初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）18.3 分式的加法与减法第1课时教案

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）18.3 分式的加法与减法第1课时教案，共15页。教案主要包含了教学与建议等内容，欢迎下载使用。
教师备课 素材示例
●悬念激趣 大约公元250年前后，希腊数学家丢番图在研究一个数学问题时，解出了两个分数： eq \f(16,5)， eq \f(12,5)，欲知丢番图在研究什么问题，请你先计算 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)))2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,5)))2的结果等于多少？
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)))2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,5)))2＝ eq \f(256,25)＋ eq \f(144,25)＝ eq \f(256＋144,25)＝ eq \f(400,25)＝16.
由于16＝42，原来丢番图在研究把42写成两个数的平方和的形式，即42＝x2＋y2，他求得了一组解 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(x＝\f(16,5)，,y＝\f(12,5)．)))还有没有其他的解呢？如果同学们感兴趣，可以在课后探索．下面我们来看看 eq \f(256,25)＋ eq \f(144,25)＝ eq \f(256＋144,25)＝ eq \f(400,25)＝16用到了什么法则？
同分母分数相加减的法则：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减．同分母分式相加减的法则和同分母分数相加减的法则一样．这节课我们来学习——分式的加减．
【教学与建议】教学：创设学生喜闻乐见的故事情景，激发学生浓厚的学习兴趣．建议：在教学过程中让学生综合归纳，探索问题，发现规律．
●类比导入
1．观察思考：
(1) eq \f(1,5)＋ eq \f(3,5)＝ eq \f(4,5)；(2) eq \f(1,5)－ eq \f(3,5)＝－ eq \f(2,5)；
(3) eq \f(1,3)＋ eq \f(1,4)＝ eq \f(4,12)＋ eq \f(3,12)＝ eq \f(7,12)；(4) eq \f(1,3)－ eq \f(1,4)＝ eq \f(4,12)－ eq \f(3,12)＝ eq \f(1,12).
同分母分数相加减， 分母 不变，把分子 相加减 .
异分母分数相加减，先 通分 ，再把 分子 相加减．
2．类比分数的加减，你能说出分式的加减法则么？
(1)同分母分式相加减， 分母 不变，把 分子 相加减．用字母表示为： eq \f(a,c)± eq \f(b,c)＝ eq \f(a±b,c) ；
(2)异分母分式相加减，先 通分 ，变为 同分母 的分式，再 加减 ，用字母表示为： eq \f(a,b)± eq \f(c,d)＝ eq \f(ad,bd)± eq \f(bc,bd)＝ eq \f(ad±bc,bd) .
【教学与建议】教学：类比同分母分数与异分母分数的加减，让学生归纳同分母分式与异分母分式加减的方法并进行简单运算．建议：让学生养成良好的计算习惯，培养实践能力．
· 命题角度1 同分母分式的加减运算
同分母的分式相加减，分母不变，把分子（整式）相加减，结果要化为最简分式（整式）．
【例1】(1)若 eq \f(2x－3,x＋1)＝A－ eq \f(5,x＋1)，则A为(B)
A．－3 B．2 C．3 D．5
(2)计算：
① eq \f(3,2－3x)－ eq \f(1＋3x,2－3x)＝ 1 ；
② eq \f(2a2－3,a＋1)－ eq \f(a2－2,a＋1)＝ a－1 ；
③ eq \f(a2＋b2,a－b)＋ eq \f(2ab,b－a)＝ a－b .
· 命题角度2 异分母分式的加减运算
异分母分式加减运算的一般步骤：(1)通分；(2)按同分母分式相加减的法则计算；(3)分子去括号，合并同类项；(4)分子、分母约分．
【例2】(1)化简 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x－3)－\f(x＋1,x2－1)))·(x－3)的结果是(B)
A．2 B． eq \f(2,x－1) C． eq \f(2,x－3) D． eq \f(x－4,x－1)
(2)计算：①1－ eq \f(a－1,a)÷ eq \f(a2－1,a2＋2a)＝ － eq \f(1,a＋1) ；
② eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,x－1)))÷ eq \f(x＋1,x2－2x＋1)＝ x－1 ；
③ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a－b,a＋b)－\f(b,a－b)))÷ eq \f(a－2b,a＋b)＝ eq \f(2a,a－b) .
· 命题角度3 分式加减化简求值
利用分式加减运算法则，把式子化简后再代入字母的值．
【例3】(1)已知 eq \f(1,a)－ eq \f(1,b)＝ eq \f(1,3)，则 eq \f(ab,b－a)的值是 3 ；
(2)先化简，再求值： eq \f(4,a2－4)－ eq \f(1,a－2)，其中a＝1.
解：原式＝ eq \f(4－a－2,a2－4)＝ eq \f(2－a,(a＋2)(a－2))＝－ eq \f(1,a＋2).当a＝1时，原式＝－ eq \f(1,1＋2)＝－ eq \f(1,3).
