新高考数学二轮复习重难点培优专练第2章04 常见函数与函数中的新定义问题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习重难点培优专练第2章04 常见函数与函数中的新定义问题（2份，原卷版+解析版），共25页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 4
\l "_Tc16555" 题型一 对勾函数（★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 4
\l "_Tc7141" 题型二 反函数（★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 5
\l "_Tc26803" 题型三 高斯函数（★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 6
\l "_Tc13512" 题型四 狄利克雷函数（★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 7
\l "_Tc3897" 题型五 最值函数（★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 8
\l "_Tc326" 题型六 黎曼函数（★★★） PAGEREF _Tc326 \h 9
\l "_Tc11957" 题型七 倍值函数（★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 11
\l "_Tc17557" 题型八 给出其他新性质定义（★★★★★） PAGEREF _Tc17557 \h 12
\l "_Tc28054" 题型九 给出其他新概念定义★★★★★） PAGEREF _Tc28054 \h 14
\l "_Tc8991" 题型十 给出其他新运算定义（★★★★★） PAGEREF _Tc8991 \h 16
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 17
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 17
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 24
1、反函数
（1）定义：一般地，函数，设它的值域为，根据这个函数中的关系，用把表示出来，得到．如果在中的任何取值，通过，在中都有唯一值和它对应，则就表示是关于自变量的函数．这样的函数叫做的反函数，记作．
例如，对数函数(,且)是指数函数(,且)的反函数
（2）性质
①互为反函数的两个函数的图象关于直线对称；
②若函数的图象上有一点，则点必在其反函数的图象上，反之也成立；
③互为反函数的两个函数的单调性相同；
④反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域；
⑤单调函数必有反函数．
2、对勾函数
3、高斯函数
（1）定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数.
（2）性质
①定义域：R；值域：Z.
②不具有单调性、奇偶性、周期性.
（3）图象
4、狄利克雷函数
（1）定义域R；值域{0，1}.
（2）奇偶性：偶函数.
（3）周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期.
（4）无法画出函数的图象，但其图象客观存在.
5、最值函数
设min{a，b}＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≤b，,b，a＞b，))max{a，b}＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≥b，,b，a＜b.))
直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数.
6、倍值函数
对于函数的定义域为，若存在区间，当时，的值域为，则称函数为倍值函数，区间称为函数的“倍值区间”。特别地，当时，函数称为保值函数。此类问题可转化为对应“不动点”、“稳定点”问题，也可以转化为方程同解问题，考察分类讨论、等价转化、属性结合、函数与方程等重要思想方法，综合能力要求较高，属难题。
7、函数中的新定义问题
（1）常见题型
①利用函数中的新定义及相关知识求参数取值范围；
②利用函数中的新定义及相关知识探究问题是否成立.
（2）解决方案
联系所学函数的相关知识和方法解决问题函数中的新定义型问题
（3）常用方法
①理解函数的新定义；②将新定义问题转化为已知问题；③利用函数的性质.
（4）失误与防范
①注意函数的定义域；②注意对结果的检验；③利用方程思想.


题型一 对勾函数
【技巧通法·提分快招】
1．（23-24高三下·天津滨海新·月考）对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·山西·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·河北·一模）函数在上的零点个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
4．（24-25高三上·贵州·期中）（多选题）形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在区间上的最大值比最小值大，则实数a的值可以是（ ）
A．2B．14C．D．
若对勾函数 对于任意的，都有，则实数的最大值为 ．
6．已知函数若对，恒成立，则实数的取值范围为 .

