2025~2026学年辽宁大连市第四十八中学下册期中考试高一数学试题 [含答案]

这是一份2025~2026学年辽宁大连市第四十八中学下册期中考试高一数学试题 [含答案]试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】
直接代入弧长与圆心角的计算公式即可.
【详解】根据公式得，，所以扇形圆心角的弧度数为.
故选：C.
2. 已知向量满足，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
【正确答案】A
【详解】由，
，得．
．
故．
3. 在中，、是方程的两个实根，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】∵、是方程的两个实根，
∴，，
∴，
中.
4. 已知，是单位向量，且，若向量在上的投影向量为，则（ ）
A. 2B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律，结合投影向量的意义求解.
【详解】依题意，，
向量在上的投影向量为，所以.
故选：C
5. 已知函数，若方程的解为，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】画出在上的图象，考虑直线与其交点，从而可得的值，故可得的值.
【详解】在上的图象如图所示：
令，则，
令，故,即.
由图可得，
故，
故选：A.
6. 若，且，则（ ）
A. B. 或C. D.
【正确答案】C
【分析】根据所给角的范围，同角三角函数的平方关系及各象限三角函数的正负，结合两角和的正弦公式即可求解．
【详解】因为，所以，又，
所以，，
所以，
又因为，所以，又，
所以，则，
所以
．
7. 某实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系；．若实验室温度不低于11℃时需要降温，则在一天时间内实验室需要降温的时长为（ ）
A. 6小时B. 8小时C. 9小时D. 12小时
【正确答案】B
【详解】，
令，则，所以，
解得，由于，则或，
所以在这段时间，实验室需要降温，
即在一天时间内实验室需要降温的时长为小时.
8. 已知函数，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据题意，因为，所以，进而可得，因为存在唯一实数，结合正弦函数的图象性质，可得，求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，则.
，总存在唯一实数，使得，
即，使得在上有唯一解，
因为，所以，
因为总存在唯一实数，使得，
所以，即.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9. 下列各式中运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】AC
【分析】根据二倍角公式以及两角和差的余弦公式，两角和差的正切公式逐项分析即可.
【详解】因为，所以A正确；
因为，所以B错误；
因为，
所以，即，所以C正确；
因为，所以D错误.
10. 已知的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则不是锐角三角形
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，则
D. 若，则
【正确答案】ACD
【详解】选项A：由，可得，则 或 ，由于为三角形的内角，
故 或，
为直角三角形或钝角三角形，故A正确；
选项B：当时，，对于任意，，
恒成立，为钝角三角形，故B错误；
选项C：由 ，得，
由余弦定理得：，
，
，故C正确；
选项D：由正弦定理，则，即，
，
，故D正确．
11. 如图所示，线段是的弦，其中点为上任意一点，则以下结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 当时
D. 的最大值是
【正确答案】ABD
【分析】根据平面向量数量积的运算律及定义，求得的范围，判断A；利用数量积的定义，求出，判断B；结合图象由点的位置不唯一，并求得，判断C；利用平面向量的数量积运算律及定义求得的最大值，判断D.
【详解】由题意可知，的半径为.
，
因为，所以，
所以，所以A正确；
，所以B正确；
当时，取的中点，记作，则三点共线，
当时，，所以；
当时，，所以.
所以C错误；
，
因为，所以，
所以的最大值是，所以D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，则__________．
【正确答案】
【详解】由二倍角公式，
代入，得.
13. 设当时，函数取得最大值，则_____.
【正确答案】##
【分析】利用辅助角公式，结合辅助角的函数值即求解.
【详解】由，
其中，
当时，函数取得最大值，
则，即，
则，
故
14. __________．
【正确答案】
【分析】利用三角恒等变换先化简，结合诱导公式即可求解.
【详解】由题意得：
.
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，，.
（1）若与共线，求实数的值；
（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据向量坐标运算和向量平行的坐标表示求解可得；
（2）根据且不同向列方程求解即可.
【小问1详解】
因为，，所以，
，
与共线，则，解得.
【小问2详解】
已知，，
若与的夹角为锐角，则且不同向，
由，解得，
由，解得，此时同向，不符合题意，
因此实数的取值范围为.
16. 已知平面向量，函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）若锐角满足，求的值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）先根据平面向量的数量积的坐标表示、三角恒等变换公式化简可得，再结合正弦函数的单调性求解即可；
（2）由可得，再根据诱导公式、二倍角公式求解即可.
【小问1详解】
由
，
取，解得，
故的单调增区间为，
【小问2详解】
由（1）知，则，
所以.
17. 在中，内角对应的边分别是，且
.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积；
（3）若为锐角三角形，求的取值范围.
【正确答案】（1）；
（2）
（3）
【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后结合两角和的正弦公式、诱导公式求解；
（2）由余弦定理求得，再用三角形面积公式计算；
（3）利用诱导公式、两角和的正弦公式化简，再由锐角三角形确定角范围，然后由正弦函数性质得取值范围.
【小问1详解】
因为中，，由正弦定理得，
所以，即，
又，，则，所以；
【小问2详解】
由余弦定理得，即，
解得（舍去），
所以；
【小问3详解】
,
，
因为是锐角三角形，所以，解得，
所以，，
所以.
18. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．

（1）在仿射坐标系中，若，求；
（2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；
（3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值．
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）由题意可知，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值；
（2）计算出，利用平面向量的夹角公式可得出关于的方程，解之即可；
（3）设、，利用平面向量的线性运算得出、关于、的关系式，利用余弦定理可得出和平面向量数量积的运算性质化简得出，设，利用正弦定理可得出，，利用三角恒等变换以及正弦函数的有界性可求得的最大值.
【小问1详解】
由题意可知，、的夹角为，
由平面向量数量积的定义可得，
因为，则，
则，
所以．
【小问2详解】
由，，得，，且，
所以，，
则，
，
因为与的夹角为，所以，
解得．
【小问3详解】
依题意，设、，且，，，
因为为的中点，则
，
因为为中点，同理可得，
所以，
由题意知，，
则，
在中，依据余弦定理得，所以，
代入上式得，．
在中，由正弦定理得，
设，则，且，
所以，，
，为锐角，且，
因为，则，
故当时，取最大值，
则．
19. 如图，有一块矩形铁皮，其中，，阴影部分是一个半径为的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积的表达式为．
（1）当时，设，求的值域；
（2）当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值．
【正确答案】（1）
（2）最小值是，所对应的的值是或．
【分析】（1）根据题意，过作，分别表示出、，结合矩形的面积公式代入计算，即可得到的表达式，再将的解析式化简，由换元法，结合二次函数的值域，代入计算，即可得到结果；
（2）由解析式可得，即可得到时，取得最小值，然后代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
过作，垂足为，由题意可得：，，
所以，
所以矩形的面积，
当时，
，
令，因为，所以，
则函数，其对称轴为，
当时，，
当或时，，所以，即函数的值域为.
【小问2详解】
因为，
当时，
当且仅当，即
，解得或时，等号成立．
所以的最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或．