2025--2026学年辽宁省大连市第一中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年辽宁省大连市第一中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了 已知函数，则f'1=， 在数列中，，，若，则，2B， 以下四个命题错误的为， 下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数，则f'1= （ ）
A. -1B. 0C. 1D. 2
2. 在数列中，，，若，则（ ）
A. 508B. 507C. 506D. 505
3. 已知随机变量X服从正态分布，若，则（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.7D. 0.8
4. 设为等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A. B. 2C. 9D.
5. 已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A. 3B. 2C. -2D. -3
6. 以下四个命题错误的为（ ）
A. 在一个列联表中，由计算得的值，若的值越大，则两个变量有关的把握就越大
B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，
C. 在回归直线方程中，变量x每增加1个单位时，y平均增加2个单位
D. 若变量y和x之间的相关系数为，则变量y和x之间具有很强的线性相关，而且是负相关
7. 在等差数列中，前n项和为，若，，则在，，…，中最大的是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知定义在上的函数的导函数为，且，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10. 已知正项数列满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则或
C. 若，则
D. 若，则前100项中，值为1和2的项数相同
11. 某种高精度产品在研发后期，一企业启动产品试生产，假设试产期共有甲､乙､丙三条生产线且每天的生产数据如下表所示：
试产期每天都需对每一件产品进行检测，检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”或“1”，连续生成5次，把5次的数字相加，若和小于4，则该天检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式.则下列选项中正确的是（ ）
A. 若计算机5次生成的数字之和为，则
B. 设表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，则
C. 若每天任检测一件产品，则这件产品为次品的概率为
D. 若每天任检测一件产品，检测到这件产品是次品，则该次品来自甲生产线的概率为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，则函数在上极大值点的个数为________．
13. 等比数列的公比为，其前项和记为，，则的取值范围为____________.
14. 已知函数，，则数列的通项公式为____________．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求单调区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
16. 已知数列的前项和为．
（1）求的通项公式；
（2）设，其前项和为，求．
17. 某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前100名的顾客，均可获得3次抽奖机会．每次中奖的概率为，每次中奖与否相互不影响．中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金．
（1）已知，求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率；
（2）已知该商场开业促销活动的经费为2万元，问该活动是否有超过预算的可能?请说明理由．
18. 已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，．
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
19. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力. 某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表：
（1）已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为，第二组的人数为. 设，求的分布列；
（2）已知该AI工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个，若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率最大，求此时的取值.
数学
满分150分，答卷时间120分钟.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数，则（ ）
A. -1B. 0C. 1D. 2
答案：A
解析：
解答过程：
2. 在数列中，，，若，则（ ）
A. 508B. 507C. 506D. 505
答案：C
解析：
思路：由题意可得到数列是等差数列，求得其通项公式，即可求得答案.
解答过程：由题意可得，，即，
故数列为等差数列，则 ，
故令 ，
故选：C
3. 已知随机变量X服从正态分布，若，则（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.7D. 0.8
答案：B
解析：
思路：根据给定条件，利用正态分布的对称性列式求解.
解答过程：随机变量X服从正态分布，由，得，
所以.
故选：B
4. 设为等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A. B. 2C. 9D.
答案：C
解析：
思路：根据已知先求出数列的首项和公比，即可利用求和公式求出.
解答过程：设等比数列的公比为，
则，解得，
则，，
所以.
故选：C.
5. 已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A. 3B. 2C. -2D. -3
答案：A
解析：
思路：求得f(x)的导数,可得切线的斜率,再列方程可得所求值.
解答过程：的导数为，可得f(x)在x=1处的切线的斜率为4+a.
因为直线的斜率为，所以4+a=7，解得：a=3.