题型二 反函数
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三下·海南省直辖县级单位·月考）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
2．函数的反函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
3．函数的图象与函数的图象（ ）
A．关于直线对称B．关于y轴对称
C．关于x轴对称D．关于原点对称
4．若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·陕西西安·期中）已知函数，，．则下列说法正确的是（ ）
A．函数与函数不互为反函数
B．函数在区间内没有零点
C．若均为正实数，且满足，则
D．若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，则
6．若、分别是函数，的零点，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．

题型三 高斯函数
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三上·湖南常德·开学考试）高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·河南新乡·二模）函数被称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数．若，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个．高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如．若函数有且仅有4个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·四川德阳·月考）（多选题）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令函数，以下结论正确的有（ ）
A．B．为偶函数
C．D．的值域为
5．（24-25高三下·贵州贵阳·月考）（多选题）函数的函数值表示不超过的最大整数，十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，例如：，．则下列命题中正确的是（ ）
A．，
B．对任意整数，有
C．存在正实数，使得对所有成立
D．函数有2个零点
6．（23-24高三下·江西南昌·月考）（多选题）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过的最大整数，则 称为高斯函数，例如 ，. 已知函数 ，函数 ，则下列4个命题中，其中正确结论的选项是（ ）
A．函数 不是周期函数；
B．函数 的值域是
C．函数 的图象关于 对称：
D．方程 只有一个实数根；

题型四 狄利克雷函数
【技巧通法·提分快招】
1．19世纪德国数学家狄利克雷提出一个运用广泛的狄利克雷函数，则 （ ）
A．0B．1C．D．
2．德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（ ）
A．有零点B．是单调函数
C．是奇函数D．是周期函数
3．十九世纪德国数学家狄利克雷提出“狄利克雷函数”，“狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中起着重要作用.已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（24-25高三上·上海·月考）在整个数学当中，一个首要的概念是函数.函数的定义是在数学家的不断研究而得到发展和完善的.德国著名数学家狄利克雷（1803—1859）给出一个数学史上著名的函数实例：，狄利克雷函数具体而深刻地显示了函数是数集到数集的映射这个现代函数的观点.下面给出下列四个结论：①函数是偶函数；②存在常数使得函数是奇函数；③函数有无数个零点；④对任意恒成立.其中，所有正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（23-24高三上·湖北·月考）（多选题）定义在实数集上的函数称为狄利克雷函数．该函数由世纪德国数学家狄利克雷提出，在高等数学的研究中应用广泛．下列有关狄利克雷函数的说法中正确的是（ ）
A．的值域为B．是偶函数
C．存在无理数，使D．对任意有理数，有
6．（23-24高三上·福建莆田·开学考试）（多选题）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数，被称为狄利克雷函数.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．对任意，恒有成立
C．任取一个不为0的实数，对任意实数均成立
D．存在三个点，，，使得为等边三角形

题型五 最值函数
1．（23-24高三上·安徽淮北·期中）已知，其中，若，则正实数t取值范围（ ）
A．或B．或
C．或D．或
2．（23-24高三上·浙江·期中）已知函数，用表示中的较大者，记为，若的最小值为1，则实数的值为（ ）
A．0B．C．D．
3．（24-25高三下·湖北·月考）（多选题）已知表示中的最大者，则下列区间中是函数的单调递增区间的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（多选题）定义，若函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若直线与的图象有个交点，则
D．在区间上的值域为，则的最大值为
5．（24-25高三上·河南漯河·期末）已知函数，用表示函数当自变量时的最大值，表示函数当自变量时的最小值，则 ．
6．（24-25高三上·浙江·月考）已知函数，．
(1)若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围；
(2)用表示实数m，n中的较大者，设函数，讨论函数的零点个数．

题型六 黎曼函数
1．（23-24高三上·河南郑州·期中）已知定义在区间上的黎曼函数为：，若函数是定义在上的奇函数，且对任意的都有，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·北京·期中）黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，它是一个无法用图象表示的特殊函数，此函数在高等数学中有着广泛应用．在的定义为：当（，且p、q为互质的正整数）时，：当或或x为内的无理数时，，下列说法错误的是（ ）
（注：p、q为互质的正整数（），即为已约分的最简真分数）（ ）
A．当时，
B．若，则
C．当时，的图象关于直线对称
D．存在大于1的实数m，使方程（）有实根
3．（多选题）波恩哈德·黎曼是德国著名的数学家，他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．关于的不等式的解集为
4．（多选题）德国数学家黎曼（Ricmann）提出的黎曼函数r（x）在分析学中有着广泛的应用.黎曼函数r（x）的定义为，(p∈N*，q∈Z，q≠0且p，q互素），下列命题中，正确的有（ ）
A．存在常数T > 0，使得对任意的x∈R，都有
B．对任意的x∈R，有
C．存在a，b，a + b∈[0，1]，使得
D．给定正整数t，记S =，则S有个元素
5．（23-24高三上·河北沧州·期中）（多选题）黎曼函数R（x）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，该函数定义在[0，1]上.当（p，q都是正整数，为最简真分数）时，，当或1或x为（0，1）内的无理数时，.若为偶函数，为奇函数，当时，则（ ）
A．
B．
C．
D．

