2025--2026学年辽宁大连第一中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年辽宁大连第一中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共44页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，，，则有（ ）
A. B. C. D.
3. 下列函数中，其图象与函数的图象重合的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 记的面积为S，的外接圆半径为1，且，则（ ）
A. B. C. D.
5. 如图所示，的三条边均与圆相切，其中，则圆的半径约为（ ）

A. 5.861B. 5.674C. 5.076D. 4.926
6. 已知，且，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数在处取得最大值，若在处取得最大值，则与的关系可能为（ ）
A. B.
C. D.
8. 在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有一项或多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的有（ ）
A. 是第三象限角
B. 若扇形的圆心角为，半径为3，则弧长为6，面积为9
C. 若，为第二象限角，且，则
D. 与值域相同.
10. 在中，角，，所对的边分别为，，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，，则三角形有两解
B. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为
C. 若，，则的取值范围为
D. 若的外心为，且，，则.
11. 已知函数的部分图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A. 的值为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 若函数恰有4条对称轴和3个零点落在区间内，则实数的取值范围是
D. 若方程（，且）在内至少有3个不同的根，则实数的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知函数的单调递增区间为，则函数的最小正周期为___________.
13. 已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是______．
14. 已知，．则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点．
（1）求的值．
（2）若，求的值．
16. 已知，，且，求：
（1）的值；
（2）的值；
（3）的值．
17. 在中，角所对的边分别是，且.
（1）求；
（2）若是边上靠近的三等分点，，，求的面积；
（3）若是的角平分线，，，求的长.
18. 已知函数.
（1）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不相等的实数根，，求的值.
（2）设，若方程在上有解，求实数的取值范围.
19. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．
（1）在仿射坐标系中，若，求；
（2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；
（3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值．
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用二倍角正弦公式，结合平方关系，弦化切，则代入求值即可.
解答过程：因为，
所以，
故选：C
2. 设，，，则有（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：对分别用诱导公式及和差角公式，半角公式化简，再结合正弦函数的单调性判断可得.
解答过程：由；
由，因为，
所以，故；
再由，所以,
所以，即.
3. 下列函数中，其图象与函数的图象重合的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：分别分析绝对值内为负值时各选项的解析式，对照分析，即可得答案.
解答过程：由二倍角公式得，
选项A：当时，，与不重合，故A错误；
选项B：当时，，与不重合，故B错误；
选项C：当时，，与不重合，故C错误；
选项D：因为是偶函数，所以对于任意，都有，
故，与的图象重合，故D正确.
4. 记的面积为S，的外接圆半径为1，且，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：由正弦定理（R为的外接圆半径），且的外接圆半径为1，得
，
代入得.
由余弦定理得，
又，所以，化简得，
因为，所以.
5. 如图所示，的三条边均与圆相切，其中，则圆的半径约为（ ）

