新高考数学二轮复习高分突破训练第10讲 不等式的恒成立与有解问题（2份，原卷版+解析版）

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1.对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2.最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作：
① 观察函数的零点是否便于猜出（注意边界点的值）
② 缩小参数与自变量的范围：
通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围，观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围
3.参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式）
（1）若的值域为
①，则只需要
，则只需要
②，则只需要
，则只需要
③，则只需要
，则只需要
④，则只需要
，则只需要
4.多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理
（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。
（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可。
典型例题：
例1．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高三开学考试）已知函数，其中．
(1)求的单调区间；
(2)请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择．如果多写按第一个计分．
①若对任意，不等式恒成立，求的最小整数值；
②若存在，使得不等式成立，求的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；
(2)① 1；②.
【解析】
【分析】
(1)求函数的定义域并求出导数，解不等式和即可作答.
(2)选①，由给定不等式分离参数并构造函数，探求函数的最大值即可得解；
选②，由给定不等式变形，构造函数，借助导数分类讨论有解即可.
(1)
的定义域为，，令，得，
由，解得，由，解得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)
选择①：
当时，恒成立，即恒成立，令，，则，
令，则，即函数单调递减，
而，，则在区间上存在一个零点，
使得，即，
当时，，则，函数单调递增，当时，，即，函数单调递减，
于是得有最大值，，
依题意有，又，
所以的最小整数值是1．
选择②：
不等式，即，设，依题意，存在，，
而，，
当时，在上恒成立，不满足题意，
当时，方程的判别式，
即在上恒成立，则在上单调递增，，在上恒成立，不满足题意，
当时，令，得，，
由和得，则当时，，在上单调递减，此时，
因此，当时，存在，使得不等式成立，
所以满足题意的的取值范围为．
【点睛】
关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.
例2．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数，其中e是自然对数的底数.
(1)当a=e时，求f(x)的最小值；
(2)讨论的零点个数；
(3)若存在x∈（0，+∞），使得成立，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)详见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用导函数即求；
（2）由可得，分类讨论，利用导函数求函数最值，结合零点存在定理即得；
（3）由题可得在上有解，利用函数的导数求函数最小值即得.
(1)
当a=e时，，
∴，令，得，
∴当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
∴.
(2)
∵，
令得，，
当时，，无零点，
当时，令，则，
令，得，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
∴，
当，即时，，函数在上无零点，
当，即时，，函数在上有唯一零点，
当，即时，，又，
∴函数在，上各有一个零点，
综上，当时，函数在上无零点，当时，函数在上有唯一零点，当时，函数在上有两个零点.
(3)
由得，，
∴，即，
令，则在上有解，
令，当时，，不合题意；
当时，则 ，令得，当时，单调递减，当时，单调递增，
∴，
∴，即，
∴即a的取值范围为.
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，判断函数的单调性；
(2)证明：当时，不等式恒成立.
【答案】(1)在递增
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先求导数，通过构造函数，求导，判断的符号，从而可得答案；
（2）先根据导数的单调性和零点，确定函数只有一个最小值点，利用虚设零点的方法可求的最小值大于1，从而得证.
(1)
的定义域是，
，
令，
时，，，所以为增函数，；
故，在递增.
(2)
证明：由（1）得在上单调递增；
，，
故，，使得，
因为在上递增，所以是的唯一极小值点，也是最小值点，
从而，，，
，，
因为在，上递减，
所以，
即在恒成立；
故不等式恒成立.
【点睛】
利用导数证明不等式的主要方法有：构造新函数函数，求解新函数的最值，也常利用二次导数或者虚设零点的方法来协助完成.
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式对一切都成立，求的最小值
【答案】．
【解析】
【分析】
令，利用导数得出，令，由导数得出其最小值，进而得出的最小值.
【详解】
解：令，则，
若，则恒成立，时函数递增，无最值．
若，由得：，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
则处取得极大值，也为最大值，
，
，
，令，
，
上，，，上，，
，．
的最小值为．
【点睛】
关键点睛：本题中由导数得出对一切都成立，然后将不等式的恒成立问题转化为求的最值问题，从而得出的范围.
过关练习：
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，若，，求的最小值
【答案】
【解析】
【分析】
分析可知在上恒成立，可知，令，，求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，可得出当时，，构造函数，利用导数求得函数的最小值，即可得解.
【详解】
解：由题意可得在恒成立，由题意可知，.
即在上恒成立，
令，，.
①当时，对任意的恒成立，故函数在上单调递减，
，此时在上不恒成立；
②当时，由，可得，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，
可得，所以，，
令，其中，则.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，因此的最小值为.