题型七 倍值函数
1．（2024·四川内江·模拟预测）对于函数，若存在区间，当时，的值域为，则称为倍值函数.若是倍值函数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·北京通州·三模）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：在上是单调函数且在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.现有如下四个函数：①，②，③，④.那么上述四个函数中存在“倍值区间”的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（多选题）已知函数的定义域为D，若存在区间[m，n]⊆D使得：
（1）在上是单调函数；
（2）在上的值域是，则称区间为函数的“倍值区间”．
下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）
A．B．
C．D．
4．（多选题）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：（1）在内是单调函数；（2）在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.下列函数：①；②；③；④.其中存在“倍值区间”的序号为 .
5．（24-25高三上·云南·月考）对于定义域的函数，若存在区间，使得当时，函数的值域恰为，则称函数是上的 “倍值函数”，区间叫做“倍值区间”.
(1)已知函数是上的“倍值函数”，求的值；
(2)若函数是“倍值函数”，求的取值范围；
(3)设函数是“倍值函数”，且存在唯一的“倍值区间”，求的值.

题型八 给出其他新性质定义
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·山东菏泽·一模）已知函数，若存在实数，使得对任意的实数x恒成立，则称满足性质，下列说法正确的为（ ）
A．若的周期为1，则满足性质
B．若，则不满足性质
C．若（且）满足性质，则
D．若偶函数满足性质，则图象关于直线对称
2．（2024·北京海淀·二模）设函数的定义域为，对于函数图象上一点，若集合只有1个元素，则称函数具有性质.下列函数中具有性质的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高三上·北京房山·期末）若函数满足：对定义域内任意的，都有，则称函数具有性质.下列函数中不具有性质的是 （ ）
A．B．
C．D．
4．将函数的图象整体沿x轴正方向平移m个单位长度，再沿y轴方向平移个单位长度（时沿y轴正方向平移，时沿y轴负方向平移），得到新函数的图象，若新函数图象与原函数图象重合，称原函数在方向上具有平移不变性．是函数在方向上具有平移不变性的充要条件．例如：在方向上具有平移不变性．
(1)判断以下三个函数是否具有平移不变性，若具有该性质，则直接写出一个平移方向．
①；
②（其中表示不超过x的最大整数）；
③．
(2)已知点关于直线对称的点是，点关于点对称的点是，现函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，当时，．
（ⅰ）求点先关于直线对称再关于点对称的点坐标；
（ⅱ）证明在方向上具有平移不变性；
（ⅲ）求．
5．设是定义在上的函数，若存在正实数，使得对任意的，都有成立，则称函数具有性质．
(1)判断函数，是否具有性质，并说明理由．
(2)是否存在正实数，使得函数具有性质？若存在，求出的取值集合；若不存在，说明理由．
(3)若函数同时满足下列条件，求所有可能的非空数集：①具有性质；②，都有．
6．（24-25高三上·山东青岛·期末）若函数满足：对于任意，，都有，则称具有性质．
(1)设，，分别判断函数，是否具有性质？并说明理由；
(2)（ⅰ）已知奇函数是上的增函数，证明：具有性质；
（ⅱ）设函数具有性质，求的范围．

