第2部分-预习-第09讲 二次函数y＝a(x－h)2与y＝a(x－h)2＋k 的图象和性质（学生版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版）

这是一份第2部分-预习-第09讲 二次函数y＝a(x－h)2与y＝a(x－h)2＋k 的图象和性质（学生版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版），共15页。学案主要包含了变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3，变式3-1，变式3-2等内容，欢迎下载使用。

知识点1：二次函数的图象和性质（重难点）
知识点2：二次函数的图象和性质（重难点）
要点归纳：
二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．
知识点3：二次函数的平移
1.平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

2.平移规律：
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
要点归纳：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
考点1：y＝a(x－h)2的图象与性质的识别
【例1】已知抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点(－4，2)，求a，h的值．
【变式1-1】（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式1-2】（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为x＝﹣2B．顶点坐标为（2，3）
C．函数的最大值是﹣3D．函数的最小值是﹣3
【变式1-3】（2023九年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）抛物线y=4x−22与x轴的交点坐标为 ．
考点2：二次函数y＝a(x－h)2增减性的判断
【例2】对于二次函数y＝9(x－1)2，下列结论正确的是( )
A．y随x的增大而增大 B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．当x＞－1时，y随x的增大而增大 D．当x＞1时，y随x的增大而增大
【变式2-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）二次函数，当时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
【变式2-2】（2023九年级·福建南平·阶段练习）在抛物线y=2(x−m)2上，当x>3时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m=3B．m>3C．m≤3D．m≥3
【变式2-3】（2023九年级·青海西宁·阶段练习）已知二次函数y= -（x-1）2
（1）画出这个函数的图象；
（2）由图象可知，当x___时，y随x增大而减小，当x=___，y有最___值为___．
考点3：确定y＝a(x－h)2与y＝ax2的关系
【例3】能否向左或向右平移函数y＝－eq \f(1,2)x2的图象，使得到的新的图象过点(－9，－8)？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．
【变式3-1】（2023九年级·全国·课前预习）抛物线y=a(x−ℎ)2与抛物线y=ax2的关系：
若h＞0，抛物线y=ax2向 平移h个单位就得到抛物线y=a(x−ℎ)2；
若h＜0，，抛物线y=ax2向 平移|h|个单位就得到抛物线y=a(x+ℎ)2．
【变式3-2】（2023九年级·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x2，y=(x+2)2，y=(x-2)2的图象，并写出对称轴及顶点坐标.
【变式3-3】已知函数，和．
(1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；
(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；
(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象；
(4)分别说出各个函数的性质．
考点4：y＝a(x－h)2的图象与几何图形的综合
【例4】把函数y＝eq \f(1,2)x2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C，并与直线y＝x分别相交于A、B两点(点A在点B的左边)，求△ABC的面积．
【变式4-1】抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积和周长．
【变式4-2】已知二次函数的图象如图所示，求的面积．
【变式4-3】如图所示，抛物线的顶点为C，与y轴交点为A，过点A作y轴的垂线，交抛
物线于另一点B．
(1)求直线AC的解析式；
(2)求△ABC的面积；
(3)当自变量x满足什么条件时，有?
考点5：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象
【例5】求二次函数y＝x2－2x－1的顶点坐标、对称轴及其最值．
【变式5-1】函数y=−12(x+1)2+2的图象是一条________，开口方向________，顶点坐标为________．
【变式5-2】二次函数：
①y=−13x2+1；②y=12(x+1)2−2；③y=−12(x+1)2+2；④y=12x2；⑤y=−12(x−1)2；⑥y=12(x−1)2．
（1）以上二次函数的图象的对称轴为直线x=－1的是__________(只填序号)；
（2）以上二次函数有最大值的是_______________(只填序号)﹔
（3）以上二次函数的图象中关于x轴对称的是________________(只填序号)．
【变式5-3】已知二次函数，当时有最小值10，则m的值为 ．
考点6：二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质
【例6】如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，x＝－1是对称轴，有下列判断：①b－2a＝0；②4a－2b＋cy2.其中正确的是( )
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【变式6-1】抛物线上有三点，分别是；；那这三点中纵坐标的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】.已知抛物线y=2（x﹣1）2﹣8．
（1）直接写出它的顶点坐标： ，对称轴： ；
（2）x取何值时，y随x增大而增大？
【变式6-3】设二次函数y=x2−2a−4x−1，其中a为实数．
（1）二次函数的对称轴为直线_______________．（用含a的式子表示）
（2）若二次函数在0≤x≤3有最小值−5，则实数a的值是_______________．
考点7：利用平移确定y＝a(x－h)2＋k的解析式
【例7-1】将抛物线y＝eq \f(1,3)x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是( )
A．y＝eq \f(1,3)(x－2)2－1 B．y＝eq \f(1,3)(x－2)2＋1
C．y＝eq \f(1,3)(x＋2)2＋1 D．y＝eq \f(1,3)(x＋2)2－1
【例7-2】把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数
的图象．
（1）试确定a、h、k的值；
（2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．
【变式7-1】（2023•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+3）2+2B．y＝（x﹣1）2+2C．y＝（x﹣1）2+4D．y＝（x+3）2+4
【变式7-2】二次函数y＝x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移4个单位．
（1）请直接写出经过两次平移后的函数解析式；
（2）请求出经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，并指出当x满足什么条件时，函数值小于0？
（3）若A（x1，y1），B（x2，y2）是经过两次平移后所得的函数图象上的两点，且x1＜x2＜0，请比较y1、y2的大小关系．（直接写结果）
【变式7-3】已知是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长
度得到的抛物线．
(1)求出a、h、k的值；
(2)在同一坐标系中，画出与的图象；
(3)观察的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x增大而减
小，并求出函数的最值；
