2025~2026学年辽宁大连经济技术开发区第一中学度下册期中考试高二数学试题 [含答案]

这是一份2025~2026学年辽宁大连经济技术开发区第一中学度下册期中考试高二数学试题 [含答案]
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．本试题共3页，如缺页，考生须声明，否则后果自负．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知等比数列，则（）
A. 14B. 32C. 16D. 54
【正确答案】B
【分析】由等比数列的下标和性质即可得出答案.
【详解】由题意可知.
故选：B
2. 已知，若，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】因为，故，故.
3. 某公司近几年投入A款产品的年研发费用与年利润的统计数据如下表：
若与的回归直线方程为，则（ ）
A. 2.1B. 2.2C. 2.3D. 2.4
【正确答案】D
【分析】根据回归直线方程的性质求解样本中心点，代入方程即可得的值.
【详解】由表可知，，
则样本中心点为，代入回归直线方程得：
，解得．
故选：D.
4. 数列满足，，则等于（）
A. B. C. 2D.
【正确答案】A
【详解】因为，，
所以，，，，，…
所以数列是周期数列，周期为3，
所以.
5. 已知随机变量的分布如下：若，则（）
A. B. 7C. D. 22
【正确答案】C
【分析】先根据分布列的性质与确定，的值，计算，再根据求值.
【详解】由题意得，，即，
因为，所以，即，
联立解得，，，则，
所以.
6. 函数的大致图象是（）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】求导，分析函数的单调性，再结合时，即可求解.
【详解】因为，则函数的定义域为，
所以，
由，得或，
由，得且，
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，，
又时，，分析图象可知，C选项正确.
7. 若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】转化问题为存在，使成立，进而求解即可.
【详解】因为函数在上存在单调递减区间，
所以存在，使成立，
即存在，使成立，
令，因为，所以，
所以当，即时，，所以，
8. 设函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据因式分解，将问题转化为或共有4个解，利用导数求的单调性，进而可作出的图象，即可求解.
【详解】解：因为恰好有4个不相等的实数解，
所以恰好有4个不相等的实数解，
所以或共有4个解，
设，，则，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
且，，
当时，，所以；
设，，
则，为单调减函数，
且时，，，
作出函数的图象如图所示：
由图可知只有一解，
要恰好有4个不相等的实数解，
即要恰有3解，
所以，
即，
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若为等差数列，，则下列说法正确的是（）
A.
B. 是数列中的项
C. 数列单调递减
D. 数列前7项和最大
【正确答案】ACD
【分析】由为等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐一判断即可.
【详解】因为数列为等差数列，且，则，解得，，故A选项正确，
由，得，故B错误，
因为，所以数列单调递减，故C正确，
由数列通项公式可知，前7项均为正数，，所以前7项和最大,故D正确.
故选：ACD
10. 随机变量服从参数为的二项分布，即，其概率分布可用下图直观地表示，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】BD
【分析】根据二项分布的定义，概率及方差公式计算判断各个选项.
【详解】由概率分布直观图可知可以取0，1，2，3，4，所以，故A项错误；
又，所以，故B项正确；
又，所以，故C项错误；
，故D项正确．
11. 已知是数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（）
A. 数列为等比数列B. 数列为等比数列
C. D.
【正确答案】ABC
【分析】对于A，根据题设易得，再验证得到即可判断；对于B，根据题设易得，再验证得到即可判断；对于D，结合AB得到，，进而求解判断即可；对于C，利用分组求和求解判断即可..
【详解】对于A，由，
则，
因为，所以，则，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确；
对于B，由，
则，
又，，满足，
所以是首项为，公比为的等比数列，故B正确；
对于D，由A知，，由B知，，
联立，则，故D错误；
对于C，
，故C正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数的导函数为，且，则________．
【正确答案】
【分析】对函数表达式同时求导并令，解方程即可求得结果.
【详解】已知函数，
求导可得，
代入，可得，即.
13. 一个家庭有两个孩子，生肖均为十二生肖之一（等可能）．已知其中一个孩子属马，则另一个孩子也属马的概率为________．
【正确答案】
【详解】两个孩子的生肖组合有种，
记事件A“其中一个孩子属马”，事件B“两个孩子都属马”，
则，，
所以.
14. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人，则经过6次传球后，球在甲手中的概率为______．
【正确答案】
【分析】设表示经过第次传球后，球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，依题意利用条件概率的概率公式得到，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出，再将代入计算可得；
【详解】解：设表示经过第次传球后，球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，，则有，，所以
，即，所以，
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，
当时；
故
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15. 已知函数在时取得极值13.
