专项训练05 二次函数中的特殊四边形存在性问题（暑假复习巩固培优）新九年级数学新教材人教版

这是一份专项训练05 二次函数中的特殊四边形存在性问题（暑假复习巩固培优）新九年级数学新教材人教版，共19页。

【知识点1 二次函数中的平行四边形存在性问题】
1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线两类，利用平行四边形对边平行且相等或对角线互相平分性质分析。
2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）列方程，结合抛物线表达式消元；借向量平行（坐标差相等）简化关系，注意动点范围。
3.解题方法：代数法联立中点或向量方程求解；辅以几何法（平移定点得动点轨迹），验证四点不共线及图形合理性。
【知识点2 二次函数中的矩形存在性问题】
1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线，利用矩形“对角线互相平分且相等”或“平行四边形+一角为直角”的性质分析。
2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）和勾股定理（对角线等长）列方程，借抛物线表达式消元；结合斜率（垂直时积为-1）验直角，限定动点范围。
3.解题方法：代数法联立对角线条件方程求解；先证平行四边形再验证直角（斜率法），结合图形验合理性。
【知识点3 二次函数中的菱形存在性问题】
1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边（邻边相等）或对角线（对角线垂直平分）两类，利用菱形“四边相等”或“平行四边形+邻边相等”性质分析。
2.解题技巧：用距离公式表边长（四边相等），中点坐标公式（对角线平分），斜率乘积-1（对角线垂直）列方程，结合抛物线消元，限定动点范围。
3.解题方法：代数法联立平行四边形与邻边相等方程；先证平行四边形，再验四边相等或对角线垂直，结合图形验合理性。
【知识点4 二次函数中的正方形存在性问题】
1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边（邻边等且垂直）或对角线（对角线等且垂直平分），利用正方形“四边等+四角直”或“菱形+矩形”性质分析。
2.解题技巧：用距离公式（边等）、斜率积-1（垂直）、中点重合（对角线平分）列方程，借抛物线消元，结合图形限动点范围。
3.解题方法：代数法联立邻边等与垂直方程；先证矩形再验邻边等，或先菱形再验直角，结合图形验合理性。
【题型1 二次函数中的平行四边形存在性问题】
1．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是直线下方抛物线上的一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标；
(3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为，连接，与抛物线的对称轴交于点．
(1)求点、点的坐标和抛物线的对称轴；
(2)求直线的函数关系式；
(3)点为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点．设点的横坐标为；用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？
【题型2 二次函数中的矩形存在性问题】
3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别相交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)抛物线的顶点为M，点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，是否存在以B、M、N、Q为顶点的四边形是以BM为边的矩形？若存在，请求出点N、Q的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图1，若二次函数的图象与x轴交于点、B，与y轴交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式．
(2)求三角形的面积；
(3)若点P是抛物线在一象限内上方一动点，连接，是否存在点P，使四边形的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
(4)如图2，若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，为边的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型3 二次函数中的菱形存在性问题】
5．如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线下方的抛物线上一个动点，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标；
(3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D
①当三角形面积最大时，请求出点C的坐标和三角形面积的最大值．
②在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
【题型4 二次函数中的正方形存在性问题】
7．如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点是第二象限抛物线上的动点，轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，D为抛物线的顶点．
(1)求a，b的值．
(2)如图2，连接，在线段上有一动点P（不与点O，B重合），过点P作轴，交直线于点E，
①当直线经过点D时，求的长；
②以为边在的左侧作正方形，当点F在抛物线上时，求点P的坐标．

1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别相交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)抛物线的顶点为M，点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，是否存在以B、M、N、Q为顶点的四边形是以BM为边的矩形？若存在，请求出点N、Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，已知抛物线：与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D．
(1)求此函数的关系式；
(2)在下方的抛物线上，是否存在一点N，使面积最大？最大面积是多少？
(3)E在对称轴上，F在抛物线上，若以A，O，E，F为顶点形成平行四边形，求出点E，F的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)P为直线上方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标；
(3)Q是对称轴上一动点，R是平面内任意一点，当以B，C，Q，R为顶点的四边形为菱形时，求点R的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点．
(1)求点的坐标；
(2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标；
(3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由．
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于、两点，与轴交于点，点是抛物线上一个动点．
(1)求该抛物线的解析式：
(2)若，请求出点的坐标；
(3)连接，直线上有一动点，点为坐标平面上一个动点，若以、、、四点为顶点的四边形为正方形时，请直接写出点的坐标．
2．如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，，，试证明为直角三角形；
(3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积；
(3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，抛物线与轴交于，顶点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)为抛物线上一点，当时，求点坐标；
(3)点是轴上的一个动点，点是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点、，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出的坐标；若不存在说明理由．