新高考数学二轮复习重难点培优专练第3章02 不等式及函数中的恒成立和有解问题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习重难点培优专练第3章02 不等式及函数中的恒成立和有解问题（2份，原卷版+解析版），共25页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 3
\l "_Tc16555" 题型一 一元二次不等式在实数集和区间上的恒成立问题（★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 3
\l "_Tc7141" 题型二 一元二次不等式在实数集和区间上的有解问题 （★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 4
\l "_Tc26803" 题型三 基本不等式中的恒成立和有解问题（★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 5
\l "_Tc13512" 题型四 函数不等式的恒成立和有解问题（★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 5
\l "_Tc3897" 题型五 导数中单变量恒（能）成立问题（★★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 6
\l "_Tc326" 题型六 导数中双变量恒（能）成立问题（★★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 8
\l "_Tc11957" 题型七 导数中双函数恒（能）成立问题（★★★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 9
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 10
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 10
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 13
1、设函数的值域为或，或或中之一种，则
①若恒成立（即无解），则；
②若恒成立（即无解），则；
③若有解（即存在使得成立），则；
④若有解（即存在使得成立），则；
⑤若有解（即无解），则；
⑥若无解（即有解），则．
注：（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．
（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍）
2、分离参数的方法
①常规法分离参数：如；
②倒数法分离参数：如；
【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】
③讨论法分离参数：如:
④整体法分离参数：如；
⑤不完全分离参数法：如；
⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．
3、其他恒成立类型一
①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．
②在 上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．
③在上是单调函数，则分上述两种情形讨论；(常用方法)
4、其他恒成立类型二
①，使得方程成立．
②，使得方程成．
5、其他恒成立类型三
①，；
②，；
③，；
④，．


题型一 一元二次不等式在实数集和区间上的恒成立问题
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“”是真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·湖南长沙·月考）命题：，为真的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
3．若对，恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·山东·二模）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ．
5．已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是 ．
6．（23-24高三上·河南信阳·月考）若对于恒成立，则实数x的取值范围为 ．

题型二 一元二次不等式在实数集和区间上的有解问题
【技巧通法·提分快招】
1．（23-24高三上·福建龙岩·月考）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高三上·安徽池州·期中）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为M.若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知，，满足不等式，则实数m的取值范围是 .
5．（23-24高三上·浙江台州·月考）已知不等式在上有解，则实数的取值范围是 .
6．（24-25高三上·浙江温州·期中）若关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是 ．

题型三 基本不等式中的恒成立和有解问题
1．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三下·重庆·月考）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．或
C．D．或
4．若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
5．（24-25高三上·上海·期中）若对任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
6．（24-25高三上·湖南长沙·月考）已知，，，且恒成立，则的取值范围是 .
7．已知，是正实数，且关于，的方程有解，则实数的取值范围是 .

题型四 函数不等式的恒成立和有解问题
1．（24-25高三上·上海长宁·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·广东·期末）对任意的,（且）恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．若不等式（，且）在内恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若，使得成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数，对，，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高三上·江苏·期中）已知奇函数的定义域为，且在上单调递增．若存在，使得，则（ ）
A．B．C．D．

题型五 导数中单变量恒（能）成立问题
【技巧通法·提分快招】
1．若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知函数，若对，，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．若对任意的，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·河南·二模）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2025·湖南长沙·三模）若函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·河南·模拟预测）已知函数的图象经过两点，且的图象在处的切线互相垂直，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设函数，若有且仅有2个整数解，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是 ．
10．（2025·湖南长沙·一模）不等式对任意成立，则实数的取值范围是 .

题型六 导数中双变量恒（能）成立问题
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三上·江苏·期末）已知实数x，y满足，则下列关系一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·山西晋中·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三下·重庆·月考）函数，若恒成立，则的最小值为（ ）
A．0B．1C．D．e
4．（24-25高三下·云南·月考）已知函数，，，则（ ）
A．B．C．4D．16
5．（2024·江西吉安·模拟预测）若，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高三下·陕西安康·月考）若，对，，则实数m的取值范围是 ．
7．（23-24高三上·江苏镇江·开学考试）已知函数，若，，使得成立，则实数的取值范围为 .
8．（2024·湖北黄冈·模拟预测）若存在两个不等的正实数，，使得成立，则实数的取值范围为 .

