人教版（2024）八年级上册（2024）第十八章 分式18.1 分式及其基本性质18.1.1 从分数到分式教案设计

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）第十八章 分式18.1 分式及其基本性质18.1.1 从分数到分式教案设计，共15页。教案主要包含了教学与建议等内容，欢迎下载使用。
18．1.1 从分数到分式
教师备课 素材示例
●归纳导入 丝茅草叶片细长且两边有许多小细齿，能轻易地把人的手指划破，非常锋利．如果将铁片的边缘也刻上许多小细齿，它会更加锋利，可以更快地伐倒大树．

鲁班就是这样根据类比的道理发明锯子的．在数学中，运用类比推理的地方有很多．今天我们就通过类比分数来学习分式．那么什么是分式呢？通过以下的学习我们就明白了．
思考下列问题并填空：
1．(1)若长方形的面积为20 cm2，长为9 cm，则宽应为 eq \f(20,9) cm；若长方形的面积为50 cm2，长为a cm，则宽应为 eq \f(50,a) cm；
(2)把体积为300 cm3的水倒入底面积为47 cm2的圆柱形容器中，水面高度为 eq \f(300,47) cm；把体积为300 cm3的水倒入底面积为S cm2的圆柱形容器中，水面高度为 eq \f(300,S) cm.
2．请你认真观察，说说第1题(1)(2)两小题中，第二个空所填写的式子有什么共同点？它们与分数又有什么相同点和不同点？
eq \f(20,9)， eq \f(300,47)是分数， eq \f(50,a)， eq \f(300,S)是分式，这节课我们将认识分式．
【教学与建议】教学：通过对分式与分数的类比，初步学会运用类比转化的思想方法研究数学问题．建议：教学中教师要激活学生原有的知识，使学生的学习是在原有知识上类比生成的过程．
●置疑导入 多媒体展示，学生欣赏一组图片（长江三峡）．
长江三峡自古以来就是四川通往中原的重要水路，也是秀美壮丽、享誉中外的世界旅游胜地．
早在1 500多年前的魏晋时期，地理学家郦道元就在他的著作《水经注》中留下一段生动的描述：“有时朝发白帝，暮到江陵，其间千二百里，虽乘奔御风，不以疾也．”
多媒体出示以下问题：
(1)如果客船早7时从白帝城启航，顺水而下，傍晚7时到达江陵，航程620 km，客船航行的平均速度约为多少千米/小时？
(2)如果客船6 h航行了s km，那么该船航行的平均速度是多少？
(3)如果客船在静水中的航行速度为v km/h，江水流动的平均速度为20 km/h.那么客船顺水而下，航行620 km需多少时间？如果客船逆水航行s km，需要多长时间？
【教学与建议】教学：创设发现情境，通过列式进行观察初步建立分式概念．建议：引导学生继续观察式子的特征，类比分数，概括出分式的概念及一般表示形式.
· 命题角度1 分式的判断
如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 eq \f(A,B)叫作分式．
【例1】在下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？
eq \f(x,2)， eq \f(5,x)， eq \f(y－4,y)， eq \f(y,x＋y)， eq \f(ab,4)， eq \f(1,π)，－ eq \f(x－y,x＋y).
解：分式有 eq \f(5,x)， eq \f(y－4,y)， eq \f(y,x＋y)，－ eq \f(x－y,x＋y)；整式有 eq \f(x,2)， eq \f(ab,4)， eq \f(1,π).
· 命题角度2 利用分式有意义的条件解题
明确分式是否有意义，需要分析、讨论分母不等于零，即当B≠0时，分式 eq \f(A,B)才有意义．
【例2】下列分式中，当x取何值时，分式有意义？当x取何值时，分式的值为零？
(1) eq \f(1,x＋1)＋ eq \f(2,x－2)； (2) eq \f(2x,x2＋1)； (3) eq \f(x＋5,3－2x).
解：(1)当x≠－1且x≠2时，分式有意义；
(2)∵x2≥0，∴x2＋1>0，∴x为任意实数分式都有意义；
(3)当3－2x≠0，即x≠ eq \f(3,2)时，分式有意义．
· 命题角度3 分式的值为零或为正负的条件
分式的值为零的条件：(1)分子为0；(2)分母不为0，这两个条件缺一不可．
【例3】(1)若使分式 eq \f(x2－1,x＋1)的值为零，则x的值为(C)
A．－1 B．－1或1 C．1 D．以上都不对
(2)当x＝ －1 时，分式 eq \f(|x|－1,x2－x)的值为0.