2．（2022·四川成都·高三阶段练习（理））已知函数．
(1)若，求的值域；
(2)若，求实数的取值集合．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，判断函数单调性，求出函数在时的极值，可得答案;
（2）将，并由此构造函数
，根据题意可判断为其最小值，由此判断1为的极值点，因此可求得得或，再分别证明在或 时满足题意，则可得答案.
(1)
，
时，的单调性和极值情况如下表：
所以，的值域为．
(2)
， ，
即，
设，
则，
∵在内，且，
∴，则1为的极值点，
∴，即，解得或．
当时，，
设，
则，
∴在内为减函数；在内为增函数，
∴，则，故成立．
当时，，
设，
则
，
设，则．
当时，为减函数；当时，为增函数．
∴（当且仅当时等于0）．
设，则，
故在内为增函数，且．
所以，当时，；当时，，
于是，当时，为减函数；时，为增函数，
∴，故成立．
综上所述，a的取值集合为．
【点睛】
本题考查了导数的应用，利用导数判断函数的单调性以及求极值最值问题，考查了利用导数解决不等式成立时求参数的值的问题，综合性较强，计算量很大；解答的关键是合理的变形，从而构造新函数，利用导数解决问题.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)讨论函数零点的个数；
(3)对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)当时，单调递增区间为，无递减区间；当时，的递增区间为，递减区间为.
(2)当时，函数零点的个数为0；
当时，函数零点的个数为2；
当或时，函数零点的个数为1；
(3).
【解析】
【分析】
（1）先求定义域，对a进行分类讨论，求解单调区间；（2）参变分离，研究，的单调性即极值，最值，数形结合分类讨论出函数零点的个数；（3）参变分离，构造函数，求其单调性，最终求出极值，最值，求得实数的取值范围.
(1)
的定义域是，，
①时，，在递增，
②时，令，解得：，令，解得：，
故在递增，在递减；
综上：当时，单调递增区间为，无递减区间；当时，的递增区间为，递减区间为.
(2)
函数，
由，可得，，
设，，
，
当时，，递减；
当时，，递增，
可得处取得最大值1，如图所示：

当或，即或时，直线与有一个交点，
当即时，直线与有两个交点，
当即时，直线与没有交点，
综上可得，当时，函数零点的个数为0；
当时，函数零点的个数为2；
当或时，函数零点的个数为1；
(3)
任意的，恒成立，
即为恒成立，
设，
设，，
，
设的根为，即有，，，递增；
时，，，递减，
可得处取得最小值，
由，
可得恒成立，即有，
则，即的范围是，．
【点睛】
通过构造函数求参数取值范围问题，是非常重要的方法，构造函数时要结合函数特征进行构造，本题中就是利用求导后导函数要能进行因式分解，故在函数后减去2，大大减轻了思考量，对于这类题目要总结出一般的构造思路.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围
【答案】
【解析】
【分析】
转化为，对于任意恒成立，令，，由求解.
【详解】
解：由不等式对于任意恒成立，
可得，对于任意恒成立，
令，，
则由题意可得，
令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减．
故，即恒成立，当时取等号，
又，
当时取等号，即，
令，则，
易得函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，，当时，且（1），
由（e），即与的图像有交点，
所以等号成立，
所以．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，其中
(1)若，其函数在,的值域；
(2)若对任意的，恒成立，求正实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)，.
【解析】
【分析】
（1）由题设得，对其求导，并根据的单调性判断其在,上符号，即可得的单调性，进而求区间值域.
（2）构造并求导函数，利用导数研究的单调性、的零点，可得使且，进而由恒成立求正实数的取值范围．
(1)
时，，则，又在,上均递增，
所以，故在,上是增函数，则，，
所以在,的值域为.
(2)
令，，；
则，令，则，
故在上是增函数，又，且当趋向于正无穷时，趋于正无穷大；
，使；
当时，即，故在上单调递减；
当,时，即，故在,上单调递增；
①，
由得：，故②，代入①得：；
所以问题可转化为，又，
，又，解得：，
由②得：，易知在,上是增函数，故；
所以，故正实数的取值范围为，．
【点睛】
关键点点睛：第二问，通过构造中间函数研究的最值，以及零点并由在上恒成立求零点的区间，进而求参数范围.
6．（2022·全国·高三专题练习）设．
(1)求的最小值；
(2)若对任意的，都有成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)，
【解析】
【分析】
（1）求导，令求解；
（2）令，求导，分，求解.