A. 5.861B. 5.674C. 5.076D. 4.926
答案：C
解析：
思路：作出辅助线，用圆半径的表示出，结合已知求出，再用三角恒等变化求解.
解答过程：令圆切直线于点，连接，设圆半径为，
依题意，，
则，则，得，
因此
.

故选：C
6. 已知，且，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据条件，利用正弦的和差角公式得到，从而得，再利用基本不等式，即可求解.
解答过程：因为，即，
所以，
整理得到，又，，则，且易知，
所以，且
则，
又，当且仅当时取等号，
所以.
7. 已知函数在处取得最大值，若在处取得最大值，则与的关系可能为（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：根据题设有、且，再由已知得、，进而判断各项正误.
解答过程：由，且，
由题意，则，
，则，
所以，则或均不可能，
，则不可能，时.
故选：C
8. 在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据题目信息结合三角恒等变换及向量的数量积公式解出三角形，建立平面直角坐标系，由为线段上的一点，则存在实数使得，求出点坐标，再根据，求出点坐标，从而得到，利用基本不等式即可求出答案.
解答过程：中设，，，
因为，，
所以，
即，
所以，
因为，所以，
所以，又，所以，
又因为，所以，
又，所以，
在中，，，，
根据，所以，，
，
以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，
可得，，，所以，，
为线段上的一点，
则存在实数使得，
设，，则，，
所以，则，
所以，，则，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
此时，
所以的最小值为.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有一项或多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的有（ ）
A. 是第三象限角
B. 若扇形的圆心角为，半径为3，则弧长为6，面积为9
C. 若，为第二象限角，且，则
D. 与值域相同.
答案：AB
解析：
思路：根据终边相同的角可判断A项；利用扇形的弧长面积公式判断B项；举反例可判断C项；确定内层函数的值域，再结合外层三角函数的单调性分别求出两个函数的值域，可判断D项.
解答过程：对于A，因，即与的终边相同，故是第三象限角，即A正确；
对于B，依题意，该扇形的弧长为，面积为，故B正确；
对于C ，举反例：取，，二者都是第二象限角，满足，
但，不满足，C错误；
对于D ，求值域：对：，因此，值域包含负数；
对：，因此，值域全为正数， 二者值域不同，D错误.
10. 在中，角，，所对的边分别为，，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，，则三角形有两解
B. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为
C. 若，，则的取值范围为
D. 若的外心为，且，，则.
答案：ACD
解析：
思路：根据题意求，可得，即可判断A；对于B，利用向量的数量积公式求解即可；利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式及正切函数性质求解判断C；对于D，根据，，化简即可求解.
解答过程：对于选项A：由题意可得：，因，所以三角形有两解，故A正确；
对于B：因为向量，，若与的夹角为锐角，则，即，解得：或，故B不正确；
对于选项C：因为，则，
可得，即，
由正弦定理得，
所以的取值范围为，故C正确；
对于D，取的中点，则，
所以，
同理可得，
所以，故D正确
11. 已知函数的部分图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A. 的值为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 若函数恰有4条对称轴和3个零点落在区间内，则实数的取值范围是
D. 若方程（，且）在内至少有3个不同的根，则实数的取值范围是
答案：ACD
解析：
思路：A选项，根据得到；B选项，由得到，再由得到，进而得到，，的图象不关于直线对称，B错误；C选项，整体法得到，得到C正确；D选项，先考虑临界情况，再得到的取值范围.
解答过程：对于A选项，由题意得，即，，
且在附近单调递增，又，故，A正确；
对于B选项，由题意得，
又，故，解得，
又，且函数在附近单调递增，
即，，
解得，
因为，故，解得，
又，故，所以，
，故，
所以的图象不关于直线对称，B错误；
对于C选项，，，
若函数恰有4条对称轴和3个零点落在区间内，则，
解得，C正确；
对于D选项，由于，
由于，且，在的基础上，纵坐标不变，横坐标伸缩为原来的，
要想方程（，且）在内至少有3个不同的根，
先考虑临界情况，如图，
此时（，且）在内有2个不同的根，
且满足时，成立，
即，
结合图象的单调性，可知，
解得，
当时，纵坐标不变，横坐标进一步进行缩短，此时满足
方程（，且）在内至少有3个不同的根，
实数的取值范围是，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知函数的单调递增区间为，则函数的最小正周期为___________.
答案：##
解析：
思路：运用正切型函数的单调性得到，再根据正弦型函数的周期计算即可.
解答过程：令，得，
又的单调递增区间为，所以，
于是，其最小正周期.
故答案为.
13. 已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是______．
答案：
解析：
思路：根据数量积的运算律求得，，根据投影向量的概念求解即可.
解答过程：，，
因为，所以，
解得．所以，，
所以在方向上的投影向量的坐标为．
14. 已知，．则的取值范围是______．
答案：
解析：
思路：将化成关于的二次函数形式后，由题意可得，，则可得位于第一象限，结合三角恒等变换可得对称轴在区间内，即可得其，解出后与位于第一象限取交集即可得.
解答过程：令
，
则，，
故，则，，
对称轴为
，
令，则，
故，
又，故使得最小的在区间内，
故对，
有，
即有，则，
即，又，
取交集可得.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点．
（1）求的值．
（2）若，求的值．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据任意角的三角函数定义求出，，根据诱导公式进行化简，代入求值即可.
（2）根据诱导公式求解即可.
（1）角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点，则，
所以，．
所以
．
（2）由于，
，
所以．
16. 已知，，且，求：
（1）的值；
（2）的值；
（3）的值．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
（1）且，．
（2）且，，
又，，又，
，．
（3）由（1）（2）知，，
，
又，．
17. 在中，角所对的边分别是，且.
（1）求；
（2）若是边上靠近的三等分点，，，求的面积；
（3）若是的角平分线，，，求的长.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换得，再根据三角函数性质即可求得；
（2）由题意，进而根据向量模的关系求得，再计算面积即可；
（3）根据题意，结合得，再根据余弦定理求解即可.
（1）解：因为，
由正弦定理可得，
所以，
所以，
又因为，所以，
所以，又因为，所以，
所以，故；
（2）解：因为是边上靠近的三等分点，
所以，
所以，
又因为，，，
所以，化简得，
即，解得或（舍去），
所以；
（3）解：已知平分，且，故，
由 得；
将 ，代入得 ，解得
∵
∴
18. 已知函数.
（1）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不相等的实数根，，求的值.
（2）设，若方程在上有解，求实数的取值范围.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据函数图象平移和伸缩变换的规则，先平移再伸缩，得到的表达式，由，结合的取值范围，分析方程根的情况，利用三角函数的对称性找到​与的关系，再代入求解。
（2）先求出的表达式，再结合，将方程进行变形，利用换元法将方程转化为关于的方程，结合的范围确定的取值范围，进而求出的取值范围
（1），
将函数的图象向左平移个单位长度
得
函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变得，
即
由已知在上有两个不相等的实数根，，
当时，，设，，
可知在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
，即，
那么，
因为，所以，
所以，
所以.
（2）方程在上有解，
，
所以方程变为，
即方程在上有解，
设，则，所以，
因为上，所以，则，
则原方程可化为在上有解，
由题知，，故方程可化为在上有解，
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，所以，
所以，故，故实数的取值范围为.
19. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．
（1）在仿射坐标系中，若，求；
（2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；
（3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值．
答案：（1）1 （2）
（3）解析：
思路：（1）由题设且、的夹角为，应用向量数量积的定义和运算律求向量模长；
（2）由题设，，且，应用向量数量积的运算律求的数量积和模长，再由夹角公式求夹角余弦值，即可得；
（3）设、，且，，，进而有、，可得，在中应用正余弦定理及三角恒等变换化简并求出的最大值.
（1）由题意可知，、的夹角为，
由平面向量数量积的定义可得，
因为，则，
则，
所以.
（2）由，，得，，
且，
所以，，
则，
，
因为与的夹角为，所以，解得.
又，，所以；
（3）依题意，设、，且，，，
因为为的中点，则
，
因为为中点，同理可得，
所以，
由题意知，，
则，
在中，依据余弦定理得，所以，
代入上式得，.
在中，由正弦定理得，
设，则，且，
所以，，
，为锐角，且，
因为，则，
故当时，取最大值，
则.