题型九 给出其他新概念定义
【技巧通法·提分快招】
1．（2024·山东临沂·一模）已知函数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）对于集合中的任意两个元素x，y，若实数同时满足以下三个条件：
①“”的充要条件为“”；
②；
③，都有.
则称为集合上的距离，记为.则下列说法错误的是（ ）
（1）为；
（2）为；
（3）若，则为；
（4）若为，则也为（为自然对数的底数）.
A．（1）（4）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（2）（3）
3．（2025·浙江·二模）给定非空数集，若函数满足：对任意、，存在实数使得成立，则称为“半压缩函数”.已知，则下列四个函数中为“半压缩函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高三上·山东烟台·开学考试）若为定义域D上的单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的“优美函数”.
(1)写出的一组值，使得函数为“优美函数”，并说明理由;
(2)若函数为“优美函数”，求实数t的取值范围;
(3)若函数为“优美函数”，求实数m的取值范围.
5．（24-25高三下·江苏苏州·月考）定义在上的函数，若存在实数使得对任意的实数恒成立，则称函数为“函数”；
(1)已知，判断它是否为“函数”；
(2)若函数是“函数”，当，，求在上的解.
(3)判断函数是否为“函数”，若是，求所有符合条件的；若不是，请说明理由.
6．（24-25高三上·山东潍坊·期末）悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形．如悬索桥、双曲拱桥、架空电缆都用到了悬链线的原理．悬链线函数是与e有关的著名函数——双曲函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数．已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：
①定义域均为R，且在R上是增函数；
②为奇函数，为偶函数；
③（常数e是自然对数的底数，…）．
利用上述性质，解决以下问题：
(1)求函数的解析式；
(2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；
(3)已知函数在上的最大值为，求的最小值．

题型十 给出其他新运算定义
1．（2025·浙江杭州·模拟预测）定义新运算：，设，命题，则（ ）
A．，且为假B．，且为假
C．，且为真D．，且为真
2．（24-25高三上·山东潍坊·期末）二元函数表示有两个自变量的函数，其中，如为一个二元函数．设为正整数，二元函数满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·湖北荆州·三模）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．我们记一个正整数经过次上述运算法则后首次得到1（若经过有限次上述运算法则均无法得到1，则记），以下说法正确的是（ ）
A．可看作一个定义域和值域均为的函数
B．在其定义域上不单调，有最小值，有最大值
C．对任意正整数，都有
D．
4．（24-25高三上·黑龙江·期末）定义三阶行列式运算：，其中.已知函数.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在区间上的最大值为，求的值；
(3)若函数，使得成立，求实数的取值范围.
5．（24-25高三上·广东东莞·期末）对于任意两正数u，，记区间上曲线下的曲边梯形由直线，，和曲线所围成的封闭图形面积为，并约定和，已知
(1)求，，
(2)对正数k和任意两个正数u，v，猜想与的大小关系，并证明;
(3)（i）试应用曲边梯形的面积说明：对任意正数x，恒有
（ii）若，试说明：当时，.