(1)
解：，
，解得，
，
令，得，即 ，
当时，；当，时，．
时，．
(2)
令，
则，
令，解得，
当时，对所有，，所以在，上是增函数，
又，所以对，都有，
即当时，对于所有，都有．
当时，对于，，所以在是减函数，
又，所以对，都有，
即当时，不是对所有的，都有成立．
综上：的取值范围是，．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中为自然对数的底数，为常数．
(1)若对函数存在极小值，且极小值为0，求的值；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2),.
【解析】
【分析】
（1）由题设得，讨论、判断的单调性，结合的极值情况求的值即可.
（2）由题设知恒成立，构造，利用导数并结合分类讨论的方法研究的单调性及最值，即可求a的范围.
(1)
由题设，，
当时，在上是增函数，从而函数不存在极值，不合题意；
当时，由得：，由得：，
为的极小值点，又，即，
，经验证满足题设.
(2)
不等式，即，
设，则，，
所以时，则为增函数，故．
①，即时，，在时为增函数，
，此时恒成立；
②，即时，存在使得，
从而时，即在,上是减函数，
时有，不合题意．
综上，的取值范围是,．
8．（2022·重庆长寿·高三期末）已知函数，．
(1)若在处与直线相切，求出实数、的值以及的单调区间；
(2)若，是否存在实数，当时，不等式有解？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由．
【答案】(1)，，单调递增为，单调递减为
(2)存在，的取值范围是
【解析】
【分析】
（1）求导，利用导数的几何意义以及切点在曲线上列式计算即可得、的值，再令可得单调区间；
（2）先求出函数和的单调性，再根据可得实数的取值范围.
(1)
，依题意，
，得m＝－1，n＝2，
∴，令，得－2＜x＜1，
又函数的定义域是，
∴函数的单调递增为，单调递减为．
(2)
当n＝2时，，
令，得，又函数的定义域是，
∴函数在上单调递增，在上单调递减．
即函数在上单调递减，
又，令，得0＜x＜e，∴在上单调递增．
当时，不等式有解，
等价于，即，得，．
∴存在m的值符合条件，且m的范围是．
9．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））已知函数.
(1)当时，证明函数在区间上只有一个零点；
(2)若存在，使不等式成立，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【解析】
【分析】
（1）首先求得导函数的解析式，然后讨论函数的单调性，结合函数的性质即可确定函数零点的个数；
（2）首先讨论函数的单调性，然后结合函数的最小值构造新函数，结合构造函数的性质分类讨论即可确定的取值范围．
(1)
证明：当时，，
令，
∴在上为增函数，
∵，
∴，使，
∴当时，；当时，，
因此，在上为减函数，在 上为增函数，
当时，，当时，，
故函数在上只有一个零点．
(2)
解：当时，，由（1）可知，，即，
∴当时，，在上为减函数，当时，，在 上为增函数，
∴，
由，知，
设，则，
∴在上为减函数，
又，
∴当时，，当时，，
∴存在，使不等式成立，此时；
当时，由（1）知，在上为减函数，在上为增函数，
所以，所以不存在，使不等式 成立，
当时，取，即，所以，
所以存在，使不等式 成立，
综上所述，的取值范围是或．
【点睛】
方法点睛：在解决能成立问题时一般是将不等式能成立问题转化为求函数的最值问题，利用能成立；能成立.
10．（2022·黑龙江·哈师大附中高三期末（文））已知函数 ，．
(1)求证： 在定义域内有且只有一个零点；
(2)若存在 ，使得 ，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）依据零点存在性定理去证明即可；
（2）把存在性问题转化为函数在上的最小值不大于，并通过分类讨论和构造新函数的方法去求解即可.
(1)
的定义域为 ，，
令 ，得 ，当 时，， 单调递减；
由于当 时，，所以 在 内无零点；
当 时，， 单调递增，，，
由零点的存在性定理， 在 有零点，且只有一个零点．
(2)
由题意知：只需 ，，
设 ， ，令 ，得 ，
故 在 单调递减， 单调递增，
①若 ，则 在 单减，则只需 ，
即 ，
记 ，，
因为 ，
所以 在 递减，在 递增，
而 ，，
所以 在 恒成立，
又因为 ，
所以 对任意 恒成立．
②若 ，，只需 ，
即 ，解得 ，
综上，．
【点睛】
函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
11．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)已知，若存在时，不等式成立，求的取值范围．
【答案】(1)函数在区间，上均单调递减
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用导数在函数单调性中的应用，即可得到结果；
（2）根据题意，将原不等式转化为，即；再根据（1），可知在单调递减，将原问题转换为在，两边同取自然对数，采用分离参数法可得在上能成立，再利用导数求出函数的最值，即可得到结果.
