2025--2026学年辽宁省辽阳市第一高级中学高二下册期中检测数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年辽宁省辽阳市第一高级中学高二下册期中检测数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求）
1. 设，命题甲：成等比数列，命题乙：，甲是乙的则（ ）
A. 充分必要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
2. 数列0，，，，…的一个通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数在上是增函数
B. 是函数的极小值点
C.
D.
4. 设等比数列的前项和为，，，则（ ）
A. 1B. C. D.
5. 如图1甲是第七届国际数学家大会（简称）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.其中已知：，为直角顶点，设这些直角三角形的周长依次从小到大组成的数列为，则（ ）
A. 2B. 3C. D.
6. 给出定义：设是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知函数的拐点为，则下列结论正确的为（ ）
A. B. 点在直线上
C. D. 点在直线上
7. 已知函数，对于任意且，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数，若对时恒成立，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合要求，部分选对得部分分，错选不得分）
9. 已知等差数列的前项和，且，，则下列选项不正确的是（ ）
A. 数列为递减数列B.
C. 的最大值为D.
10. 已知是数列的前n项和，．下列结论正确的是（ ）
A. 若是等差数列，则
B. 若是等比数列，则
C. 若是等差数列，则公差
D. 若是等比数列，则公比是2或－2
11. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是关于整除的问题(如7被3除余1，1被2除余1).现有这样一个整除问题：将1到500这500个正整数中能被4除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，余下的数按从小到大的顺序排成一列构成数列，记数列的前n项和为An，数列的前项和为Bm，则下列说法正确的有（ ）
A. (n≤25，n∈N*)B. (n≤25，n∈N*)
C. 数列共有476项D. B200=21255
第Ⅱ卷（主观题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 设为数列的前项和，若，则____
13. 由正整数组成的数对按规律排列如下：，，，，，，，，，，，，….则数对排在第___________位.
14. 已知时，不等式恒成立，则的最大值是__________.
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15. 求下列函数的导数
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
16. 已知数列的前项和为，满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和为.
17. 求下列数列的和：
（1）；
（2）．
18. 已知是递增的等差数列，，且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）记中满足的项的个数为，求数列的前项和.
19. 已知函数．
（1）若曲线在处的切线斜率为，求a的值；
（2）讨论函数在区间上的极值点个数；
（3）设，证明：当时，对，恒成立．
数学
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求）
1. 设，命题甲：成等比数列，命题乙：，甲是乙的则（ ）
A. 充分必要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
答案：B
解析：
思路：利用等比数列的性质结合充分必要条件求解即可.
解答过程：若实数成等比数列，则，即，
所以命题甲可以推出命题乙，即甲是乙的充分条件；
当时，，但不成等比数列，
所以命题乙不可以推出命题甲，即甲不是乙的必要条件；
故甲是乙的充分不必要条件，
故选：B.
2. 数列0，，，，…的一个通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：分析数列前4项的特征，确定并判断即得.
解答过程：依题意，，…，由此得，A是；
而选项B中，选项C中，选项D中，BCD不是.
故选：A
3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数在上是增函数
B. 是函数的极小值点
C.
D.
答案：D
解析：
思路：
由图得出函数的单调性判断ABD，根据判断C.
解答过程：当时，，则函数在上是减函数，故A错误；
函数在上单调递增，在上单调递减，则是函数的极大值点，故B错误；
由图可知，，故C错误；
函数在上单调递增，则，故D正确；
故选：D
4. 设等比数列的前项和为，，，则（ ）
A. 1B. C. D.
答案：D
解析：
思路：设等比数列的公比为，根据所给条件求出、，即可得解.
解答过程：设等比数列的公比为，
，，
，解得，
，解得，
所以.
故选：D．
5. 如图1甲是第七届国际数学家大会（简称）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.其中已知：，为直角顶点，设这些直角三角形的周长依次从小到大组成的数列为，则（ ）
A. 2B. 3C. D.
答案：A
解析：
思路：由题可得，利用裂项相消可求出.
解答过程：由题意，…
以此类推可得，
所以.
故选：A.
