第07讲 二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)的图象与性质--初中人教版八升九数学暑假衔接（教师版+学生版）试卷

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一、二次函数的概念
1.二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数.
若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2.
以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.
二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
① （a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④（a≠0），其中；⑤（a≠0）.
要点诠释：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
2.二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：（，，为常数，）；
2. 顶点式：（，，为常数，）；
3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）（或称交点式）.
要点诠释：
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
二、二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象
用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.
因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.
2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法
用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.
要点诠释：
二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质
二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：
要点诠释：
顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.
│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.
三、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质
1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象
（1）
（2）
2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质
关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：
3.二次函数与之间的关系；（上加下减）.
的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象.
要点诠释：
抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同．
函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．
抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．
【考点剖析】
题型一、二次函数的概念
例1．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y=2x+1B．y=（x﹣1）2﹣x2C．y=2x2﹣7D．
【变式1】如果函数是二次函数，求m的值．
【变式2】(1)当m＝________时，函数是二次函数?
(2)当m＝________时，函数是一次函数?
题型二、二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质
例2．函数y＝x2的图象对称轴左侧上有两点A(a，15)，B(b，)，则a-b_______0(填“＞”、“＜”或“＝”号)．
【变式1】二次函数与的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则 ．
【变式2】抛物线y=﹣x2不具有的性质是（ ）．
A.开口向上 B. 对称轴是y轴
C. 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大 D. 最高点是原点
【变式3】二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2013在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2013在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2012B2013A2013都为等边三角形，求△A2012B2013A2013的边长．

题型三、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质
例3．求下列抛物线的解析式：
（1）与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线；
（2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y轴对称的抛物线．
【变式1】 有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m．求灯与点B的距离．

【变式2】(1)抛物线的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．
(2)抛物线与的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为 ．
(3)抛物线向 平移 个单位后，得到抛物线.
例4．在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象(如图所示)回答下列问题．
(1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线；
(2)抛物线，开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；
(3)抛物线，当x________时，随x的增大而减小；当x________时，函数y有最________值，其最________值是________．
【变式1】根据下列条件求a的取值范围：
(1)函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；
(2)函数y＝(3a-2)x2有最大值；
(3)抛物线y＝(a+2)x2与抛物线的形状相同；
(4)函数的图象是开口向上的抛物线．
例5.在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数 的图象大致为（ ）．

【变式】在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2﹣b的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023·浙江·九年级假期作业）二次函数的二次项系数与一次项系数的和为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）函数，，中，图象开口大小的顺序是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）下列函数中是二次函数的是( )
A． B． C． D．
4．（2023·上海·九年级假期作业）已知，点都在函数的图象上，则( )
A．B．C．D．
5．（2023·浙江·九年级假期作业）已知点为二次函数图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若：，则D．若，则
6．（2023·浙江·九年级假期作业）如果二次函数的值恒大于，那么必有（ ）
A．，取任意实数B．，
C．，D．，均可取任意实数
7．（2023·浙江·九年级假期作业）关于二次函数的图像，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．对称轴为直线
C．顶点坐标为
D．当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大
8．（2023·安徽·统考中考真题）下列函数中，的值随值的增大而减小的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·上海·九年级假期作业）抛物线，，共有的性质是（ ）
A．开口向上B．对称轴都是y轴C．都有最高点D．顶点相同
10．（2023·广东·统考中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
11．（2023·浙江·九年级假期作业）抛物线，，的共同性质是__________（写出一条即可）
12．（2021秋·广东江门·九年级台山市新宁中学校考期中）抛物线的顶点坐标是________．
13．（2023·上海·九年级假期作业）若函数是关于的二次函数，则____．
14．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）如图，①，②，③，④，比较a．b．c．d的大小，用“”连接．__________

15．（2023·浙江·九年级假期作业）抛物线的对称轴是_____．
16．（2023·浙江·九年级假期作业）已知点，是抛物线上的两点，若，则_____（填“”“”或“”）．
三、解答题
17．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，直线与y轴交于点A，与抛物线y＝ax2交于B，C两点，且点B坐标为（2，2）．
(1)求a，b的值；
(2)连接OC、OB，求△BOC的面积．
18．（2023·浙江·九年级假期作业）根据下列条件分别求a的取值范围．
(1)函数，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；
(2)函数y＝有最大值；
(3)抛物线与的形状相同；
(4)函数的图象是开口向上的抛物线．
19．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数．
求函数图象的对称轴和顶点坐标；
求这个函数图象与轴的交点坐标．
20．（2023·上海·九年级假期作业）已知函数是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)函数图象的两点，，若满足，则此时m的值是多少？
21．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数的图象经过点．求：
(1)该函数解析式及对称轴；
(2)试判断点是否在此函数的图象上．
22．（2022春·九年级课时练习）根据下列条件求a的取值范围：
（1）函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；
（2）函数y＝(3a-2)x2有最大值；
（3）抛物线y＝(a+2)x2与抛物线的形状相同；
（4）函数的图象是开口向上的抛物线．
23．（2022春·九年级课时练习）如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B、C两点．B点坐标为．
(1)求抛物线解析式；
(2)若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得，求点D的坐标．
24．（2022秋·北京通州·九年级人大附中通州校区校考阶段练习）在平面直角坐标系中，过点(0，2)且平行于x轴的直线，与直线y=x−2交于点A，点A关于直线x=2的对称点为B．
(1)求点A与点B的坐标；
(2)若函数的图象与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
25．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在正方形中，已知：点A，点B在抛物线上，点C，点D在x轴上．
(1)求点A的坐标；
(2)连接交抛物线于点P，求点P的坐标．
26．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数y＝ax2+b的图象与直线y＝x+2相交于点A（1，m），点B（n，0）．
（1）求二次函数的解析式，并写出该拋物线的对称轴和顶点坐标；
（2）选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
（3）画出这两个函数的图象，并结合图象直接写出ax2+b＞x+2时x的取值范围．
27．（2022·全国·九年级假期作业）已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c．
（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；
（2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝ ；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝ ；
（3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表：
表中m、n、p的大小关系为 （用“＜”连接）．
函数

图象
开口方向
顶点坐标
对称轴
函数变化
最大（小）值
y=ax2
a>0
向上
（0，0）
y轴
x>0时，y随x增大而增大；
x<0时，y随x增大而减小.
当x=0时，y最小=0
y=ax2
a<0
向下
（0，0）
y轴
x>0时，y随x增大而减小；
x<0时，y随x增大而增大.
当x=0时，y最大=0
函数
图象
开口方向
向上
向下
顶点坐标
(0，c)
(0，c)
对称轴
y轴
y轴
函数变化
当时，y随x的增大而增大；
当时，y随x的增大而减小.
当时，y随x的增大而减小；
当时，y随x的增大而增大.
最大（小）值
当时，
当时，
x
……





……
y
……





……
x
﹣2
1
5
y
m
n
p