2025--2026学年辽宁省沈阳市第一二〇中学高一下册期中考试数学试题 [含答案]

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1. （ ）
A. B. C. D.
2. ，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，，，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，，则解此三角形的结果为（ ）
A. 一解B. 两解C. 一解或两解D. 无解
5. 在△中，角的对边分别为，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，，则为（ ）
A. 直角三角形B. 三边均不相等的三角形
C. 等边三角形D. 等腰非等边三角形
7. 已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，且，则的面积（ ）
A. B. 2C. 4D.
8. 设函数，，若直线，分别是曲线与的对称轴，则
A. 2B. 0C. D.
二、多选题（共3小题）
9. 设分别为△的内角的对边，下列条件中可以判定△一定为等腰三角形的有（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数，则（ ）
A. 的一个周期是
B. 的图象关于直线对称
C. 的最大值为
D. 在区间上单调递减
11. 已知函数，且对任意都有，则（ ）
A. 的最小正周期为B. 在上单调递增
C. 是的一个零点D.
三、填空题（共3小题）
12. 若钝角三角形三边长分别是，则三角形的周长为______.
13. __________．
14. 已知函数图象与函数图象相邻的三个交点依次为A，，，且是钝角三角形，则的取值范围是______.
四、解答题（共5小题）
15. 已知，是方程的两根，且，.
（1）求的值；
（2）求的值.
16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
17. 在中，角的对边分别为，满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的最小值；
（3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
18. 已知函数.
（1）求图象的对称轴；
（2）若函数在区间上有两个零点和，求的值；
（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19. 第十届花博会将于5月21日至7月2日在上海市崇明区举办，展览方准备将如图扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花；已知扇形的半径为100米，圆心角为，点在扇形的弧上，点在上，且．
（1）当是的中点时，求的长（精确到米）；
（2）已知种植郁金香的成本为50元/平方米，要使郁金香种植区的面积尽可能的大，求面积的最大值，并求此时种植郁金香花卉的成本（精确到元）；（参考数值，）
数学
一、选择题（共8小题）
1. （ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程.
2. ，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：。
3. 已知，，，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：由已知利用诱导公式及同角三角函数基本关系可求，，的值，进而根据，利用两角差的余弦函数公式即可求解．
解答过程：解：，
因为，所以，
又因为，，
所以，
所以．
故选：B.
4. 在中，，则解此三角形的结果为（ ）
A. 一解B. 两解C. 一解或两解D. 无解
答案：B
解析：
思路：由正弦定理求解即可.
解答过程：由正弦定理可得：，并且
所以解此三角形的结果有两个解
故选：B
方法提示：本题主要考查了正弦定理判定三角形解的个数，属于基础题.
5. 在△中，角的对边分别为，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：利用余弦定理列出关系式,将的值代入,即可求出的值.
解答过程：,
由余弦定理可知,即.
解得:.
故选:A.
方法提示：此题考查了余弦定理,熟练掌握余弦定理是解本题的关键,属于基础题.
6. 在中，，则为（ ）
A. 直角三角形B. 三边均不相等的三角形
C. 等边三角形D. 等腰非等边三角形
答案：C
解析：
思路：利用数量积得定义，化简求得，进而求得，可判定为等边三角形.
解答过程：由
，所以，
因为,可得，
又由，因为，可得，
所以是等边三角形，所以C正确；
故选：C.
7. 已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，且，则的面积（ ）
A. B. 2C. 4D.
答案：B
解析：
思路：根据，由正弦定理得到，再根据，结合余弦定理解得，然后代入求解.
解答过程：因为，
所以由正弦定理得，
又因为，
所以，
由余弦定理得，
所以.
故选：B.
方法提示：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
8. 设函数，，若直线，分别是曲线与的对称轴，则
A. 2B. 0C. D.
答案：C
解析：
思路：利用辅助角公式以及降幂公式，化简函数的解析式，，再利用三角函数的图象的对称轴求得的值，从而可得的值．
解答过程：函数，
，
若直线，分别是曲线与的对称轴，
则，，．
即，，，
则
，故选C．
方法提示：本题主要考查辅助角公式与降幂公式以及三角函数图象的对称性，属于中档题．函数的称轴方程可由求得；函数的称轴方程可由求得.
二、多选题（共3小题）
9. 设分别为△的内角的对边，下列条件中可以判定△一定为等腰三角形的有（ ）
A. B.
C. D.
答案：BCD
解析：
思路：利用正弦定理的边角关系，结合三角恒等变换及三角形内角的性质，即可判断△是否为等腰三角形.
解答过程：A：，即，有或，错误；
B：，即，在三角形中必有，正确；
C：，在三角形中必有，正确；
D：，而，所以，在三角形中必有，正确；
故选：BCD.
10. 已知函数，则（ ）
A. 的一个周期是
B. 的图象关于直线对称
C. 的最大值为
D. 在区间上单调递减
答案：AC
解析：
思路：根据三角函数的诱导公式来判断函数的周期和对称性，根据三角函数的值域来求函数的最值，通过计算函数在特定点的值来比较大小．
解答过程：对于A，因为，
所以的一个周期是，故A正确；
对于B，因为，故B错误；
对于C，因为，所以的最大值为，
当时，，取得最大值，所以的最大值为，故C正确；
对于D，因为，，
所以，故D错误.
故选：AC.
