2025--2026学年辽宁省大连市第二十高级中学高一下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年辽宁省大连市第二十高级中学高一下册期中考试数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
3. 将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知平面向量满足，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，则的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知，且，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知非零向量与满足且，则为（ ）
A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形D. 等边三角形
8. 在矩形中，，是矩形区域内一点（含边界），点与点关于点对称，则的最大值为（ ）
A. 9B. 6C. 7D. 8
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 化简下式，正确的是（ ）
A. =B. =
C. D. =
10. 已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，则（ ）
A.
B. 的最小正周期为
C. 的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象
D. 的单调递增区间为
11. 对于函数（），下列说法正确的是（ ）
A. 当时，函数在上有且只有一个零点
B. 若函数在单调递增，则的取值范围为
C. 若函数在时取最小值，在时取最大值，且，则
D. 将函数图象向左平移个单位得到的图象，若为偶函数，则的最小值为2
卷Ⅱ
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 在中，若，，则的外接圆的半径为_____________．
13. 函数的单调递增区间为______．
14. 已知函数在区间上只有一个最大值点和一个零点，则的取值范围是__________.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 在平面直角坐标系中，锐角的顶点是坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点．将角的终边按逆时针方向旋转得到角．
（1）求；
（2）求的值.
16. 已知
（1）求的最小正周期和单调递减区间；
（2）若，，求的值;
（3）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围
17. 已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是．
（1）求的解析式；
（2）求不等式的解集；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，.
（1）求；
（2）若，，，求的面积；
（3）若N是的平分线与的交点，且，则求的最小值.
19. 若的内角的对边分别为，且．
（1）求；
（2）若，求面积的最大值．
数学
试题分数：150分
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据向量的数量积坐标公式计算得出，最后应用模长公式计算求解.
解答过程：因为，所以，所以.
故选：C.
2. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据扇形的弧长公式以及面积公式计算可得结果.
解答过程：易知圆心角，由弧长，得，
所以该扇形的面积为.
故选：D.
3. 将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：根据三角函数图象变换规律结合题意求解即可.
解答过程：将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，得，
再将得到的图象向右平移个单位长度，得.
故选：B
4. 已知平面向量满足，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据投影向量的定义求解.
解答过程：由已知，
在方向上的投影向量为.
故选：A．
5. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，则的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：利用图象可确定最小正周期，由此可得，结合可得，由此可得.
解答过程：由图象知函数周期，所以，所以，
又函数图象过点，，所以，
解得，又，所以，所以.
故选：A
6. 已知，且，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据条件求出及的值，令，按两角和的正弦公式展开求值即可.
解答过程：因为，所以，
又，所以，
因为，所以，因为，
所以，
所以
．
故选：B．
7. 已知非零向量与满足且，则为（ ）
A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形D. 等边三角形
答案：D
解析：
思路：将变形可得，从而可知的角平分线与垂直，故.再结合向量数量积的定义及可得，即可判断的形状.
解答过程：∵和分别是与和同向的单位向量，
∴表示在的角平分线上的向量.
∵，∴，
∴的角平分线与垂直，∴.
又，∴，
∴为等边三角形.
故选：D.
8. 在矩形中，，是矩形区域内一点（含边界），点与点关于点对称，则的最大值为（ ）
A. 9B. 6C. 7D. 8
答案：D
解析：
思路：取的中点，连接，由向量加减法可得，据此可得答案.
解答过程：因为点与点关于点对称，所以，则．
取的中点，连接，则，，
则．
当点与点或点重合时，取得最大值，则，
从而的最大值为8．
故选：D
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 化简下式，正确的是（ ）
A. =B. =
C. D. =
答案：BD
解析：
思路：利用三角恒等变换化简各选项即可确定正确答案.
解答过程：A.，选项A错误.
B.，选项B正确.
C.
，选项C错误.
D.
，选项D正确.
故选：BD.
10. 已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，则（ ）
A.
B. 的最小正周期为
C. 的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象
D. 的单调递增区间为
答案：BCD
解析：
思路：由题设知周期，得的值，求出函数的解析式，由正切函数的图象性质逐项判断即可.
解答过程：对于A、B，因为函数的图象相邻两个对称中心之间的距离为，
则该函数的最小正周期为，所以，，故A错误，B正确；
对于C，，的图象向左平移个单位长度后得到
函数的图象，故C正确；
对于D，由，可得，
所以的单调递增区间为，D正确.
故选：BCD.
11. 对于函数（），下列说法正确的是（ ）
A. 当时，函数在上有且只有一个零点
B. 若函数在单调递增，则的取值范围为
C. 若函数在时取最小值，在时取最大值，且，则
D. 将函数图象向左平移个单位得到的图象，若为偶函数，则的最小值为2
答案：ABD
解析：
思路：由正弦函数的单调性可得A、B正确；由正弦函数的周期和诱导公式可得C错误；由图象平移结合偶函数的性质可得D正确.