(4)观察的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗?
考点8：y＝a(x－h)2＋k的图象与几何图形的综合
【例8】如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝－2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间(C不与A、B重合)．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为________．(用含a的式子表示)
【变式8-1】（2023九年级·山东烟台·期中）在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=ax−42+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB//x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 ．
【变式8-2】（22-23九年级上·天津武清·阶段练习）已知二次函数．
(1)写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点P坐标；
(2)若抛物线与轴交于、两点，求三角形的面积．
【变式8-3】（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如，点是一次函数图像的“1阶方点”．
(1)在①，②，③三点中，是反比例函数图像的“2阶方点”的有________（填序号）；
(2)如图，已知抛物线交y轴于点C，一次函数的图像交抛物线第二象限于点P，点Q为该一次函数图像的“1阶方点”．
①求的面积的最大值；
②若一次函数图像的“1阶方点”有且只有一个，求a的值；
(3)若抛物线的“m阶方点”一定存在，求m的取值范围．
考点9：二次函数y＝a(x－h)2＋k的实际应用
【例9】心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(分钟)之间满足函数y＝－eq \f(1,10)(x－13)2＋59.9(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强．
(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
(2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？
(3)第几分钟时，学生的接受能力最强？
【变式9-1】（23-24九年级上·浙江湖州·期末）根据以下素材，探索完成任务．
【变式9-2】某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，减少库存，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．
(1)设销售单价提高x元（x为正整数），写出每天销售量y（个）与x（元）之间的函数关系式；
(2)当售价定为多少元时，每天的利润为140元？
(3)假设这种商品每天的销售利润为w元，商人为了获得最大利润，应将该商品每件售价定为多少元？最大利润是多少元．
【变式9-3】．（2023·山西太原·模拟预测）阅读与思考
下面是小牛同学的部分日记，请仔细阅读并完成相应的任务：
任务：
(1)上面日记中的分析过程中主要运用的数学思想是______．
A．数形结合 B．统计思想 C．分类讨论 D．函数思想
(2)请补全小牛的日记中的解题过程．
(3)下列两个三位数相乘的运算中（两个乘数的百位上的数都是8，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100），，，，…，，，．用以上方法猜想其中哪个积最大，并说明理由．
一、单选题
1．（23-24九年级上·重庆石柱·阶段练习）抛物线的图象一定经过的点是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·安徽宿州·二模）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上B．对称轴是直线
C．顶点坐标为D．当时，随的增大而增大
6．（2024·广东东莞·二模）二次函数的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．（23-24九年级上·福建厦门·期中）抛物线的顶点的坐标是 ．
8．（23-24九年级上·重庆开州·阶段练习）已知抛物线上有两点、，则 （填“＜”或“＞”）．
9．（21-22九年级上·广东中山·阶段练习）将抛物线沿轴翻折后对应的函数解析式为 ．
10．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限，以为顶点的抛物线经过原点，与轴负半轴交于点，点在抛物线上，且位于点、之间（不与、重合）.若四边形的周长为14，的周长大于8，则的取值范围为 ．
11．（2024·江苏扬州·二模）如图，已知，，，抛物线过点C，顶点M位于第二象限且在线段的垂直平分线上，若该抛物线与线段没有公共点，则k的取值范围是 ．
12．（2024九年级下·江苏·专题练习）已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是．
（1）当时，函数的最大值是 ；
（2）若函数的最大值为，则h的值是 ．
三、解答题
13．如图，抛物线y=2（x-2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S△ABC;
14．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）已知点是抛物线上的点，且点在第一象限内，求的值．
15．（2024·江苏南京·二模）二次函数的图像过点，．
(1)的值为______；
(2)若，是该函数图像上的两点，当，时，试说明：；
(3)若关于的方程有一个正根和一个负根，直接写出的取值范围．
16．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知抛物线．
(1)求该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；
(2)当为何值时，随的增大而减小，当为何值时，随的增大而增大？
17．（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于的方程，
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程两根，满足，求的值；
(3)在问题（2）成立的前提下，写出函数的增减性．
18．（23-24九年级上·天津静海·阶段练习）已知抛物线．
(1)写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴；
(2)判断点是否在此抛物线上；
(3)求出此抛物线上纵坐标为的点的坐标．
19．（23-24九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，直线与轴、轴分别交于点、．抛物线经过、，并与轴交于另一点，其顶点为，
(1)求，的值；
(2)抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求的周长；若不存在，请说明理由；
(3)抛物线的对称轴是上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．会用描点法画出y＝a(x－h)2与y＝a(x－h)2＋k的图象．
2．掌握形如y＝a(x－h)2与y＝a(x－h)2＋k的二次函数图象的性质，并会应用．
3．理解二次函数y＝a(x－h)2与y＝ax2、y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的联系．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
如何选择合适的种植方案？
素材1
为了加强劳动教育，落实五育并举，吴兴区某中学在校园内建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜．
素材2
甲种蔬菜种植成本y（单位：元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/．
问题解决
任务1
确定函数关系
求甲种蔬菜种植成本y与其种植面积x的函数关系式．
任务2
设计种植方案
设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？并求出W的最小值．
任务3
预计下降率
学校计划今后每年在这土地上，按“任务二”中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2026年的总种植成本为2892元？
二次函数的应用
×年×月×日
今天在数学活动学习过程中遇到一个问题：下列两个两位数相乘的运算中（两个乘数的十位上的数都是2，个位上的数的和等于10），，，，…，，，．
请你先猜想，积最大的是____________，并说明理由．
猜想：积最大的是．
理由如下：
设两个乘数的积为y，其中一个乘数的个位上的数为x，则另一个乘数个位上的数为．
根据题意得，…