初中数学华东师大版（2024）九年级上册（2024）1. 直接开平方法和因式分解法集体备课ppt课件

这是一份初中数学华东师大版（2024）九年级上册（2024）1. 直接开平方法和因式分解法集体备课ppt课件，共32页。PPT课件主要包含了学习目标，情境导入，平方根的概念，①提公因式法，x1-1x22，②公式法，平方差公式，完全平方差公式，知识讲解，试一试等内容，欢迎下载使用。
1.会用直接开平方法解形如x2=p或（x+n）2=p的方程.（重点）2.灵活运用因式分解法解简单的一元二次方程.（难点）3.了解转化、降次思想在解方程中的应用.
2.（1）什么是因式分解？
如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的平方根，即x2=a，x叫做a的平方根.
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解.
（2）因式分解有哪些方法？
3.说出方程(x+1)(x-2)=0的解.
ma+mb+mc=m(a+b+c)
a2-b2=(a+b)(a-b)
知识点1 直接开平方法和因式分解法的概念
解下列方程：（1）x2=4； （2）x2-1=0.
对于题（1），有这样的解法：
方程 x2=4
意味着x是4的平方根，所以
即 x=±2.
这里得到了方程的两个根，通常也表示成x1=2，x2=-2.这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
对于题（2），有这样的解法：
将方程左边用平方差公式分解因式，得
(x-1)(x+1)=0，
x-1=0或x+1=0.
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
分别解这两个一元一次方程，得
x1=1，x2=-1.
知识点2 解形如x2=p或x2-p=0（p≥0）的方程
（1）方程x2=4能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将方程化成什么形式？
可以，应将方程化成x2-4=0的形式.
（2）方程x2-1=0能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将方程化成什么形式？
可以，应将方程化成x2=1的形式.
试用两种方法解方程： x2-900=0.
直接开平方法：移项，得x2=900.直接开平方，得x=±30.即x1=30，x2=-30.
因式分解法：方程左边分解因式，得(x+30)(x-30)=0.所以x-30=0或x+30=0.得x1=30，x2=-30.
解下列方程：（1）x2-2=0； （2）16x2-25=0.
知识点3 用提公因式法解一元二次方程
解下列方程：（1）3x2+2x=0； （2）5x(x-3)-10(x-3)=0.
（2）方程左边分解因式，得5(x-3)(x-2)=0.所以x-3=0或x-2=0.得x1=3，x2=3.
试写出一个一元二次方程，要求它的两根为x1=2，x2=3.
(x-2)(x-3)=0.
符合条件的方程只有一个吗？如果还要求方程的二次项系数为5，符合条件的方程是什么？
5(x-2)(x-3)=0.
想一想：因式分解法解方程的依据是什么？
(x-1)(x+1)=0
x-1=0或x+1=0
由乘积等于零，得到两个因式中至少有一个等于零，从而将一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程求解.
如果ab=0，那么必有a=0或b=0.
解下列方程：（1）x2=169； （2）45-x2=0； （3）12y2-25=0；
解:（1）直接开平方，得 x=±13.即 x1=13，x2=-13.
解下列方程：（3）x2-2x=0； （4）(t-2)(t+1)=0； （5）x(x+1)-5x=0.
（3）方程左边因式分解，得 x(x-2)=0.所以 x=0或x-2=0.得 x1=0，x2=2.
（4）t-2=0或t+1=0.得 t1=2，t2=-1.
（2）方程左边分解因式，得 x[(x+1)-5]=0.即 x(x-4)=0.所以 x=0或x-4=0.得 x1=0，x2=4.
知识点4 解形如q（mx+n）2=p（m≠0，p≥0）的方程
解下列方程：（1）(x+1)2-4=0； （2）12(2-x)2-9=0.
( )2=a(a≥0)
解：（1）原方程可以变形为 (x+1)2=4.直接开平方，得 x+1=±2.所以 x1=1，x2=-3.
你是这样解的吗？还有其他解法吗？
q（mx+n）2=p（pq≥0，q≠0，m≠0）
方程两边都除以系数后开方降次
小张和小林一起解方程x(3x+2)-6(3x+2)=0.
小亮的解法是这样的：移项，得 x(3x+2)=6(3x+2)，方程两边都除以(3x+2)，得 x=6.
小亮的解法不对，方程两边都除以(3x+2)要在3x+2≠0的情况下，如果不能确定3x+2是否等于零，便不能轻易都除以(3x+2).
所以，在解方程时应注意，方程两边都约去含未知数的代数式易丢根.
将2x2-3x-2进行因式分解，我们可以把二次项分解成两个因式的积，再把常数项分解成两个因数的积，通过交叉相乘，使积的和等于一次项 . 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法.
适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式
(x+k)(x-k)=0
x2±2ax+a2=0
x2-(p+q)x+pq=0
(x-p)(x-q)=0
解下列方程：（1）(x+2)2-16=0； （2）3(2x-1)2-27=0；（3）(x+1)2=5x+5； （4）(x-2)(2x-3)=6.
解:（1）原方程可以变形为(x+2)2=16.直接开平方，得x+2=±4.所以x1=2，x2=-6.
（2）原方程可以变形为(2x-1)2=9.直接开平方，得2x-1=±3.所以x1=2，x2=-1.
（3）原方程可以变形为(x+1)2-5(x+1)=0.方程左边因式分解，得(x+1)(x+1-5)=0.所以x1=-1，x2=4.
（4）原方程可以变形为2x2-7x=0.方程左边因式分解，得x(2x-7)=0.所以x1=0，x2=3.5.
D. (2x + 3)2 = 25，解方程，得 2x + 3 =±5，x1=1，x2=−4
1. 下列解方程的过程中，正确的是 （ ）
B. (x − 2)2 = 4，解方程，得 x − 2 = 2，x = 4
2. (x-2)(x+3)=0的解是 （ ）A. x=2 B. x=-3　　　C. x1=-2，x2=3 D. x1=2，x2=-3
3．解方程9(x+1)2-4(x-1)2=0的正确解法是 （ ）A. 直接开平方得3(x+1)=2(x-1)B. 化为一般形式为13x2+5=0C. 分解因式得[3(x+1)+2(x-1)][3(x+1)-2(x-1)]=0D. 直接得x+1=0或x-1=0
4.对于方程x2=m-1.（1）若方程有两个不相等的实数根，则m______；（2）若方程有两个相等的实数根，则m_____；（3）若方程无实数根，则m_____．
5.用适当的方法解下列方程：（1）(x-3)2-25=0； （2）x(x-2)+x-2=0；（3）3x2-12x=-12； （4）(5x+1)2=1.
解:（1）原方程可以变形为(x-3)2=25.直接开平方，得x-3=±5.所以x1=8，x2=-2.
（2）方程左边因式分解，得(x-2)(x+1)=0.所以x-2=0或x+1=0.得x1=2，x2=-1.
（3）原方程整理，得x2-4x+4=0.方程左边因式分解，得(x-2)2=0.所以x1=x2=2.
1.像x2=a(a≥0)这样的一元二次方程，可以利用平方根的定义来求解，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
2.使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.