解答过程：对于A，当时，，
令，则，
当，为正弦函数的递减区间，此时，
所以有解，且只有一个零点，故A正确；
对于B，，
因为单调递增，所以，解得，
又，所以，故B正确；
对于C，由题可得，所以，故，此时，
令，则，
故，所以，故C错误；
对于D，，
若为偶函数，则，解得，
所以当时，的最小值为2，故D正确；
故选：ABD
卷Ⅱ
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 在中，若，，则的外接圆的半径为_____________．
答案：
解析：
思路：利用同角三角函数关系式，结合正弦定理进行求解即可.
解答过程：因为是三角形内角，所以
又因为，
所以，
设的外接圆的半径为R，由正弦定理，有，
即的外接圆的半径为．
故
13. 函数的单调递增区间为______．
答案：
解析：
思路：利用正弦函数的奇偶性整理函数，根据整体思想，结合正弦函数的单调性，建立不等式组，可得答案.
解答过程：，
要求的单调递增区间，即求的单调递减区间，
令，解得，
令，又，故函数的单调递增区间为．
故答案为.
14. 已知函数在区间上只有一个最大值点和一个零点，则的取值范围是__________.
答案.
解析：
思路：根据二倍角公式和两角差的正弦公式化简，由即可得出的范围，根据在上只有一个最大值点和零点即可得出关于的不等式，解出的范围即可.
解答过程：
，
由，且，则，
且在区间上只有一个最大值点和一个零点，
，解得，
的取值范围为.
故答案为.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 在平面直角坐标系中，锐角的顶点是坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点．将角的终边按逆时针方向旋转得到角．
（1）求；
（2）求的值.
答案：（1），
（2）解析：
思路：（1）根据点在单位圆上得到，由三角函数的定义可得，根据诱导公式计算即可；
（2）利用诱导公式化简，代入数据计算即可．
（1）∵点在单位圆上，∴，
∵为锐角，则，∴解得．
∴，
∴，
．
（2）．
16. 已知
（1）求的最小正周期和单调递减区间；
（2）若，，求的值;
（3）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围
答案：（1）最小正周期为，单调递减区间是
（2） （3）
解析：
思路：（1）根据三角函数的性质求最小正周期和单调递减区间；
（2）利用诱导公式，以及同角三角函数基本关系式，即可求解；
（3）首先设，再转化为与有2个交点，求参数的取值范围.
（1）的最小正周期是，
令，
得，
所以函数的单调递减区间是.
（2），得，
，
因为，所以，
所以，
即.
（3），则，
若函数在区间上有2个零点，即与在区间有2个交点，
如图，
即，得.
17. 已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是．
（1）求的解析式；
（2）求不等式的解集；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）由，，且的最小值是，可得，
由的图象关于直线对称，可得，由点在的图象上，可得，据此可得答案；
（2）即解不等式，然后由余弦函数单调性可得答案；
（3）即时，，利用余弦函数性质求得，解不等式可得答案.
（1）因为的最小值是，所以，所以．
因为的图象关于直线对称，所以，
所以，所以，即．
因为，所以．
因为点在的图象上，所以，所以．
故；
（2）不等式等价于不等式，
即，所以，
解得，
即不等式的解集为．
（3）因为，所以，
所以，则．
因为对任意的，不等式恒成立，
所以，即，
解得或，
即的取值范围为．
18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，.
（1）求；
（2）若，，，求的面积；
（3）若N是的平分线与的交点，且，则求的最小值.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）由得，利用正弦定理和两角和的正弦公式即可求解；
（2）由得，利用向量求，最后由三角形的面积公式即可求解；
（3）由已知有得，利用基本不等式即可求解.
（1）由由正弦定理有
，
∵，，∴，整理得.
又∵，，，∴.
（2）由
∵，，，即
∴，
解得（舍）或.
∴；
（3）由已知有：
，
得，整理得
当且仅当时取到最小值，即取等号.
19. 若的内角的对边分别为，且．
（1）求；
（2）若，求面积的最大值．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据题意利用两角和差公式结合辅助角公式可得，结合正弦函数即可得结果；
（2）利用正弦定理结合两角和差公式可得，利用余弦定理结合基本不等式可得，即可得面积最大值.
（1）因为，，
则，
可得，
则，
又因为，则，可得，则，
且，则，
可得，所以．
（2）设，则，
因为，即，
可得，即．
由余弦定理可得，即，
又因为，则，解得，
当且仅当时等号成立，
可得，
所以面积的最大值为．