故选：A
6. 以下四个命题错误的为（ ）
A. 在一个列联表中，由计算得的值，若的值越大，则两个变量有关的把握就越大
B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，
C. 在回归直线方程中，变量x每增加1个单位时，y平均增加2个单位
D. 若变量y和x之间的相关系数为，则变量y和x之间具有很强的线性相关，而且是负相关
答案：C
解析：
思路：根据独立性检验的思想判断A，对拟合曲线两边取对数，再根据指数与对数的关系计算即可判断B，根据回归方程的意义及相关系数的概念判断C、D；
解答过程：解：对于A：分类变量与的随机变量越大，
说明“与有关系”的可信度越大，则两个变量有关的把握就越大，故A正确；
对于B：，
两边取对数，可得，
令，可得，
，
，，
．故B正确；
对于C：在回归直线方程中，变量每增加个单位时，平均减少个单位，故C错误；
对于D：相关系数，说明变量y和x之间具有很强的线性相关，而且是负相关，故D正确；
故选：C
7. 在等差数列中，前n项和为，若，，则在，，…，中最大的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：由，，知，得最大值是，从而判断结果．
解答过程：∵等差数列前n项和，
由，，得，
∴，
故为递减数列，当时，；当时，，所以最大值是，
则当时，且单调递增，当时，，∴最大．
故选：B．
8. 已知定义在上的函数的导函数为，且，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：根据条件得到，再利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递减，即可求解.
解答过程：由，得到，
令，则，
所以（为常数），又，则，
所以，得到，又，当时，，
所以在区间上单调递减，又，所以，
故选：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
答案：ACD
解析：
思路：对于A，由常数导数为零解得即可；对于B，因为，所以，所以选项B错误；对于C、D，由复合函数求导法则可解出判断即可.
解答过程：对于A，由，为常数，所以，故选项A正确；
对于B，由，为常数，所以，故选项B不正确；
对于C，由，根据复合函数求导法则，，
故选项C正确；
对于D，由，根据复合函数求导法则，
，故选项D正确.
故选：ACD.
10. 已知正项数列满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则或
C. 若，则
D. 若，则前100项中，值为1和2的项数相同
答案：BC
解析：
思路：由数列的递推关系和数列的周期性，对个选项分析可得答案.
解答过程：对于A，若，可得，，，，故A错误；
对于B，若，可得，或，解得，或，满足条件，故B正确；
对于C，若，则，，，，，，，，，则，故C正确；
对于D，若，则，，，，，，，，，，，
则前100项中值为1的项数有47项，值为2的项数有48项，所以值为1和2的项数不同相同，故D不正确；
故选;BC
11. 某种高精度产品在研发后期，一企业启动产品试生产，假设试产期共有甲､乙､丙三条生产线且每天的生产数据如下表所示：
试产期每天都需对每一件产品进行检测，检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”或“1”，连续生成5次，把5次的数字相加，若和小于4，则该天检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式.则下列选项中正确的是（ ）
A. 若计算机5次生成的数字之和为，则
B. 设表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，则
C. 若每天任检测一件产品，则这件产品为次品的概率为
D. 若每天任检测一件产品，检测到这件产品是次品，则该次品来自甲生产线的概率为
答案：BD
解析：
思路：根据题意可知，由二项分布计算，即可判断A选项；由条件概率公式计算，由此判断B选项；设每天任检测一件产品，这件产品是次品为事件B，由全概率公式计算，由此判断C选项；由贝叶斯公式计算，由此判断D选项.
解答过程：对于A：因为，，
所以，故A错误；
对于B：由
故B正确；
对于C：设每天任检测一件产品，这件产品是次品为事件B，
这件产品来自甲，乙，丙三条生产线分别为事件，
则由
，故C错误；
对于D：由C选项的解析可知，故D正确.
故选：BD.
方法提示：关键点点睛：本题解决的关键是，分析得服从二项分布，从而求得，进而利用全概率公式与贝叶斯公式即可得解.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，则函数在上极大值点的个数为________．
答案：
解析：
思路：利用极值点的定义判断即可.
解答过程：若为函数的极大值点，则在左侧附近的导数为正，在右侧附近导数为负，
结合图象可知，函数在上极大值点的个数为.
故答案为.