高效课堂 教学设计
1．理解并掌握分式的加减法法则，体会类比思想．
2．运用法则进行分式的加减运算，体会化归思想．
▲重点
分式的加减运算方法．
▲难点
异分母分式的加减运算．
◆活动1 新课导入
1．同分母分数相加减， 分母 不变，把 分子 相加减；异分母分数相加减，先 通分 ，变为 同分母分数 ，再 加减 .
2．填空：
(1) eq \f(1,5)＋ eq \f(2,5)＋ eq \f(3,5)＝ eq \f(6,5) ； (2) eq \f(4,3)－ eq \f(2,3)－ eq \f(1,3)＝ eq \f(1,3) ；
(3) eq \f(1,2)＋ eq \f(1,3)＋ eq \f(1,4)＝ eq \f(13,12) ； (4) eq \f(2,3)－ eq \f(1,4)＝ eq \f(5,12) .
◆活动2 探究新知
1．教材P152 思考．
提出问题：
(1)类似同分母分数的加减法，你能求出 eq \f(1,a)＋ eq \f(2,a)与 eq \f(2,a)－ eq \f(1,a)的结果吗？
(2)由此你能得出同分母分式的加减法法则吗？
(3)类似异分母分数的加减法，你能求出 eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)与 eq \f(1,a)－ eq \f(1,b)的结果吗？
(4)异分母分式加减运算的关键是什么？
学生完成并交流展示．
2．计算：
(1) eq \f(5x＋3y,x2－y2)－ eq \f(2x,x2－y2)； (2) eq \f(1,2p＋3q)＋ eq \f(1,2p－3q).
提出问题：
(1)分式(1)与分式(2)的区别是什么？
(2)怎样计算分式(1)？试着先计算．
(3)分式(1)的结果能否为 eq \f(3x＋3y,x2－y2)？
(4)分式(2)是异分母分式相加减，你能确定最简公分母吗？
(5)异分母分式怎样相加减？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．同分母分式相加减，分母 不变 ，把分子 相加减 ，用式子表示为 eq \f(a,c)± eq \f(b,c)＝ eq \f(a±b,c) .
2．异分母分式相加减，先 通分 ，变为同分母的分式，再 加减 ，用式子表示为 eq \f(a,b)± eq \f(c,d)＝ eq \f(ad,bd) ± eq \f(bc,bd) ＝ eq \f(ad±bc,bd) .
◆活动4 例题与练习
例1 教材P153 例2.
例2 计算：
(1) eq \f(1,x2－4x＋4)－ eq \f(x,x2－4)＋ eq \f(1,2x＋4)；
解：原式＝ eq \f(1,(x－2)2)－ eq \f(x,(x＋2)(x－2))＋ eq \f(1,2(x＋2))
＝ eq \f(2(x＋2),2(x＋2)(x－2)2)－ eq \f(2x(x－2),2(x＋2)(x－2)2)＋ eq \f((x－2)2,2(x＋2)(x－2)2)
＝－ eq \f((x－4)(x＋2),2(x＋2)(x－2)2)
＝－ eq \f(x－4,2(x－2)2)；
(2) eq \f(m,m－n)－ eq \f(n,m＋n)＋ eq \f(2mn,m2－n2).
解：原式＝ eq \f(m＋n,m－n).
例3 先化简，再求值： eq \f(a2－2ab＋b2,a2－b2)＋ eq \f(b,a＋b)，其中a＝－2，b＝1.
解：原式＝ eq \f((a－b)2,(a＋b)(a－b))＋ eq \f(b,a＋b)＝ eq \f(a－b,a＋b)＋ eq \f(b,a＋b)＝ eq \f(a－b＋b,a＋b)＝ eq \f(a,a＋b).
当a＝－2，b＝1时，原式＝ eq \f(－2,－2＋1)＝2.
练习
1．教材P153 练习第1，2题．
2．若x＝－1，y＝2，则 eq \f(2x,x2－64y2)－ eq \f(1,x－8y)的值等于(D)
A．－ eq \f(1,17) B． eq \f(1,17) C． eq \f(1,16) D． eq \f(1,15)
3．若 eq \f(4,x2－1)＝ eq \f(A,x＋1)＋ eq \f(B,x－1)是恒等式，则A＝ －2 ，B＝ 2 .
4．已知x2－4x＋1＝0，求 eq \f(2(x－1),x－4)－ eq \f(x＋6,x)的值．
解：原式＝ eq \f(2x2－2x,x(x－4))－ eq \f((x＋6)(x－4),x(x－4))
＝ eq \f(2x2－2x－(x2＋2x－24),x(x－4))
＝ eq \f(x2－4x＋24,x2－4x).
∵x2－4x＝－1，
∴原式＝ eq \f(－1＋24,－1)＝－23.
◆活动5 课堂小结
1．同分母分式的加减运算．
2．异分母分式的加减运算．
1．作业布置
(1)教材P155 习题18.3第1，2题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思