（1）求，的值；
（2）求在上的最大值和最小值.
【正确答案】（1），
（2）最大值为，最小值为
【分析】（1）利用，可求解；
（2）求导，令，可得，，结合单调性，可求最值.
【小问1详解】
由题可得，
，，
解得，.
【小问2详解】
由（1）知，令，
解得，，
当时，，
所以的单调递增区间为，，
当时，，所以的单调递减区间为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，
所以在上的最大值为，最小值为.
16. 已知数列满足，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用累加法即可求得数列通项；
（2）将数列的通项公式裂项后相加即得答案.
【小问1详解】
，且，
当时，
，
当时，，满足上式，
故数列的通项公式为.
【小问2详解】
由（1）知，，
则.
17. 为研究高中生自主刷题与数学成绩提升的关联性，某教研机构随机抽取200名高三学生开展调查，统计数据如下表（单位：人）：
根据上述数据，解答下列问题：
（1）依据小概率值的独立性检验，判断能否认为高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升有关？
（2）已知在坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.6；在未坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.3.现从这200名学生中随机抽取1人，发现其数学成绩为优秀，求该学生坚持自主刷题的概率.
附：，其中.
【正确答案】（1）有关（2）
【分析】（1）由题意可得，根据独立性检验知识即可得结论；
（2）定义事件：设“该学生坚持自主刷题”，则“该学生未坚持自主刷题”，“该学生数学成绩优秀”，根据题意求出的值，结合，求出的值，再由条件概率公式，求解即可.
【小问1详解】
假设：高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升无关联；
经计算因为，
故依据小概率值的独立性检验，我们推断假设不成立，
即认为高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升有关联，该推断犯错误概率不超过0.001；
【小问2详解】
定义事件：设“该学生坚持自主刷题”，
则“该学生未坚持自主刷题”，“该学生数学成绩优秀”，
则，
所以，
所以
故该学生坚持自主刷题的概率为.
18. 已知数列的前项和为，，数列满足点在直线上.
（1）求数列，的通项和；
（2）令，求数列的前项和；
（3）已知，求对所有的正整数都有成立的的范围.
【正确答案】（1），；
（2）
（3）k∈−∞,6
【分析】（1）根据与的关系，结合等比数列的定义求的通项公式，结合等差数列的定义求的通项公式；
（2）由（1）可得，再利用错位相减法求解即可；
（3）由（1）可得，根据数列的单调性可得最大值为，结合题意可得恒成立，进而利用基本不等式运算求解即可.
【小问1详解】
，
当时，，即，
当时，，，
，，
数列是首项为，公比为2的等比数列.
，，
又点在直线上，
，即，又，
数列是首项为，公差为2的等差数列.
.
【小问2详解】
，
，①
，②
因此①②得.
即
.
【小问3详解】
由（1）知当，，
，
数列为单调递减数列，
当时，，即最大值为，
由可得，
而，当且仅当时取等号，
.
19. 已知函数的图象在点处的切线方程为.
（I）用表示出；
（II）若在上恒成立，求的取值范围；
（III）证明：
【正确答案】（I），；（II）；（III）证明见解析.
【分析】（I）根据导数的几何意义，结合切线方程即可得到结果；
（II）令，可求得的两根；分别在和两种情况下，根据单调性可得结果；
（III）根据（II）的结论可知当时，在上恒成立，令依次取，，，…，，各式相加整理即可证得结论.
【详解】（I），，；
又，；
（II）由（I）得：；
令，则在上恒成立；
，
令，解得：，；
（1）当，即时，在上恒成立，
在上单调递增，，满足题意；
（2）当，即时，
若，则，则在上单调递减，
此时，不合题意；
综上所述：的取值范围为；
（III）由（II）知：当时，在上恒成立，
那么当时，在上恒成立；
令依次取，，，…，可得：
，，，…，，
，
，
，
.
关键点点睛：本题考查导数的几何意义、利用导数解决恒成立问题和证明不等式的问题；证明不等式的关键是能够结合恒成立的结论，通过赋值法得到基本不等关系，通过累加的方式整理化简得到结论.
年研发费用
5
4
6
3
4
2
年利润
12
10
13
9
11
5
0
1
2
成绩显著提升
成绩未显著提升
合计
坚持自主刷题
90
30
120
未坚持自主刷题
20
60
80
合计
110
90
200