6. 给出定义：设是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知函数的拐点为，则下列结论正确的为（ ）
A. B. 点在直线上
C. D. 点在直线上
答案：B
解析：
思路：求出、，依题意可得，即可判断A，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，即可判断C，再计算，即可判断B、D.
解答过程：因为，则，，
依题意可得，则，故A错误；
，故C错误；
又，所以点在直线上，故B正确，D错误；
故选：B
7. 已知函数，对于任意且，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：由题意推出，令，可得在上单调递增，即得在上恒成立，分离参数，在上恒成立，从而构造函数，求出其最小值，即可求得答案.
解答过程：由题意知对于任意且，都有，
不妨设，即得，即，
令，则在上单调递增，
即在上恒成立，且不恒等于0，
故在上恒成立，
令，则，
令，则，令，则，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，故，
即实数a的取值范围是，
故选：B
8. 已知函数，若对时恒成立，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：分析可知，可得出，求出实数的值，再利用导数法进行验证，即可得出实数的值.
解答过程：，，
因为，所以，，，
又因为函数为可导函数，所以，为函数的极值点，
，可得，此时，，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，当时，，满足题意.
综上所述，.
故选：C.
方法提示：关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立，解题的关键在于分析出，转化为函数的极值点为进行求解，但同时要注意进行检验.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合要求，部分选对得部分分，错选不得分）
9. 已知等差数列的前项和，且，，则下列选项不正确的是（ ）
A. 数列为递减数列B.
C. 的最大值为D.
答案：BD
解析：
思路：AB选项，由等差数列的性质得到，从而确定；C选项，，，故C正确；D选项，根据等差数列求和公式和性质得到.
解答过程：AB选项，由等差数列性质得到，
又，所以，
设公差为，则，数列为递减数列，A正确，B错误；
C选项，因为，，则的最大值为，C正确.
D选项，因为，故，D错误.
故选：BD
10. 已知是数列的前n项和，．下列结论正确的是（ ）
A. 若是等差数列，则
B. 若是等比数列，则
C. 若是等差数列，则公差
D. 若是等比数列，则公比是2或－2
答案：AB
解析：
思路：根据等差数列与等比数列的定义、性质、求和公式计算即可.
解答过程：若是等差数列，设其公差为，则成等差数列，公差为，
由，即A正确；
当时显然符合题意，但C错误；
若是等比数列，设其公比为，则成等比数列，公比为，
由，即B正确，
当时，也符合题意，故D错误.
故选：AB
11. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是关于整除的问题(如7被3除余1，1被2除余1).现有这样一个整除问题：将1到500这500个正整数中能被4除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，余下的数按从小到大的顺序排成一列构成数列，记数列的前n项和为An，数列的前项和为Bm，则下列说法正确的有（ ）
A. (n≤25，n∈N*)B. (n≤25，n∈N*)
C. 数列共有476项D. B200=21255
答案：ABD
解析：
思路：由能被4除余1且被5除余1的数即为能被4和5的最小公倍数除余1的数，可判断AB选项，注意到与的项数之和为500，B200等于数列的前211项和减A11，然后可解.
解答过程：由题知，数列是以1为首项，20为公差的等差数列，故(n≤25，n∈N*)，(n≤25，n∈N*)，AB正确；
已知数列共有25项，所以数列共有475项，故C不正确；
数列的前211项和为，在将1到211的所有整数中，能被20除余1的数共11个，其余的数有200个.所以，，故D正确.
故选：ABD
第Ⅱ卷（主观题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 设为数列的前项和，若，则____
答案：
解析：
思路：
当时，由，解得，当时，，两式相减可得，即，可得数列是等比数列再求通项公式.
解答过程：当时，，即，
当时，，
两式相减可得，
即，
即，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
故
方法提示：本题考查数列的前项和与通项公式的关系，还考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于基础题.
13. 由正整数组成的数对按规律排列如下：，，，，，，，，，，，，….则数对排在第___________位.
答案：305
解析：
思路：首先观察得到和为的分解共有个，再求数对所在位置即可.
