专项训练08 圆中求弧长与面积的有关计算问题（暑假复习巩固培优）新九年级数学新教材人教版

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【知识点1 弧长和扇形面积】
1.扇形的弧长和面积计算
扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
2.扇形与圆柱、圆锥之间联系
（1）圆柱： ①圆柱侧面展开图：=；②圆柱的体积：
（2）圆锥侧面展开图：①=；②圆锥的体积：
注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（）
【题型1 利用弧长公式求弧长】
1．如图，的半径是3，点A、B、C在上，若，则弧的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题关键．由圆周角定理可得，再利用弧长公式求解即可．
【详解】解：如图，连接、，
，，
，
的半径是3，
弧的长为，
故答案为：．
2．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为，则的长是 （结果保留）
【答案】
【分析】本题主要考查了求弧长，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，再根据弧长公式计算求解即可．
【详解】解：∵是正三角形，
∴，
∴的长是，
故答案为：．
【题型2 利用扇形面积公式求面积】
3．如图，正六边形的边长为，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．
【答案】/
【分析】本题主要考查正多边形与圆及扇形面积公式，熟练掌握正多边形与圆及扇形面积公式是解题的关键；由正六边形的性质可知，然后根据扇形面积公式可进行求解．
【详解】解：∵六边形是正六边形，
∴，
∴阴影部分的面积为；
故答案为．
4．一把折扇打开后，如图，小扇形的半径为，弧长为，大扇形的半径为，扇面的宽度为，则扇面的面积（阴影部分）是 （结果保留）．
【答案】
【分析】本题考查了求扇形面积，弧长的计算，先根据小扇形的半径为，弧长为，求出的度数，根据列式代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：设，
根据题意可列方程为：，
解得：，
则，
大扇形的半径为，扇面的宽度为，
，
则
．
故答案为：．
【题型3 不规则阴影部分周长计算】
5.如图，在扇形中，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交于点C，则图中阴影部分的周长是 ．
【答案】
【分析】本题考查折叠性质、等边三角形的判定与性质及弧长公式，连接，由折叠可知，即可证明是等边三角形，可得，根据弧长公式即可求出的长，进而求出即可得答案，根据折叠性质得到是等边三角形并熟记弧长公式是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，由折叠可知，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵的长为，
∴阴影部分的周长为：．
6.如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，，

(1)求证：四边形是菱形：
(2)若的半径为，求图中阴影部分的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得和都是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得，即可解答；
（2）根据菱形的性质可得，进而根据进行计算的长，即可解答．
【详解】（1）证明：连接，

和底边相切于点，
，
，，
，
，，
和都是等边三角形，
，，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
∴，
又∵，
图中阴影部分的周长为
【题型4 不规则阴影部分面积计算】
7.如图，正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点．已知，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】/
【分析】连接，根据已知条件得到是的直径，，根据切线的性质得到，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到，根据梯形和圆的面积公式即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴是的直径，，
∵分别与相切于点A和点D，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，
∴，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积
故答案为：．
8.如图，扇形中，，，点C为上一点，将扇形沿折叠，使点B的对应点落在射线上，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，扇形的面积，根据题意和图形，可以计算出的长，然后根据勾股定理可以求得的值，然后根据图形可知，阴影部分的面积扇形的面积的面积的二倍，代入数据计算即可．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，
∴，
设，则，，
则，
解得，
∴阴影部分的面积是：，
故答案为：．
【题型5 不规则阴影部分面积中的最值的计算】
9.如图，一张直径为的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，连接 ，则 ；图中阴影部分面积的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图1，设圆心为，连接，则，由圆周角定理可得，由勾股定理得，，计算求解即可；设到的距离为，由题意知，，则当最大时，最小，当时，最大，如图1，作于，由垂径定理可得，由勾股定理得，，则，然后求阴影部分面积即可．
【详解】解：如图1，设圆心为，连接，则，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
设到的距离为，
由题意知，
，
当最大时，最小，
∴当时，最大，如图1，作于，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
故答案为：，．
10.如图，⊙O的半径为2cm，弦，C是弦AB所对的优弧上一个动点，则图中阴影部分的面积之和的最小值是 cm2．

【答案】/
【分析】过点C作于E，由，得当最大时，最小，此时，经过圆心O，即垂直平分，点C为优弧的中点，连接，由垂径与勾股定理求出的长，即可求解．
【详解】解：过点C作于E，
∵，
∴当最大时，最小，此时，经过圆心O，即垂直平分，点C为优弧的中点，连接，
∵，
∴，
由勾股定理，得，
∴，
∴最小值，
故答案为：．

