专项训练01 一元二次方程中含参数问题（暑假复习巩固培优）新九年级数学新教材人教版

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【知识点1 一元二次方程的定义】
（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
【知识点2 一元二次方程的解】
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．
【知识点3 一元二次方程根的判别式】
1.根的判别式：b2-4ac；
2.判别方法：
【知识点4 一元二次方程根与系数的关系】
一元二次方程：，
（1）条件：，方程的两个根为；
（2）结论：；
【题型1 利用一元二次方程的定义求参数】
1．当 时，是关于的一元二次方程．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程，
∴，
∴，
故答案为：．
2．若关于x的方程是一元二次方程，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出且，再求出m即可．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴且，
解得：．
故答案为：．
3．若是关于x的一元二次方程，则m的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程，根据一元二次方程的定义，可知且，由此即可求得m的值．
【详解】解：由题意可知，且，
解得或，
解得：，
∴，
故答案为：．
【题型2 一元二次方程的解求参数的值】
4．若是一元二次方程的一个根，则 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解满足方程是解答的关键．将代入方程中求解即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，解的，
故答案为：．
5．已知关于x的方程的一个根为，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是一元二次方程根的含义，掌握以上知识是解题的关键．把代入原方程求．
【详解】解：把代入原方程：
，
，
故答案为：．
6．关于的方程是一元二次方程，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查利用一元二次方程概念求参数，根据一元二次方程概念得到，求解，即可解题．
【详解】解：关于的方程是一元二次方程，
，，
解得，，
综上，，
故答案为：．
【题型3 一元二次方程的解求参数的值】
7．若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，再根据计算求解即可．
【详解】解；∵关于x的一元二次方程的一个根是，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
8．若是方程的根，则的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了一元二次方程的解，代数式求值，解题的关键是正确理解方程的根．
根据一元二次方程的解，将代入方程，求出的值，代入所求代数式，计算即可．
【详解】解：∵是方程的根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
9．已知m为方程的根，那么的值为 ．
【答案】0
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程的解是使方程两边相等的未知数的值，则，进而可得，，进一步可得，再把所求式子变形为，据此求解即可．
【详解】解：∵m为方程的根，
∴，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：0．
【题型4 一元二次方程的解求参数的值】
10．已知是关于x的一元二次方程的两实根．
(1)求k的取值范围；
(2)若是方程的根，求k的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和己知方程的根求参数，熟练掌握根的判别式是解题的关键，
（1）根据方程有两实根可得，代入数值解不等式即可得到答案；
（2）由是方程的根，代入即可求k的值．
【详解】（1）解：∵有两实根，
∴，
∴，
解得：，
（2）解：∵是方程的根，
∴，
解得：或．
11．已知的两邻边的长是关于的方程的两个实数根．
(1)若的长为2，求的值；
(2)当为何值时，是菱形？
【答案】(1)
(2)1
【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程根的判别式；熟练根据一元二次方程根的情况列出对应的等式是解题的关键．
（1）将代入方程即可解出的值；
（2）先根据菱形的性质得到，然后利用一元二次方程根的判别式列等式求解即可．
【详解】（1））解：当时，
将代入方程得：
解得：；
（2）∵是菱形，
∴关于方程有两个相等的实数根，
解得：，
故当时，是菱形．
12．已知关于的一元二次方程．
(1)取何值时，方程有两个不相等的实数根；
(2)求取值范围内的最小整数时，方程的根．
【答案】(1)且
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程等知识，熟练相关知识是解题关键．
（1）根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的根的判别式，可得，且，求解即可；
（2）根据题意可知，然后利用公式法求解该一元二次方程即可．
【详解】（1）解，由题意，可得，且，
解得且；
（2）∵且
∴取值范围内的最小整数时，可有，
当时，得，
解得．
【题型5 一元二次方程的解求参数的值】
13．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个根，满足，求的值．
【答案】(1)见解析；
(2)的值为或．
【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键．
（）计算根的判别式的值得到，所以，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（）先利用根与系数的关系得，，再由已知条件得到，所以，然后解关于的方程即可．
【详解】（1）证明：∵
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：根据根与系数的关系得，，
∵，
∴，
∴，
整理得，
解得，，
即的值为或．
14．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个实数根；