13. 等比数列的公比为，其前项和记为，，则的取值范围为____________.
答案：
解析：
思路：由题意，可得，进而得到，由等比数列通项公式可得，解不等式组即可求解.
解答过程：因为，
即，所以，
所以，
所以，
因为是公比为的等比数列，
所以，
解得，故.
故答案为.
14. 已知函数，，则数列的通项公式为____________．
答案：
解析：
思路：由得为奇函数，进而得关于对称，即，最后利用倒序相加法即可求解.
解答过程：由题意有：，所以为奇函数，所以关于对称，所以，
所以①，
又②，
由①②有：，
所以，
故答案为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求单调区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
答案：（1）递增区间为，递减区间为；
（2）最大值为2，最小值为.
解析：
思路：（1）求出函数的导数，再解导函数大于0、小于0的不等式得解.
（2）由（1）的结论，确定在区间上单调性，进而求出最值.
（1）函数的定义域为R，求导得，
由，得或；由，得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
而，，
则，，
所以在区间上的最大值和最小值分别为.
16. 已知数列的前项和为．
（1）求的通项公式；
（2）设，其前项和为，求．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）由可求得数列的通项公式；
（2）求得，利用裂项相消法可求得.
（1）解：由题意可知，，
当时，有，
又因为，所以时，也成立,
所以的通项公式为.
（2）由（1）知，所以
所以.
17. 某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前100名的顾客，均可获得3次抽奖机会．每次中奖的概率为，每次中奖与否相互不影响．中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金．
（1）已知，求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率；
（2）已知该商场开业促销活动的经费为2万元，问该活动是否有超过预算的可能?请说明理由．
答案：（1）
（2）有超过预算的可能
解析：
思路：（1）设顾客甲获得了300元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B，求出、，根据条件概率的公式，即可求得答案；（2）设一名顾客获得的奖金为元，写出的所有可能取值，求出对应概率，进而可求出.
（1）设甲获得了300元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B，
则，
，
故；
（2）设一名顾客获得的奖金为元，则的取值可能为，
则，，
，，
令
，
因为在上单调递增，
所以，所以在上单调递增，
所以，
此时，故该活动有超过预算的可能．
18. 已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，．
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
答案：（1），
（2）解析：
思路：（1）利用等差数列，等比数列代入计算；
（2）利用错位相减法可得，讨论n的奇偶结合恒成立问题运算处理．
（1）因为数列是等比数列，则可得，解得
所以．
因为数列是等差数列，且，，则公差，
所以．
故，
（2）由（1）得：，
数列的前n项和为①
所以②
由①-②得：，
所以．
不等式恒成立，化为成立，
令且为递增数列，即转化为
当时，恒成立，取，所以．
当时，恒成立，取，，所以．
综上可得：实数的取值范围是．
19. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力. 某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表：
（1）已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为，第二组的人数为. 设，求的分布列；
（2）已知该AI工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个，若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率最大，求此时的取值.
答案：（1）的分布列为
（2）.解析：
思路：（1）先按分层抽样比例算出各组抽取人数，再确定随机变量的所有可能取值，用超几何分布公式计算各取值的概率，列出分布列；
（2）写出恰好答对3题的概率表达式，通过列相邻概率的比值不等式，求解使该概率最大的值.
（1）由题意得，这 12 人中，年龄在第一组内的有（人），
年龄在第二组内的有（人），
则的所有可能取值为，
：对应和，则；
：对应、和，则；
：对应和，则；
：对应，则；
：对应，则.
则的分布列为：
（2）设抽取10个中答对的个数为，则服从超几何分布，恰好答对3个的概率为，
要使得恰好最大，需满足 ，
解：，化简得；
解：，化简得.
结合，且，可知.
生产线
次品率
产量（件/天）
甲
500
乙
700
丙
800
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
年龄
人数
30
150
90
60
30
生产线
次品率
产量（件/天）
甲
500
乙
700
丙
800
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
年龄
人数
30
150
90
60
30
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4