解答过程：观察规律发现：
；
，；
，，；
，，，；
得到和为的分解共有个.
则数对和为，
因此前面共有个，
又因为在和为中为第5个，
所以数对排在第305位.
故305
14. 已知时，不等式恒成立，则的最大值是__________.
答案：
解析：
思路：转化不等式，通过构造函数，结合导数研究所构造函数的单调性，由此列不等式来求得的取值范围，进而求得的最大值.
解答过程：由题意，可得恒成立，令，
，当时，单调递增，所以，
，当时，单调递增，
当时，单调递减，又，
要使不等式恒成立，必有，即.
故
方法提示：利用导数研究不等式恒成立问题，关键点在于“划归与转化”，将恒成立的不等式转化后，利用构造函数法，结合导数研究函数的单调性、范围等来对问题进行求解.
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15. 求下列函数的导数
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
答案：（1）
（2） （3）
（4） （5）
（6）解析：
思路：（1）（2）根据基本初等函数的导数即可求解，（3）（4）（6）根据基本初等函数的导数和导数的四则运算即可求解，（5）根据复合求导法则即可求解.
（1）（2）
（3）（4）
（5）令，
令，则
（6）16. 已知数列的前项和为，满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和为.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据，知为公比为的等比数列，再由条件求出，求得的通项公式；
（2）由，，求得，再分别用等比数列求和公式和等差数列求和公式求出
（1）因为，所以，所以.
由可知数列是公比为2的等比数列，所以.
所以数列的通项公式为
（2）17. 求下列数列的和：
（1）；
（2）．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用分类讨论思想结合等差数列公式法和错位相减法求和；
（2）先得到通项公式，再进行分组求和，以及利用等比数列求和公式求和即可.
（1）当时，，
当时，记①
①：②
①－②：，
化简得：，
综上所述：
（2）该数列为，其前项和为，
因为
，
，
，
，
，
……
所以该数列的一个通项公式为，
．
18. 已知是递增的等差数列，，且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）记中满足的项的个数为，求数列的前项和.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据题意得，公差，进而转化为与的关系求，最后求得，通项公式；
（2）根据题意解不等式得，进而根据等比数列求和公式求解即可.
（1）设等差数列的公差为，
因为是递增的等差数列，所以，
因为成等比数列，所以 ，
又因为，
所以，即
整理得，解得或，
由于，所以，
所以，
所以，
所以的通项公式为
（2）由得，
解上述不等式得，
因为，所以，
所以满足不等式的的个数为：，
所以
因为，
所以数列为等比数列，首项为，公比为.
所以数列的前项和，
所以数列的前项和为
19. 已知函数．
（1）若曲线在处的切线斜率为，求a的值；
（2）讨论函数在区间上的极值点个数；
（3）设，证明：当时，对，恒成立．
答案：（1）
（2）当或 时，在上无极值点；当 时， 在上有一个极值点
（3）证明见解析
解析：
思路：（1）根据导数的几何意义知函数在的导数值是过该点的切线的斜率，所以对函数求导可得切线斜率，进而得的值；
（2）先求函数的导函数，再分三种情况分类讨论，分析导函数的正负情况，再结合导函数的零点求解，进而判断求出函数极值点的个数；
（3）将转化成以为自变量的函数，分析这个二次函数对称轴的范围，进一步得出在上单调递增，问题可转化为证明，再次转化成，研究其最小值即可.
（1）由已知可得，由题意得，解得.
（2），因为 ，所以 ，故，
若 ，则恒成立，所以在上单调递增，无极值点；
若 ，则恒成立，所以 在上单调递减，无极值点；
若，由 得 ，
在上， 单调递减，存在唯一的，使得，
当时，，当时， ，
所以在 上单调递增，在上单调递减，有一个极值点；
综上所述，当或 时，在上无极值点；当时，在 上有一个极值点.
（3）因为，令是关于 的二次函数，
对称轴为 ，
令，则，
令，则；，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以在上单调递增.
问题可转化为证明，即证
令，则，
令，
则，
所以在上单调递减，且，
所以当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即.
综上：当时，恒成立．