第09讲 二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版含答案

这是一份第09讲 二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版含答案，共19页。学案主要包含了基本形式与顶点坐标，图象特征，函数性质，与y = ax2的平移关系，图象画法等内容，欢迎下载使用。
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01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 二次函数y=ax²+k的图象和性质
题型2 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质
题型3 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质
题型4 二次函数的平移
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
知｜识｜框｜架

知｜识｜精｜讲

知识点01 二次函数y=ax²+k的图象和性质
一、基本形式与顶点坐标
- 顶点坐标：(0, k)
- 对称轴：x = 0（即 y 轴）
- 相当于将y = ax2的图象上下平移|k|个单位
二、图象特征（取决于a与 k）
1. 开口方向
- a > 0：开口向上 → 有最小值k
- a < 0：开口向下 → 有最大值k
2. 开口大小（形状）
- 由|a|决定：|a|越大，抛物线越窄；|a|越小，抛物线越宽
- 形状与y = ax2完全相同，只是整体上移或下移
3. 顶点位置
- 始终在 y 轴上：(0, k)
- k > 0：顶点在 x 轴上方
- k = 0：顶点在原点(0,0)
- k < 0：顶点在 x 轴下方
4. 与 x 轴的交点（根的情况）
解方程 ax2 + k= 0 ⇒ x2 = −ka
5. 与 y 轴的交点
- 令x = 0 ⇒ y = k
- 交点：(0, k) —— 正好是顶点
三、函数性质
1. 定义域：全体实数
2. 值域:a > 0 ：y≥k; a 0时：在x≤0上单调递减;在x≥0上单调递增
当a < 0时：在x≤0上单调递增;在x≥0上单调递减
4. 最值
- a > 0：最小值ymin= k（在x=0处）
- a < 0：最大值ymax= k（在x=0处）
四、与y = ax2的平移关系
注意：只有上下平移，没有左右平移。
五、图象画法
方法（利用对称性）：
确定顶点(0, k)
2. 确定对称轴x = 0
3. 取x = 1, 2, … 计算y
4. 利用对称性得到x = -1, -2,…的点
5. 平滑连线
【易错提醒】
图象由y=ax2上下平移|k|个单位（k>0上移，k 0 ：开口向上 → 有最小值0
- a < 0 ：开口向下 → 有最大值0
2. 开口大小（形状）
- 由|a|决定：|a|越大，抛物线越窄；|a|越小，抛物线越宽
- 形状与y = ax2完全相同，只是整体左移或右移
3. 顶点位置
- 始终在 x 轴上：(h, 0)
- h > 0：顶点在 y 轴右侧
- h = 0：顶点在原点(0,0)
- h < 0：顶点在 y 轴左侧
4. 与 x 轴的交点
解方程 a(x - h)2 = 0 ⇒ (x - h)2 = 0 ⇒ x = h
- 只有一个交点（切点）：(h, 0)—— 正好是顶点
5. 与 y 轴的交点
- 令x = 0 ⇒y = a(0 - h)2 = ah2
- 交点：(0, ah2)
三、函数性质
1. 定义域：全体实数
2. 值域:a > 0 ：y≥0; a 0时：在x≤h上单调递减;在x≥h上单调递增
当a < 0时：在x≤h上单调递增;在x≥h上单调递减
4. 最值
- a > 0：最小值ymin= 0（在x=h处）
- a < 0：最大值ymax= 0（在x=h处）
四、与y = ax2的平移关系
> 注意：只有左右平移，没有上下平移。
> 符号记忆：x - h = 0 ⇒ x = h，顶点在正h处。
五、图象画法
方法（利用对称性）：
确定顶点 (h, 0)
2. 确定对称轴x = h
3. 取x = h±1, h±2,…计算y
4. 平滑连线
【易错提醒】
图象由y=ax2左右平移|h|个单位（h>0右移，h 0：开口向上 → 有最小值k
- a < 0：开口向下 → 有最大值k
2. 开口大小（形状）
- |a|决定开口宽窄：|a| 越大，抛物线越窄；|a|越小，抛物线越宽
- 与 y = ax2的形状完全相同，只是位置平移
3. 顶点位置
- h控制左右平移：h>0向右移，h0向上移，k 0 ：y≥k; a 0时：在x≤h上单调递减;在x≥h上单调递增
当a < 0时：在x≤h上单调递增;在x≥h上单调递减
4. 最值
- a > 0：最小值ymin= k（在x=h处），无最大值
- a < 0：最大值ymax= k（在x=h处），无最小值
【易错提醒】
顶点(h,k)，对称轴x=h。注意平移：h>0右移，k>0上移（“左加右减，上加下减”是对x和y的操作）。\(a\) 决定开口方向与大小。勿混淆顶点坐标符号。
即时即练1．对于抛物线，下列说法正确的是（ ）．
A．图象与轴无交点
B．当时，随的增大而增大
C．当时，有最小值
D．图象的顶点坐标为
2．已知函数，和．
(1)在同一个平面直角坐标系中画出这三个函数的图象；
(2)分别说出这三个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)试讨论函数的性质．
知识点04 二次函数y=a(x-h)²+k与 y = ax2 的平移关系
1. 左右平移 h个单位：
- h > 0：向右平移h
- h < 0：向左平移|h|
- 得到y = a(x - h)2
2. 上下平移k个单位：
- k > 0：向上平移k
- k < 0：向下平移|k|
- 最终得到y = a(x - h)2 + k
> 注意顺序：先左右，后上下。
【易错提醒】
y=ax2向右平移h单位得y=a(x-h)2（h>0），向上平移k单位得y=ax2+k。注意“左加右减”是x替换为x+h；“上加下减”直接加在常数项。勿反方向。
即时即练1．将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为__________．
2．把抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线．
(1)试确定a，h，k的值；
(2)若以x轴为对称轴，将原抛物线翻折，求所得抛物线的函数表达式．
题型1 二次函数y=ax²+k的图象和性质
【例1】对于抛物线，下列结论不正确的是（ ）
A．对称轴是轴
B．与轴没有交点
C．有最小值
D．当时，随增大而增大
【例2】抛物线，，共有的性质是( )
A．开口向上
B．顶点坐标都是
C．对称轴是y轴
D．在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
【技巧归纳】
抛物线 y=ax²+k 以y轴为对称轴，顶点(0,k)。a决定开口方向与大小，a>0开口向上，a0开口向上有最小值k，a 0
2 个
(±−ka,0)
−ka = 0（即k=0）
1 个（切点）
(0,0)
−ka < 0
0 个
无实数交点
变换
函数
顶点
基础
y = ax2
(0,0)
向上平移 k单位（k>0 ）
y = ax2+ k
(0,k)
向下平移|k|单位（k0）
y = a(x - h)2
(h,0)
向左平移h单位( h>0
y = a(x - h)2
(h,0)
x
…
0
1
2
3
…
y
…
4
1
0
m
n
…