1．如图，在中，直径，是的弦，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长．熟练掌握圆周角定理，弧长公式是解题的关键．连接，由圆周角定理可得，再求出半径，根据弧长公式计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵直径，
∴，
∴的长为．
故选：C．
2．如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，求扇形的面积，等腰直角三角形的性质，
根据阴影部分的面积解答即可.
【详解】解：∵，
∴，
同理：.
根据勾股定理，得.
阴影部分的面积
.
故选：C.
3．如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的判定，求弧长，根据已知可得，则是等边三角形，进而根据弧长公式，即可求解．
【详解】解：依题意，，
∴是等边三角形．
∴．
∴的长为．
故选：D．
4．玉佩，是我国古人身上常佩戴的一种饰品．古语有“君子无故，玉不去身”，现在人们也以“温润如玉”来形容谦谦君子．如图，现有一块直径为的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积公式是解题的关键．
先求出的长，再根据扇形面积公式，求出阴影部分的面积．
【详解】解：连接，，
，
，
，
，
阴影部分的面积．
故选：C．
5．如图，是半径为2的的一条弦，．将绕点逆时针旋转，当点的对应点第一次落在上时，点运动的路径长是 ．（结果保留）
【答案】
【分析】此题考查弧长公式，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，连接，得到是等边三角形，由旋转的性质得到，利用勾股定理求出的长，再根据弧长公式求出答案即可．
【详解】解：连接，
由旋转得，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点运动的路径长是，
故答案为．
6．如图，在矩形中，，，以B为圆心，长为半径画弧交线段的延长线于点E，以D为圆心、长为半径画弧交于点F，则阴影部分面积为 ．
【答案】
【分析】由矩形的性质可得，由勾股定理可得，再根据阴影部分的面积，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：如图所示，设与交于点G
在矩形中，
，
∵，
∴，
，
阴影部分的面积
．
故答案为：．
7．如图，正方形的对角线，交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，交于点，再以点为圆心，长为半径画弧交于点，交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）

