初中数学华东师大版（2024）九年级上册（2024）1. 直接开平方法和因式分解法备课ppt课件

这是一份初中数学华东师大版（2024）九年级上册（2024）1. 直接开平方法和因式分解法备课ppt课件，共27页。PPT课件主要包含了解下列方程，1移项得，x2900，直接开平方得，x±30，解设这个数是x，总结归纳等内容，欢迎下载使用。
1．我们已经学过了用什么方法解一元二次方程？
2．请用已学过的方法解方程：9x2－25＝0.
3．对于此方程，你还有其他的解法吗？
[(3x＋5)(3x－5)＝0]
（2）x2 – 1 = 0.
利用因式分解的方法解方程，这种方法叫做因式分解法.
对于教材P20题（2）x2 – 1 = 0,有这样的解法：
将方程左边用平方差公式分解因式，得
(x – 1)(x + 1) = 0
x – 1 = 0 或 x + 1 = 0
分别解这两个一元一次方程，得
x1 = 1 ，x2 = – 1.
试用两种方法解方程：x2 – 900 = 0.
∴x1 = 30，x2 = – 30.
（2）左边因式分解，得
x + 30 = 0或x – 30 = 0，
得 x1 = 30，x2 = – 30.
(x + 30)(x – 30)= 0，
例2 解下列方程：（1）3x2 + 2x = 0；（2）5x(x -3) -10(x -3)=0.
（1）方程左边分解因式，得
x(3x + 2) = 0.
所以 x = 0 或 3x + 2 = 0.
（2）方程左边分解因式，得5(x-3)(x -2)=0.
（2）5x(x -3) -10(x -3)=0
所以 x -3= 0 或 x – 2 = 0.
得 x1 = 3，x2 = 2.
试写出一个一元二次方程，要求它的两根为x1=2，x2=3.符合条件的方程只有一个吗?如果还要求方程的二次项系数为5，符合条件的方程是什么?
一个数的平方与这个数的4倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
根据题意，我们可列方程：x2－4x＝0，
方程左边因式分解，得x(x－4)＝0，
所以x＝0或x－4＝0，
得x1＝0，x2＝4.
当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解．这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法．
范例：解下列方程：(1)x2－3x＝0； (2)(2x－1)2＝(x＋1)2.
解：(1)方程左边分解因式，得x(x－3)＝0.
(2)移项，得(2x－1)2－(x＋1)2＝0.
∴x＝0或x－3＝0，得x1＝0，x2＝3.
方程左边分解因式，得(2x－1＋x＋1)(2x－1－x－1)＝0.
∴2x－1＋x＋1＝0或2x－1－x－1＝0，得x1＝0，x2＝2.
仿例：解下列方程：(1)x－1＝(x－1)(x＋3)；　　　
解：移项，得(x－1)－(x－1)(x＋3)＝0.
方程左边分解因式，得(x－1)[1－(x＋3)]＝0，
∴x－1＝0或1－(x＋3)＝0，得x1＝1，x2＝－2.
(2)x(x－2)＋2x－4＝0.
解：变形，得x(x－2)＋2(x－2)＝0.
方程左边分解因式，得(x－2)(x＋2)＝0.
∴x－2＝0或x＋2＝0，得x1＝2，x2＝－2.
在解一元二次方程时，有时会遇到解法选择的问题，这时就要看谁更为简捷了．
例3 解下列方程：（1）(x + 1)2 – 4 = 0；（2）12(2 – x)2 – 9 = 0.
分析 两个方程都可以通过简单的变形，化为( )2 = a (a ≥ 0)的形式，用直接开平方法求解.
(x + 1)2 = 4.
（1）原方程可以变形为
x + 1 = ±2.
所以 x1 = 1，x2 = – 3.
（2）原方程可以变形为_______________________.直接开平方，得_______________________.所以 x1 = ________，x2 = ________.
小明和小亮一起解方程 x(3x + 2) – 6(3x + 2) = 0.小明将方程左边分解因式，得 (3x + 2)(x – 6) = 0，所以 3x + 2 = 0 或 x – 6 = 0.得
小亮的解法是这样的：移项，得 x(3x + 2) = 6(3x + 2)，方程两边都除以 (3x + 2)，得 x = 6.
3x + 2 可能为 0.
仿例：解下列方程：(1)4(x＋1)2－25＝0；(2)(2x－1)2＝(x＋1)2.
解：(1)移项，得4(x＋1)2＝25.
直接开平方法和因式分解法,在解一元二次方程时，有时会遇到解法选择的问题，这时就要看谁更为简捷了．
1.用因数分解法解下列方程：(1)x2-2x =0;(2) (t-2)(t + 1)=0;(3)x(x + 1) - 5x =0.
解：(1)提取公因式x，得x(x−2)=0.
∴x=0或x−2=0，解得x1​=0, x2​=2.
(2) 由题意可得，t−2=0或t+1=0
解得t1 ​=2,  t2​=−1.
(3) 整理式子可得，x2-4x =0
提取公因式x，得x(x−4)=0.
可得x=0或x−4=0
解得x1 ​=0,  x2​=1.
解下列方程:(1)(x+2)2-16=0; (2) (2x + 3)2-25 =0;(3) 4(1 -3x)2 =1; (4)3(x -1)2-18=0.
解：(1)移项，得(x+2)2=16.
直接开平方法，得x+2=±4.
解得，x1​=2, x2​=－6.
(2)移项，得(2x + 3)2 =25.
直接开平方法，得2x+3=±5.
解得，x1​=1, x2​=－4.