(2)当的斜边长，且两条直角边和恰好是这个方程的两个根时，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)的周长为．
【分析】本题考查了根与系数的关系和根的判别式及勾股定理．
（1）根据即可证明无论k取什么实数值，该方程总有两个实数根；
（2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于b，c的方程，解出b，c即可得出答案．
【详解】（1）证明：，
∵，，，
∴
，
∴无论k取什么实数值，该方程总有两个实数根；
（2）解：∵和是关于的一元二次方程的两个根，
∴，，
∵是直角三角形，且斜边长，
∴，即，
∴，
整理得，
解得或，
∵和是直角边，
∴和是正数，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，
∴的周长为．
15．已知一元二次方程有两个根分别为，．
(1)求m的取值范围；
(2)若，满足，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式．
（1）利用根的判别式即可解决问题；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系得，，再将变形得，即可得关于m的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个根，
∴，
解得，
∴m的取值范围是；
（2）解：∵一元二次方程的两个根分别为，，
∴，，
又∵，
∴，
则，
解得或4，
又∵，
∴．

一、单选题
1．是关于的一元二次方程，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程，
∴，
∴；
故选A．
2．若是方程的一个解，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入一元二次方程得到，然后解一次方程即可．
【详解】解：把代入方程得，，
解得．
故选：B．
3．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为
A．4B．C．2D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了根的判别式，利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴判别式，
解得：
故选：D．
4．设a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（ ）
A．或B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意可得，，由可得，结合求出或，由题意可得，求出，即可得解．
【详解】解：∵a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴由可得：，
∵，
∴，
∴，
解得：或，
由题意可得，
解得：，
∴，
故选：B．
5．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴二次项系数，即．
令，即，
解得．
∴且
故选：C．
二、填空题
6．若关于x的方程是一元二次方程，则m= ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且），特别要注意的条件．根据题意列出关于m的等式求解即可．
【详解】解：根据题意可知
解得．
故答案为：．
7．若一元二次方程无实数根，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】考查考查了一元二次方程的根的情况，解题关键是列出不等式求解．根据一元二次方程无实数根，得到关于的不等式求解．
【详解】解：∵一元二次方程无实数根，
∴，解得：，
故答案为：．
8．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是 ．
【答案】2025
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，根据一元二次方程解的定义得到，然后再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：把代入方程，得，
所以，
所以．
故答案为：．
9．若关于的一元二次方程的两根为，且，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系得到，即可得到答案．
【详解】解：由题意得：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
10．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了根的判别式．
直接根据根的判别式计算即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且m-1≠0；
解得且m≠1
故答案为：且m≠1．
三、解答题
11．当为何值时，方程
(1)是关于的一元一次方程．
(2)是关于的一元二次方程．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为1的整式方程是一元一次方程．
（1）根据题意得到，或，进而求解即可；
（2）根据题意得到，，进而求解即可；
【详解】（1）解：根据题意得，，或，
∴或；
（2）解：根据题意得，，
∴，
∴．
12．关于的方程为，为实数．
(1)判断方程根的情况．
(2)求整数，使原方程至少有一个整数根．
【答案】(1)为任何实数，原方程均有实数根
(2)
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一元二次方程的根．解题关键是掌握根的判别式及根定义，分类讨论，是解题的关键．
（1）分类讨论，当时，或，方程为一元一次方程，一定有一个实数根；当时，利用根的判别式，则一元二次方程必有两个实数根；综合以上即可得证；
（2）至少有一实数根为整数，由两实数根为整数，则， ，即可求解．
【详解】（1）解：当时，或．
原方程为，或．有实数根．
当时，
．有实数根．
综上，为任何实数，原方程均有实数根．
（2）解：由（1），当时，原方程有整数根．
当时，
两根为．
即．
若是整数，
则．
∴．
取．
若是整数，
则．
∴．
综上，，原方程至少有一个整数根．
13．若关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若a，b是关于x的一元二次方程的两个根，且，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键；