【答案】/
【分析】先求出正方形对角线长度，进而得到扇形半径，再根据正方形面积减去两个扇形面积求出阴影部分面积．本题主要考查了正方形的性质以及扇形面积的计算，熟练掌握正方形的性质和扇形面积公式是解题的关键．
【详解】解：四边形是正方形，
，
图中阴影部分的面积为
故答案为：．
8．如图，在矩形中， ，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线的垂线，垂足为点G，在这个移动过程中点G经过的路径长是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了轨迹长度的求解、矩形的性质、直角三角形斜边中线的性质、与圆有关的位置关系等知识点，确定点G的轨迹是解题的关键．
如图：连接，交于点O，取中点H，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出G的轨迹，从而求出G经过的路程长即可．
【详解】解：如图：连接，交于点O，取中点H，连接，
∵矩形，，
∴，，，
，，
∴是等边三角形，即
在与中，
，
，
∴E、O、F共线，
，H是中点，
∴，则，
∴G的轨迹为以H为圆心，1为半径的圆弧，
当E与A重合时，；当E与B重合时，G与B重合；
∴G走过的路程为．
故答案为．
9．如图，以的边为直径作，点A在上，点D在线段的延长线上，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若直径，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查切线的判定及扇形面积的计算，圆周角定理，证明切线时，连接过切点的半径是解题的关键．
（1）连接，则得出，可求得，可得出结论；
（2）可利用的面积-扇形的面积求得阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：连接，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即是的切线；
（2）解：∵，
∴，
在中，，
∴，，
所以，
因为，
所以，
所以．
10．如图，是的切线，点C为切点，以为边作平行四边形，点A，D均在上，连接，圆心O在上．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，菱形的判定和性质，利用锐角三角函数解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
（1）连接交于点E，利用切线的性质和平行四边形的性质得出相等的角和边，证明，即可得出结论；
（2）延长交于点F，根据条件证明垂直平分，得到，证明是等边三角形，利用锐角三角函数得出，然后利用作差法进行求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接交于点E．
∵是的切线，
∴，即．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：如图，延长交于点F，
∵，
∴.
又∵，
∴，
∴垂直平分，
∴.
由(1)可得，，
∴平行四边形是菱形，
，
，
∴是等边三角形，
∴，
，
∴.
由(1)知，，
，
．
1．如图，是圆的直径，是弦，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查圆周角定理，求弧长，先求出半径，再根据圆周角定理得出，最后根据弧长公式即可得出答案．
【详解】∵是圆的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴的长为
故选：A．
2．图①是贵阳某游乐场的摩天轮，A，B表示摩天轮上其中的两个轿厢，图②是其示意图，点O是圆心，半径为，点A，B是圆上的两点，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．
直接根据弧长公式计算即可．
【详解】解：的长为．
故选：C．
3．如图，从边长为的正方形铁皮中，剪下一块圆心角为的扇形铁皮，要把它做圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了扇形与圆锥之间的关系，勾股定理，弧长公式；理解扇形与圆锥之间的关系是解题的关键．由弧长公式得圆锥的底面圆的周长为，再由圆锥的底面圆的半径、高、母线之间的关系，即可求解．
【详解】解：圆锥的底面圆的周长为，
设圆锥的底面圆的半径为，
则，
解得：，
则这个圆锥形容器的高为（），
故选：C．
4．如图，正方形的边长为4，O为对角线的交点，点E，F分别为，的中点．以点C为圆心，4为半径作圆弧，再分别以E，F为圆心，2为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质，扇形面积的计算，不规则图形面积的计算，理解图示，掌握不规则图形面积的转换，扇形面积的计算是解题的关键．根据正方形的性质可得弓形与弓形相等，由，即可求解．
【详解】解：如图，连接，三点共线，
∵四边形是正方形，点E，F分别为，的中点，
，，
，
在和中，
，
，，，
，
则弓形与弓形相等，
．
故选：B．
5．如图，在等腰直角中，点E在上，以点O为圆心、为半径作圆弧交于点F，连接，已知阴影部分面积为，则的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了不规则图形的面积，平方根解方程，勾股定理解三角形等．根据题意可得：，，设，利用阴影部分面积列出等式，得出，然后由勾股定理求解即可．
【详解】解：根据题意可得：，，
设，
∴，
即，
解得：，
∴，
故答案为：．
6．如图，分别以正五边形的顶点A，D为圆心，以长为半径画，．则 ；若，则阴影部分图形的周长为 （结果保留π）．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形、弧长公式；由正五边形外接圆的性质，则，由弧长公式计算出弧长，进而求出阴影部分周长．
【详解】解：∵五边形为正五边形，，
∴，，
∴
∴，
故答案为：；．
7．如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）．
【答案】
【分析】本题考查扇形面积公式，平行四边形性质，含三角形的性质，正确将阴影面积进行组合是解决问题的关键．由题意，利用计算即可．
【详解】解：过A作，
∵，，
，
∵，
∴，
，
，
，
设长度为，则，在中，由勾股定理得：
解得：，
，
，
则，，
，
．
故答案为：．
8．我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，进而证明是等边三角形，得到，再根据阴影部分的面积求解即可．
【详解】解：所在圆的圆心为点O，边与相切于点，
，，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
9．如图，已知是的直径，点为上一点，点为延长线上一点，若，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为3，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的切线的判定定理、等腰三角形的性质、圆周角定理以及弧长的计算，解题的关键是连接半径构造等腰三角形，利用角度关系证明切线，再结合弧长公式计算弧长．
（1）连接利用等腰三角形性质和圆周角定理求出和的度数，进而得到，证明是切线；
（2）根据半径求出直径，结合（1）中得到的圆心角的度数，利用弧长公式计算的长．
【详解】（1）证明：连接．
∵（同圆半径相等），
∴（等腰三角形两底角相等）．
∵，
∴．
∵
∴（等腰三角形两底角相等）．
在中，．
∴，即．
∵是的半径，
∴是的切线（切线的判定定理）．
（2）解：∵的半径为3，
∴．
由（1）知，
在中，．
∴的长为
答：的长为．
10．如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，且．
(1)连接，求证：；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）利用切线性质得，再通过证明，从而推出；
（2）先结合已知角度推出相关角的度数，确定为等边三角形，求出圆的半径，再根据平行线间面积关系，将阴影部分面积转化为扇形的面积进行计算．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵与相切，
∴，
∴，
在和中
∴
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴
∵，
∴为等边三角形，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
∴．
11．如图，分别与相切于点A、B、C，且，连接，延长交于点M交于点E，过点M作交于N．
(1)求证：是的切线；
(2)当时，求的半径及图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为，图中阴影部分的面积为
【分析】（1）利用平行线性质得到，结合切线长定理推出，进而得到，再结合平行线性质推出，即可证明是的切线；
（2）利用勾股定理求出，连接，根据切线性质可知，利用等面积法求出（即半径），再结合扇形面积公式即可求出图中阴影部分的面积．
【详解】（1）解：，
，
分别与相切于点A、B、C，
平分，平分，
，
，
，
，
，
，
为半径，
是的切线；
（2）解：由（1）知，，
，
，
连接，
分别与相切于点B，
，
，
，
的半径为，
图中阴影部分的面积为.
12．如图，在中，，以为直径的交于点 D，点 E在上，且．
(1)求证：是的切线；
(2)判断 与 之间的数量关系，并说明理由；
(3)若， ，求阴影部分的面积（结果保留）．
【答案】(1)见解析；
(2)，理由见解析；
(3)．
【分析】（1）连接，结合等腰三角形性质，直角三角形性质推出，进而得到，即可证明是的切线；
（2）连接，证明，推出，再进行代换求解，即可得到与 之间的数量关系；
（3）利用直角三角形性质得到，证明是等边三角形，进而推出，利用勾股定理求出，进而推出，再根据求解，即可解题．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，理由如下：
如图，连接，
由（1）得，
在 和 中，，
，
，
又，
；
（3）解：，，
，
是等边三角形，
，
由勾股定理，得 ．
由（2）得 ，
，
．