(1)
解：的定义域为
因为，所以．
令，则，
所以函数在区间单增；在区间单减．
又因为，所以当时，
所以函数在区间，上均单调递减；
(2)
解：
当，时，所求不等式可化为，
即，
易知，
由（1）知，在单调递减，
故只需在上能成立．
两边同取自然对数，得，即在上能成立．
令，则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
，
所以，又，故的取值范围是．
12．（2022·安徽·安庆一中高三期末（理））已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在，使得成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.
（2）根据（1）的结论对进行分类讨论，由，结合构造函数法以及导数来求得的取值范围.
(1)
已知函数，定义域为，
，
①当时，，
在上单调递增，在上单调递减；
②当时，，函数在单调递增；
③当时，，
在上单调递增，在上单调递减.
综上所述，时，在上单调递增，在上单调递减；
时，在单调递增；
时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)
若存在，使得成立，即使得.
由（1），可知当时，在上单调递增，，
不满足；
当时，
，所以，即，
令，∴，
∴在上单调递减，
又∵，由，得.
综上，实数a的取值范围为.
13．（2022·黑龙江·哈九中高三开学考试（文））已知函数．
(1)判断函数的单调性；
(2)已知，若存在时使不等式成立，求的取值范围．
【答案】(1)函数在区间上单调递减；
(2).
【解析】
【分析】
(1)求出函数的导数，判断的符号作答.
(2)对给定不等式作等价变形，借助(1)脱去法则“f”，分离参数构造函数，再求出函数最值作答.
(1)
函数，，求导得：，
令，，则，即函数在区间单调递减，
而，则当时，，即，
所以函数在区间上单调递减.
(2)
当时，，
因且，则，由(1)知，在单调递减，
则存在，不等式成立，
令，则，当时，，当时，，
因此，函数在上单调递增，在上单调递减，，于是得，
所以的取值范围是.
【点睛】
关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，再利用函数的导数探讨解决问题.
14．（2022·安徽马鞍山·一模（文））已知函数（为自然对数的底数）．
(1)若时，求的单调区间；
(2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)
【解析】
【分析】
（1）写出时函数表达式，运用导数与函数单调性的知识进行求解即可；
（2）将存在性问题转化为最值问题，原题即求对任意成立的的取值范围，分类讨论的范围即可求解.
(1)
若时，，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
(2)
由题意可知，即求成立的的取值范围，
因为，，所以，
所以（当且仅当时取等号），
即，即求对任意成立的的取值范围，
当时，，此时在上单调递增，
且有，不满足；
当时，易知，显然成立；
当时，令，得，令，得，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
【点睛】
此类题目需要综合运用导数与函数之间的关系求解，对于任意或存在性问题需要转化为最值问题进行求解.
15．（2022·甘肃靖远·高三期末（文））已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；
(2).
【解析】
【分析】
（1）当时，，得出的定义域并对进行求导，利用导数研究函数的单调性，即可得出的单调区间；
（2）将题意等价于在内有解，设，即在上，函数，对进行求导，令，得出，分类讨论与区间的关系，并利用导数研究函数的单调和最小值，结合，从而得出实数的取值范围.
(1)
解：当时，，可知的定义域为，
则，
可知当时，；当时，；
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)
解：由题可知，存在，使得成立，
等价于在内有解，
可设，即在上，函数，
，
令，即，解得：或（舍去），
当，即时，，在上单调递减，
，得，
又，所以；
当时，即时，，在上单调递增，
，得，不合题意；
当，即时，
则在上单调递减，在上单调递增，
，
，，
，
即，不符合题意；
综上得，实数的取值范围为.
【点睛】
思路点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数解决不等式成立的综合问题：
（1）利用导数解决单调区间问题，应先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错；利用导数解决含有参数的单调性问题，要注意分类讨论和化归思想的应用；
（2）利用导数解决不等式的综合问题的一般步骤是：构造新函数，利用导数研究的单调区间和最值，再进行相应证明.
16．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末（文））已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间内至少存在一个实数x，使得成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据题意，求得，，利用导数的几何意义，即可写出切线方程；
（2）对分离参数，构造函数，利用导数求得其单调性和最值，即可求得参数的范围.
(1)
当时，，，
又，，
故在点处的切线方程为：，
即：.
(2)
因为，若，即，.
令，则，
当，，单调递减，故.
若在区间内至少存在一个实数x，使得成立，
故,
则实数a的取值范围为.
【点睛】
本题考察导数的几何意义，以及利用导数处理不等式能成立问题；本题第二问中，对分离参数，构造是解决本题的关键，属中档题.
x
0
1
2
-
0
+
19
0
减函数
极小值
增函数
6
x
+
0
-
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
x
+
0
-
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
x
-
0
+
递减
极小值
递增