(3)当x为何值时， eq \f(3,x2＋1)的值为正数？
解：∵x2≥0，∴x2＋1＞0，∴ eq \f(3,x2＋1)＞0，
∴当x为任意实数时， eq \f(3,x2＋1)的值为正数．
分数的代数表达
把整体“1”平均分成几份，表示这样一份或几份的数叫作分数．分数的拉丁文是fractin，来自frangere，是打破、断裂的意思．汉语“分”也是分开、部分的意思．在欧几里得的《几何原本》中，真分数也是部分的意思．三千多年前埃及纸草中就已经出现了分数，把所有分数都化成单分子数之和．在14世纪中叶，为了节省地方，德·摩根推荐用a/b表示 eq \f(a,b)，这种记法之后出现了分数的代数表达式（分式）.
高效课堂 教学设计
1．了解分式的概念，会判断一个代数式是否是分式．
2．理解分式有意义的条件．
▲重点
理解分式有意义的条件．
▲难点
根据分式有意义的条件来确定分式值为0的条件．
◆活动1 新课导入
1．数与字母的 乘积 叫作单项式，单独的字母或数字也称为 单项式 .
2．几个单项式的 和 叫作多项式，单项式和多项式统称为整式．
3．15÷23写成分数的形式是 eq \f(15,23) ；若B≠0，则A÷B可以写成 eq \f(A,B) .
◆活动2 探究新知
1．教材P138 思考．
提出问题：
(1)观察式子 eq \f(S,a)， eq \f(a,b)， eq \f(a,b＋c)， eq \f(90,30＋v)， eq \f(60,30－v)，它们有什么共同点？
(2)它们与分数有什么相同点和不同点？
(3)它们的分子、分母有何特点？
学生完成并交流展示．
2．教材P139 思考．
提出问题：
(1)在分式 eq \f(A,B)中，B为什么不能为0？当B＝0时，会出现什么样的结果？
(2)分式 eq \f(A,B)的值为0的前提是什么？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．一般地，如果A，B表示两个 整式 ，并且B中含有 字母 ，那么式子 eq \f(A,B)叫作分式．在分式 eq \f(A,B)中，A叫作 分子 ，B叫作 分母 .
2.分式有无意义只与 分母 有关，与 分子 无关，分式的分母表示 除数 ，因为除数不能为 0 ，所以分式的 分母 不能为0，即当B ≠0 时，分式 eq \f(A,B)才有意义．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P139 例1.
例2 列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是整式？哪些是分式？
(1)甲每小时做x个零件，他做80个零件需多少小时？
(2)轮船在静水中每小时走a km，水流的速度是b km/h，轮船的顺流速度是多少千米/时？轮船的逆流速度是多少千米/时？
(3)x与y的差除以4的商是多少？
解：(1) eq \f(80,x)；分式；(2)a＋b；a－b；整式；(3) eq \f(x－y,4)；整式．
例3 当x取何值时，下列分式有意义？当x取何值时，下列分式无意义？当x取何值时，下列分式的值为0?
(1) eq \f(2x－5,x2－4)； (2) eq \f(x2－1,x2－x).
解：(1)有意义：x2－4≠0，即x≠±2；无意义：x2－4＝0，即x＝±2；值为0：2x－5＝0且x2－4≠0，即x＝ eq \f(5,2)；
(2)有意义：x2－x≠0，即x≠0且x≠1；无意义：x2－x＝0，即x＝0或x＝1；值为0：x2－1＝0且x2－x≠0，即x＝－1.
练习
1．教材P139～140 练习第1，2，3，4题．
2．如果分式 eq \f(3,x－1)有意义，那么x的取值范围是(B)
A．全体实数 B．x≠1 C．x＝1 D．x＞1
3．若分式 eq \f(x－1,x＋2)的值为0，则(C)
A．x＝－2 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝1或－2
4．当分式 eq \f(x2,4x－2)的值为负数时，x的取值范围是 x＜ eq \f(1,2)且x≠0 .
◆活动5 课堂小结
1．分式的概念．
2．分式概念的应用．
1．作业布置
(1)教材P144 习题18.1第1，2，3题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思