题型七 导数中双函数恒（能）成立问题
【技巧通法·提分快招】
1．（23-24高三上·江苏南通·月考）函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025高三下·辽宁沈阳·月考）已知函数，．若不等式在恒成立，则的最小值是（ ）
A．1B．C．D．
3．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知函数，，当时，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，，若，，使得成立，则实数a的取值范围是 ．
6．（2024·浙江·模拟预测）已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是 .

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（24-25高三上·山东济宁·月考）设，若恒成立，则k的最大值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
2．若存在正实数x，y满足，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．若，为真命题，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高三上·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．3C．D．6
5．（23-24高三上·辽宁·月考）若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．或
C．D．或
6．（2024·云南昆明·一模）“曲线恒在直线的上方”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
7．（24-25高三上·吉林四平·期中）已知函数，.若“，，使得成立”为真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数．若在上有解，则当实数取最小值时，的最大值为（ ）
A．B．C．0D．
9．若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10若函数在上存在单调递增区间，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．（24-25高三下·山西·开学考试）已知函数，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
12．（23-24高三下·山东德州·月考）已知函数，，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
13．（23-24高三上·重庆·期中）若关于x的不等式 的解集中恰有三个整数解，则整数a的取值是（ ）(参考数据:ln2≈0.6931， ln3≈1.0986)
A．4B．5C．6D．7
14．（2025·天津红桥·二模）已知向量是夹角为60°的单位向量，若对任意的 且 则取值范围是（ ）
A．B．C．D．
15．（24-25高三上·甘肃白银·期末）若存在，使得成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．
16．（2025·贵州黔南·模拟预测）设函数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
17．（2025·安徽·模拟预测）已知函数和，若存在实数，使得，则的最小值为（ ）
A．-eB．-1C．D．
18．（2025·辽宁大连·三模）已知，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
19．（2024·重庆·模拟预测）已知函数，若存在使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
20．已知函数（，），，若对，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
21．（24-25高三上·辽宁·月考）已知函数，，若对任意，，使得恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
22．若函数中的取值范围为R，则的取值范围是 ．
23．（24-25高三上·上海嘉定·月考）若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为 .
24．（24-25高三上·江西宜春·月考）若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是 .
25．（24-25高三下·重庆·月考）已知，关于x的不等式在上恒成立，则a的最小值为 ．
26．（2025·湖南益阳·三模）设实数，，使成立，则实数α的取值范围 ．
27．（2025·河南·三模）已知函数，其中e为自然对数的底数，当时，恒成立，则实数a的取值范围为 ．
28．（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是 .
29．（24-25高三上·上海·月考）已知函数，若关于的不等式有且仅有一个正整数解，则实数的取值范围是 ．
30．（2025·云南曲靖·一模）已知，函数，若，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是 ．

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（24-25高三下·江苏南京·月考）已知函数，，当时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三下·湖北武汉·期末）设函数，若存在实数，使得，则的最小值为（ ）
A．B．2C．1D．
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·吉林长春·期末）若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·河北秦皇岛·一模）若存在正实数，使得，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围是 ．
8．（2025·陕西咸阳·二模）已知方程的两根为，（），若，不等式对任意的，恒成立，则正实数m的最小值为 .
一、一元二次不等式在实数集上的恒成立
1、不等式对任意实数恒成立⇔或
2、不等式对任意实数恒成立⇔或
注：对于二次不等式恒成立问题，
恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；
恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方．
二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法
方法一：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，
可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值（或范围）；
方法二：转化为函数范围问题，即已知函数的范围为，
则恒成立⇒，即；恒成立⇒，即．
三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；
一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．
即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．
1、若存在，有解⇒；
若对任意，无解⇒．
2、若存在，有解⇒；
若对任意，无解⇒．
1、分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．
③求最值.
2、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．
3、等价转化法
当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
双变量问题与值域关系
1、第1类.“任意=存在”型
，使得,等价于函数在上上的值域是函数在上的值域的子集,即.
其等价转化的基本思想:函数的任意一个函数值都与函数的某一个函数值相等,即的函数值都在的值域之中.此类型出现频率最高.
2、第2类.“存在=存在”型
，使得，等价于函数在上的值域与函数在上的值域的交集不为空集,即.
其等价转化的基本思想:两个函数有相等的函数值,即它们的值域有公共部分.
3、第3类.“任意≥(≤、>、