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·云南·模拟预测）定义.若函数，则关于的方程的根为（ ）
A．1B．C．2D．11
2．已知函数，且的图象过点是的反函数，则函数（ ）
A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数
C．既是偶函数又是减函数D．既是偶函数又是增函数
3．（23-24高三上·江苏扬州·期中）历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet）.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：（其中，且，Qc是Q的补集），以下对说法错误的是（ ）
A．定义域为
B．当时，的值域为；当时，的值域为
C．为偶函数
D．在实数集的任何区间上都不具有单调性
4．（24-25高三上·上海黄浦·月考）已知函数的定义域为，值域为， 函数具有下列性质：（1）若，则；（2）若，则.下列结论正确的是（ ）
①存在，使得；
②对任意，都有.
A．①②都正确B．①正确、②不正确C．②正确、①不正确D．①②都不正确
5．（2025·山东·模拟预测）若存在且，使得对任意，均有成立，则称函数具有性质.已知函数的定义域为，给出下面两个条件：条件单调递减且；条件单调递增且存在，使得.下面关于函数具有性质的充分条件的判断中，正确的是（ ）
A．只有是B．只有是
C．和都是D．和都不是
6．对于函数y=f(x)，若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka，kb](k>0)，则称y=f(x)为k倍值函数.若f(x)=ex+3x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．(e+，+∞)B．(e+，+∞)
C．(e+2，+∞)D．(e+3，+∞)
7．（24-25高三下·安徽·开学考试）设函数 的定义域为 ，若函数 满足条件： 存在 ，使 在 上的最小值为 ，最大值为 ，其中 为正整数，则称 为“ 倍缩函数”. 若函数 为“4 倍缩函数”，则实数 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（24-25高三上·辽宁·期末）在数学上，常用表示不大于的最大整数，已知函数，则下列正确的是（ ）
A．函数在定义域上是增函数
B．函数的零点有无数个
C．函数在定义域上的值域是
D．不等式解集是；
9．（2024·江苏苏州·模拟预测）表示大于或者等于的最小整数，表示小于或者等于的最大整数．已知函数 ，且满足：对有，则的可能取值是（ ）
A．B．0C．D．
10．“角股猜想”是“四大数论世界难题”之一，至今无人给出严谨证明．“角股运算”指的是任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1．在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，该猜想就是：反复进行角股运算后，最后结果为1．我们记一个正整数经过次角股运算后首次得到1（若经过有限次角股运算均无法得到1，则记），以下说法有误的是（ ）
A．可看作一个定义域和值域均为的函数
B．在其定义域上不单调，有最小值，无最大值
C．对任意正整数，都有
D．是真命题，是假命题
11．（2024·云南昆明·模拟预测）已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为（ ）
A．1012B．2024C．4048D．8096
12．（2025·贵州铜仁·三模）已知函数，．用表示的最大值，记．若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
13．记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质．
①所有偶函数都具有性质；
②具有性质；
③若，则一定存在正实数，使得具有性质；
④已知，若函数具有性质，则．
其中错误结论的序号是（ ）
A．①B．②C．③D．④
14．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·月考）（多选题）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中错误的是（ ）
A．在上是增函数B．是奇函数
C．的值域是D．的值域是
15．（23-24高三上·江苏·月考）（多选题）19世纪，德国数学家狄利克雷（，1805-1859）引入现代函数，他还给出了一个定义在实数集R上的函数称为狄利克雷函数，则（ ）
A．
B．
C．若为有理数，，则
D．存在三个点，，，使得为正三角形
16．（23-24高三上·河南·月考（多选题））黎曼函数（Riemann functin）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其基本定义是：（注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．黎曼函数的定义域为
C．黎曼函数的最大值为
D．若是奇函数，且，当时，，则
17．（23-24高三上·陕西西安·期中）（多选题）函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数同时满足①在上是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“k倍值区间”．下列函数存在“3倍值区间”的有（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
18．（2025·湖南永州·模拟预测）已知的定义域为非零有理数集，且满足下面三个性质：
①；
②；
③当时，，其中
下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．恰有两个整数解
C．若，，则，，中至少有两个相等
D．若，则
19．（2024·陕西宝鸡·一模）命题“任意，”为假命题，则实数a的取值范围是 ．
20．若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是 ．
21．（24-25高三上·上海·期中）设是定义在上的偶函数，且对任意整数、，都有，其中表示实数、中的较大者.若，，则的所有可能取值组成的集合为 .
22．（24-25高三下·湖南·月考）记表示三个数中的最大数．若函数的值域为，则的最小值为 ．
23．欧拉对函数的发展做出了巨大的贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为“倒函数”.
(1)判断函数是不是倒函数，并说明理由；
(2)若函数是定义在上的倒函数，且当时，，求函数的解析式；
(3)在（2）的条件下，判断方程是否有正整数解？如果有，请求出所有的正整数解，如果没有，请说明理由.
24．意大利著名天文学家伽利略曾错误的猜测链条在自然下垂时的形状是抛物线.直到1690年雅各布.伯努利正式提出该问题为“悬链线”，并向数学界征求答案.1961年他的弟弟约翰・伯努利和莱布尼茨、惠更斯三人各自得到了正确答案.至今这类函数在物理及生活中有广泛的应用，人们称这类函数为双曲函数，是一类与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数.记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下的性质:
①定义域均为，且在上是增函数；
②为奇函数，为偶函数；
③（常数是自然对数，）利用上述性质，解决一下问题:
(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
(2)证明：对任意实数，为定值；
(3)证明：有惟一的正零点，并比较和的大小.
25．小明同学在课外学习时发现以下定义，定义：设函数是定义在区间上的连续函数，若，都有，则称为区间上的下凸函数.如图.
例如，函数在上为下凸函数.
通过查阅资料，小明同学了解到了琴生不等式（Jensn不等式）：
若是区间上的下凸函数，则对任意的，不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.结合阅读材料回答下面的问题：
(1)已知在上为下凸函数，若，求的最大值；
(2)用定义严格证明：二次函数在上是下凸函数.
(3)设，且，求的最小值.
26．（24-25高三上·广东广州·期末）函数的凹凸性是函数的重要性质，运用函数的凹凸性可以很好地解决一些数学问题．在不同的条件下，可以给出函数凹凸性的不同定义．
定义1：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数，当且仅当，有
定义2：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数，当且仅当有
将定义1，2中的“”改为“”，则相应地称函数为上的上凸函数．可以证明定义1与定义2等价．试运用以上信息解答下面的问题：
(1)若，试根据定义1证明为上的下凸函数；
(2)已知为上的上凸函数，若为的内角，求的最大值；
(3)设为大于或等于1的实数，证明：．
27．（2024·河北唐山·二模）数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：1．证明当（）时命题成立；2．假设（，且）时命题成立，推导出在时命题也成立．用模取余运算：表示“整数除以整数，所得余数为整数”．用带余除法可表示为：被除数＝除数×商＋余数，即，整数是商．如，则；再如，则．当时，则称整除．现从序号分别为，，，，…，的个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到（）时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为．如表示当只有1个人时幸运者就是；表示当有6个人而时幸运者是；表示当有6个人而时幸运者是．
(1)求；
(2)当时，，求；当时，解释上述递推关系式的实际意义；
(3)由（2）推测当（）时，的结果，并用数学归纳法证明．
28．（24-25高三下·广东广州·月考）定义：，，已知数列满足．
(1)若，，求，的值；
(2)若，，使得恒成立．探究：是否存在正整数，使得，若存在请求出所有的，若不存在请说明理由；
(3)若数列为正项数列，且集合的元素个数为有限个，证明：不存在实数，使得．

