2025--2026学年辽宁省沈阳市第一二0中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年辽宁省沈阳市第一二0中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则（ ）
A. 1B. 2C. D. 4
3. 在数列中，，，（），则（ ）
A. B. C. D.
4. 不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知，函数在区间上不单调，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知和分别是数列和的前项和，且满足，，若对，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
7. 已知函数，若方程有三个根，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数的定义域为为的导函数，，．若，则（ ）
A. 2026B. 1013C. 1D. -1
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知无穷等差数列的前n项和为，，且，则（ ）
A. 在数列中，最大B. 在数列中，或最大
C. D. 当时，
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数存在两个不同的零点
B. 函数既存在极大值又存在极小值
C. 当时，方程有且只有两个实根
D. 若时，，则t的最小值为2
11. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ）
A.
B. 在处的切线方程为：
C. 若函数，使得成立，则
D. 若函数有两个零点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知为等差数列，，，则______．
13. 已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为_______．
14. 若不等式对任意恒成立，则正实数t的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线平行于直线，求实数的值；
（2）讨论函数的单调区间．
16. 已知数列的前项和为，且．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若对一切，不等式均成立，求实数的取值范围．
17. 已知函数.
（1）求函数的最大值；
（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
（3）若函数在上恒成立，求实数的取值范围.
18. 已知数列是等差数列，，其前5项和为15；数列是等比数列，且，，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
（3）若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列：
，，，，，，，，，，，…，与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前211项的和．
19. 意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知）
（1）证明：①倍元关系：；②平方关系：
（2）对任意，恒有成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：．
数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：由，故.
可得.
2. 已知，则（ ）
A. 1B. 2C. D. 4
答案：B
解析：
思路：求得函数的导数，求得，得到，即可求得的值.
解答过程：由题意，函数，可得，
令，可得，解得，所以，
所以.
3. 在数列中，，，（），则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据已知递推关系逐次计算各项，即可求得.
解答过程：由已知得，
所以，，，
故选：C.
4. 不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：整理可得，化分式为整式，结合一元二次不等式运算求解即可.
解答过程：由，整理可得，
等价于，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A.
5. 已知，函数在区间上不单调，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：利用导数研究单调性，进而得，解出即可求解.
解答过程：由题意得：，令，
所以，所以在单调递增，且，，
又因为在上不单调，所以，解得.
6. 已知和分别是数列和的前项和，且满足，，若对，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
答案：D
解析：
思路：利用和与项的一般关系求得数列的递推关系，根据等比数列的定义判定为等比数列，得到通项公式，进而得到，利用等差数列的求和公式得到,进而结合二次函数和指数函数的单调性得到不等式左端的最大值，根据不等式恒成立的意义得到关于的不等式，求解即得.
解答过程：由得,∴,
,
∴,∴,
∴数列为首项为，公比为的等比数列，
∴,∴，
∵，∴为等差数列，
∴,
,
记
当n∈N*时，为的单调递减函数，
∴
恒成立的充分必要条件是,解得或，
故选：D
7. 已知函数，若方程有三个根，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：当，，则，
因为当，，单调递减；
当，，单调递增；，，，
当，，，
设，则过定点，
当，图像与图像相切时，设切点为，则切线斜率为 ，
切线方程： ，因为切线过点 ，代入得： ， 化简得，
因为在单调递增，当，，所以 ，切线斜率 ，此时图像与图像有两个交点；
当过原点，，因为，此时图像与图像有四个交点；
所以当时，图像与图像有三个交点，从而方程有三个根.
8. 已知函数的定义域为为的导函数，，．若，则（ ）
A. 2026B. 1013C. 1D. -1
答案：D
解析：
解答过程：因为且，所以，
因为，所以关于直线对称，
则原函数关于点对称，所以
所以，
令，则，即，
所以，
所以的周期为，
又，即，所以的周期也为，
由得，
由得，所以，
由得，所以，
又，所以，
所以，
所以，
又，
所以.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知无穷等差数列的前n项和为，，且，则（ ）
A. 在数列中，最大B. 在数列中，或最大
C. D. 当时，
答案：AD
解析：
思路：由，，得，，推得公差，进而可得最大项为，判断出ABD的对错；再根据，可判断C错误．
解答过程：由，，得，
所以等差数列的公差,
所以等差数列是递减的等差数列，则最大项为，故A正确，B错误，
又因为得且公差,所以当时，，估D正确；
，所以，故C错误；
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数存在两个不同的零点
B. 函数既存在极大值又存在极小值
C. 当时，方程有且只有两个实根
D. 若时，，则t的最小值为2
答案：ABC
解析：
思路：首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．
解答过程：对于A，由，得，∴，故A正确；
对于B，，
当时，，当时，，
∴在，上单调递减，在上单调递增，
∴是函数的极小值，是函数的极大值，故B正确；
对于C，当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；
对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．
故选：ABC.
方法提示：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．
11. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ）
A.
B. 在处的切线方程为：
C. 若函数，使得成立，则
D. 若函数有两个零点，则
答案：ABD
解析：
思路：对A，取对数运算判断；对B，将变形为，求导并利用导数的几何意义求解；对C，问题转化为有解，令，利用导数求出的最大值，得解；对D，利用分析法要证，即证，即证，即证，即证，令，，利用导数证明即可.
解答过程：对于A，由，则，故A正确；
对于B，由，则，
所以，，故在处的切线方程为，即，故B正确；
对于C，因为，
要存在，使得成立，即有解，
令，则，令，得，
当时，，即单调递增，
当时，，即单调递减，
，所以只需，即得，故C错误；
对于D，由，则，，
当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，
若函数有两个零点，则，且，
要证，即证，又在上单调递增，
即证，即证，
只要证，
即证，
令，，
则，
当时，，
所以存在，使得，
当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，
当时，，而，
令，，
则，即在上单调递减，故，
所以，即，即，
所以对恒成立，
又，则，即成立，
即成立，问题得证，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知为等差数列，，，则______．
答案：
解析：
解答过程：在等差数列中，由，得，解得
由，得，解得，公差，
所以.