11. 已知函数，且对任意都有，则（ ）
A. 的最小正周期为B. 在上单调递增
C. 是的一个零点D.
答案：ACD
解析：
思路：由已知可得，化简可得，化简函数解析式为，利用正弦型函数的基本性质可判断各选项的正误.
解答过程：由题意可知函数的图象关于直线对称，则，
即，整理可得，即，
所以，，，所以，，D选项正确；
，故函数的最小正周期为，故A选项正确；
当时，可得，若，则函数在上单调递减，故B选项错误；
，故是的一个零点，故C选项正确.
故选：ACD.
方法提示：思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：
（1）将函数解析式变形为或的形式；
（2）将看成一个整体；
（3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.
三、填空题（共3小题）
12. 若钝角三角形三边长分别是，则三角形的周长为______.
答案：9
解析：
思路：由于，为钝角三角形，可知边所对的角是钝角，设为，利用余弦定理可得．
解答过程：解：由，解得．
，为钝角三角形，
边所对的角是钝角，设为．
则，解得，
又，．
，三角形的周长为．
故9．
方法提示：本题主要考查余弦定理的应用，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
13. __________．
答案：
解析：
思路：利用三角恒等变换先化简，结合诱导公式即可求解.
解答过程：由题意得：
.
故答案为.
14. 已知函数图象与函数图象相邻的三个交点依次为A，，，且是钝角三角形，则的取值范围是______.
答案：
解析：
思路：作出两函数的图像，取的中点，连接，由对称性求出，有两函数的交点求出，要使是钝角三角形，只需要，利用正切值列出不等式，从而可求出的范围.
解答过程：解：作出函数和的图象，如图所示，
由图可知，取的中点，连接，则，
因为是钝角三角形，所以，
则，即，
由，得，，
即，，则，
即点A的纵坐标为，故，
因为，所以，所以，
所以.
故答案为.
四、解答题（共5小题）
15. 已知，是方程的两根，且，.
（1）求的值；
（2）求的值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用韦达定理先计算出，再由正切和角公式计算出的值；
（2）分析 的范围，得到的范围，结合求解出的值.
（1）因为，是方程的两根，
所以；
由正切和角公式.
（2）因为，，所以.
又因为，所以.
16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
答案：（1）；
（2）解析：
思路：（1）利用正弦定理进行边角互化即可得解；
（2）根据余弦定理求出边长，然后利用面积公式求面积即可得解.
（1）由正弦定理得.
因为，所以，，.
因为在中，，所以，.
（2）由，及余弦定理.
得，解得或（舍）
所以，.
17. 在中，角的对边分别为，满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的最小值；
（3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）由余弦定理计算即可求解；
（2）由题意可得，根据基本不等式计算即可求解；
（3）由正弦定理将化为关于角的函数，根据正弦函数性质及三角形面积公式计算求解.
（1）因为，所以，
由余弦定理可得，
因为，所以；
（2）因为，
所以，
由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以当时，周长有最小值为；
（3）由正弦定理可得，所以，，
因为，所以，
则
，
因为是锐角三角形，有，即，
所以，，，
因为，
所以，即面积的取值范围是.
18. 已知函数.
（1）求图象的对称轴；
（2）若函数在区间上有两个零点和，求的值；
（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
答案：（1）
（2） （3）.
解析：
思路：（1）由和差角公式，二倍角公式，辅助角公式化简得函数解析式，由正弦函数的对称轴求得函数的对称轴；
（2）由取值范围，求得范围，由正弦函数图象作出函数在区间上的大致图象，由对称性求得，即可求得结果；
（3）通过取值范围，求得范围，设，即求得的取值范围.通过二次函数开口方向得到函数最大值点，根据题意建立不等式组，解实数的取值范围.
（1）令，解得，
即图象的对称轴为直线.
（2）由（1）知，，
由，得，作出函数在区间上的大致图象如下.

由函数在区间上有两个零点和，
得，则.
（3）设，因为，则，，即.
对任意，不等式恒成立，
等价于：对任意，不等式恒成立.
令，其图象为开口向上的抛物线，故其在区间上的最大值在端点处取得，所以要使在区间上恒成立，只需，
即，解得，即实数的取值范围是.
19. 第十届花博会将于5月21日至7月2日在上海市崇明区举办，展览方准备将如图扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花；已知扇形的半径为100米，圆心角为，点在扇形的弧上，点在上，且．
（1）当是的中点时，求的长（精确到米）；
（2）已知种植郁金香的成本为50元/平方米，要使郁金香种植区的面积尽可能的大，求面积的最大值，并求此时种植郁金香花卉的成本（精确到元）；（参考数值，）
答案：（1）115米；（2）的面积最大值为，此时种植郁金香花卉的成本元．
解析：
思路：（1）扇形的半径为100米百米，求出，的值，然后在中，利用余弦定理求解即可；
（2）在中，利用正弦定理求出，然后表示出的面积，利用三角函数的性质求解最值即可；从而求出此时种植郁金香花卉的成本．
解答过程：解：（1）扇形的半径为100米百米，
当是的中点时，，，，
在中，由余弦定理可得，，即解得或（舍去），
所以是的中点时，的长约为115米；
（2）设，，在中，由正弦定理可得，，
所以，
所以的面积为，
故当，即时，的面积最大为（百米，
所以此时种植郁金香花卉的成本元．