（1）由题意易得，然后求解即可；
（2）由题意易得，然后根据完全平方公式可得，进而代入进行求解即可
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：；
（2）解：由题意知：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即：m的值为．
14．已知关于的一元二次方程（为常数）．
(1)求证：方程总有两个实数根．
(2)若，为非负整数，且方程的两个实数根均为整数，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)或6或15
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及解方程，掌握公式准确计算是本题的解题关键．
（1）计算方程的判别式得出即可证明结论；
（2）设方程的两个根为，，得，．由求根公式得．进而得必须是整数．
设（k为整数），则．可得，即，由m，n，k均为整数，且p为非负整数，可得，再验证即可求得答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
，，
，
方程总有两个实数根；
（2）解：，
，
设方程的两个根为，．
，．
方程的求根公式为．
，则．
因为方程的两个实数根均为整数，且p为非负整数，所以必须是整数．
设（k为整数），则．
当（m，n为整数，且），两式相减得，．
，
，
，
，
m，n，k均为整数，且p为非负整数，
，
当时，，此时．
当，，（舍负），
当，时， ，，（舍负），
其它情况不合题意，
综上，的值为0或6或15．
15．已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
(2)若，求一元二次方程的根；
(3)若方程两实数根为，，且满足，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
（1）根据有两个不相等的实数根得到，解不等式即可得到答案；
（2）把代入，解一元二次方程即可；
（3）根据一元二次方程根与系数的关系求出，即可得到答案．
【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根，
，
；
（2）解：把代入，得，
，
解得；
（3）解：，，
，
解得．
1．已知关于x的一元二次方程
(1)如果方程的根的判别式的值为3，求m的值．
(2)如果方程有实数根，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)且
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．
（1）根据一元二次方程根的判别式结合题意可得，求解即可；
（2）由题意可得且，计算即可得解．
【详解】（1）解：由题意可得：，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由题意得：且，
∴且
∴且，
∴m的取值范围是：且．
2．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为，，且，求的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)或．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
（1）根据根的判别式证明恒成立即可；
（2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解．
【详解】（1）证明：，
∵无论取何值，，恒成立，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
解得：或．
3．若关于的方程有两个实数根，
(1)求的取值范围；
(2)设，是方程的两个根，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，解一元二次方程等知识，解题的关键是：
（1）根据方程有两个实数根，可得，代入求解即可；
（2）根据根与系数的关系得出，，然后根据，列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵关于的方程有两个实数根，
∴，
解得；
（2）解：根据题意，得，，
∵，
∴，
∴，
化简，得，
解得，，
∵，
∴．
4．我们规定：对于任意实数a，b，c，d，有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算，如：．
(1)求的值；
(2)若关于的方程有两个相同的实数根，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，一元二次方程的根的判别式，正确理解新定义列出对应的算式和方程是解题的关键．
（1）根据新定义可得，据此计算求解即可；
（2）根据新定义可得方程，整理得，再由方程有两个相等的实数根，利用根的判别式求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
即，
解得：．
5．材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”．
例如：，即，解得
，是“和积方程”．
材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．
(1)方程 （填是或不是）“和积方程”；
(2)若关于x的方程是“和积方程”，则_____
(3)若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值．
【答案】(1)不是
(2)或
(3)m的值为或或．
【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，理解新定义是解题的关键．
（1）根据“韦达定理”计算即可判断；
（2）根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解；
（3）利用要根的判别式求得，再根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：设方程的两个实数根为，，
∴，，
∵，
∴，
∴方程不是“和积方程”，
故答案为：不是；
（2）解：∵关于x的方程是“和积方程”， ，，
∴，
当时，解得；
当时，解得；
（3）解：∵方程有两个实数根，
∴，
∴，
∵方程是“和积方程”，
∴，
当时，
整理得，
解得（舍去）或；
当时，
整理得，
解得或；
∴m的值为或或．
b2-4ac的值的正负
的根的情况
b2-4ac>0
方程有两个不相等的实数根：
b2-4ac=0
方程有两个相等的实数根：
b2-4ac