13. 已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为_______．
答案：
解析：
思路：通过构造函数得到单调性，利用单调性解不等式即可.
解答过程：，，
，的每一项都除以不等号方向不变，即，
，设，则，
，，，
为R上的减函数，，
等价于，为R上的减函数，
的解为，等价于，
的解集为.
故
14. 若不等式对任意恒成立，则正实数t的取值范围是________．
答案：
解析：
思路：利用同构思想将问题转化为恒成立，再构造函数，得出其单调性，进而得出对任意恒成立，再利用参变分离，构造函数，求最大值即可.
解答过程：因,则等价于，
即，
令，则，则在上单调递增，
因为不等式对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
因为，所以，，
所以对任意恒成立，
则对任意恒成立，
令，则，
令，
则，则在上单调递减，
因为，
所以，则，即在上单调递减，
则，故，
则正实数t的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线平行于直线，求实数的值；
（2）讨论函数的单调区间．
答案：（1）
（2）当时，在递增;当时，在单调递减，在单调递增.
解析：
思路：（1）根据导数的几何意义可列出的关系式，计算即可；
（2）对函数求导，讨论，两种情况得单调性；
（1），定义域为
所以，
因为直线的斜率为，
所以，所以.
（2），定义域为，
若，则在恒成立，故在递增;
若，令得，令得，
故在单调递减，在单调递增;
综上所述：当时，在递增，
当时，在单调递减，在单调递增.
16. 已知数列的前项和为，且．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若对一切，不等式均成立，求实数的取值范围．
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）根据与的关系，结合作差法得到，变形可得，根据等比数列的概念证明即可.
（2）结合（1）对不等式进行变形得到，求的最大值即可求解.
（1）已知，当时，.
则，
所以，即.
当时，，
则，，满足.
因此，数列是以3为首项，3为公比的等比数列.
（2）由（1）得，
故不等式可化为，即.
设，，故只需即可.
，
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即；
当时，，，所以，即.
因此，在时取得最大值为，
故实数的取值范围为.
17. 已知函数.
（1）求函数的最大值；
（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
（3）若函数在上恒成立，求实数的取值范围.
答案：（1）1 （2）
（3）解析：
思路：（1）利用导数分析的单调性，进而求得函数的最大值；
（2）根据题意，在上恒成立，参变分离后，通过（1）中所求，即可求得参数的范围；
（3）将转化为在上恒成立，构造函数，讨论该函数的单调性，进而根据不同单调性的情况，分析是否在区间上恒成立，从而求得参数的范围.
（1），定义域为，，
令，得，当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，且最大值为.
（2）因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，
即在上恒成立，即，
由（1）可知，的最大值为1，所以，即，
所以实数的取值范围为.
（3）若函数在上恒成立，即在成立，
所以在上恒成立，
令，
则，
因为，所以当时，在上恒成立，
所以函数在上单调递增，所以，所以时不符合题意；
当时，令，
①当时，即时，则恒成立，
即在上恒成立，所以函数在上单调递减，
所以，所以时符合题意；
②当时，即时，令，
则，
因为，所以，
所以当时，，所以在上恒成立，
即函数在上单调递增，所以当时，，
所以时，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围为.
18. 已知数列是等差数列，，其前5项和为15；数列是等比数列，且，，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
（3）若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列：
，，，，，，，，，，，…，与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前211项的和．
答案：（1），.
（2） （3）21216
解析：
思路：（1）根据题意结合等差数列和等比数列的通项公式可求出和的通项公式；
（2）由（1）得，分别利用错位相减法和裂项求和计算；
（3）根据题意求得的前211项中有中的前203项和中的前8项，再分别求和.
（1）由得公差，
又因为，
得，
化简得，解得，
所以.
由，，成等差数列，得
由是等比数列，设代入，
得，消去，
得，化简并解得，
.
（2）由（1）得，
，
第一部分为，
令，
，
两式相减：
，
，
，
第二部分利用裂项求和：
，
合并：；
（3）由题可知新数列中，前有项，
令，得前有项，
令，得前有项，
恰好位于与之间，所以前项中包含的前八项，
剩下的全是中的项，，即的前项，
.
19. 意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知）
（1）证明：①倍元关系：；②平方关系：
（2）对任意，恒有成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：．
答案：（1）证明见解析
（2） （3）证明见解析
解析：
思路：（1）根据题意将双曲余弦函数，双曲正弦函数的解析式代入计算即可证明；
（2）分和讨论，结合导数判断并取舍即可；
（3）利用给定定义目标式子左边合理放缩，结合裂项相消法求和即可证明.
（1）证明：①；
②.
（2）构造函数
①当时，因为，当且仅当即时等号成立，
所以，故单调递增，
此时，故对任意恒成立，符合题意；
②当时，令，
则恒成立，故单调递增，
由与，
可知存在唯一，使得，
当时，，则在内单调递减，
故对任意，即，不合题意，舍去；
综上所述，实数a的取值范围为.
（3）由（2）知：当时，，令，则，
令单调递增，
所以，即恒成立，
所以，则，
令单调递增，
所以，即恒成立，令，
所以
.
方法提示：关键点点睛：本题第（3）问考查数列与导数新定义结合，解题的关键是对目标式子左侧合理放缩，然后使用裂项相消法求和，得到所证明的不等关系即可.