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2024·山西·模拟预测）记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·湖北宜昌·二模）设是函数的一个零点.记，其中表示不超过的最大整数，设数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
3．（多选题）已知函数，则（ ）
A．，使得是偶函数
B．当时，函数有5个零点
C．当时，函数在上最大值大于，则
D．当时，设在上的最大值为，则的最小值为
4．（2025·山西晋中·模拟预测）已知，则 .
5．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知函数满足下列条件：在定义域内存在，使得成立，则称函数具有某性质P；反之，若不存在，则称函数不具有某性质．若函数具有性质，则的值为 ；已知函数不具有性质，则a的取值范围是 ．
6．（24-25高三上·湖南岳阳·期末）若函数满足：对于任意正数m,n，都有,，且，则称函数为“速增函数”．
(1)试判断函数与是否为“速增函数”；
(2)若函数为“速增函数”，求a的取值范围；
(3)若函数为“速增函数”，且，求证：对任意，都有．
解析式
图像

定义域
渐近线

值域

奇偶性
奇函数
单调性
在上是增函数，在是减函数
在上是增函数，在是减函数
基本不等式，当且仅当时取到最小值，即时，
互为反函数的两个函数的图象关于直线对称；
高斯函数的性质
（1）定义域：R；
（2）值域：Z.
（3）不具有单调性、奇偶性、周期性.
狄利克雷函数的性质
（1）定义域R；值域{0，1}.
（2）奇偶性：偶函数.
（3）周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期.
（4）无法画出函数的图象，但其图象客观存在.
（1）尝试用自己的话复述新信息的核心要点，清晰流畅的表述是理解透彻的标志
（2）探索新信息与现有知识体系的联系，通过对比分析来把握新知识的内在属性和运作规律
（1）学会通过具体例子来体现抽象概念，将复杂理论以简单应用的形式展现出来，以此促进对概念的深刻理解
（2）若新信息是对传统概念的扩展，应细致比较其与传统概念的异同，并明确在何种情境下适宜运用书中的理论。