原点，由此代入原点坐标求解即可；
（3）由（2）得抛物线“G”的函数解析式为，得到，由轴，得到，则，根据抛物线的性质求出抛物线，由此即可得到答案．
【详解】（1），
，，
∴抛物线的表达式为，
∴顶点坐标为.
（2）∵抛物线向左平移m个单位长度得抛物线G，
∴抛物线G的函数表达式为，
∵新抛物线G与坐标轴仅有两个交点，
∴新抛物线G必过原点，将原点坐标代入，得.
（3）如图，

由（2）知，平移后的函数表达式为，
为线段上一动点，轴，
∴点N的横坐标的范围为.
∵抛物线G的对称轴在此范围内，
∴当时，函数值最小为；
当时，函数值最大为
的取值范围为.
【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，抛物线的平移问题，灵活运用所学知识是解题的关键．
函数
二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣11
﹣2
1
﹣2
﹣5
…
-2
0
2
4
6
8
10
-8
-3
0
1
0
-3
-8
x
0
1
y
1
4
5
4
1